巧用数形结合思想解题论文_陈永才

内蒙古包头市六中　014000

摘　要：数与形巧妙结合，即根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义。可运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；或运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。

关键词：数形结合　题设　数量关系

数形结合是数学学科的一大基本思想，它与函数思想、方程思想紧密相连，是富有数学特色的信息转换。它不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法。

所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路。一是运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；二是运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。下面通过具体的例子揭示数形结合的运用：

例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列结论中：（1）a+b+c<0，（2）a-b+c>0，（3）abc<0，（4）b=2a。正确的个数是：（　）

A. 4B. 3

C. 2D. 1

解：从图形上看，抛物线开口向下，所以得出a<0；由抛物线与y轴的交点在正半轴，所以得出c>0；由抛物线的顶点的横坐标为-1，即-b/2a=-1，得b=2a，所以得出abc>0。

当x=-1时，y>0，即a-b+c>0；当x=1时，y>0，即a+b+c<0。

例2：点A（a，b）、B（a-1，c）均在函数y=1/x的图象上，若a<0，则b____c。（添“>”或“=”或“<”）

解：如图，函数y=1/x的图象在每一象限内y随x的增大而减小。

∵a-1<a<0，∴b<c。

例3：a为何值时，不等式a≤x2+ax+5≥4恰好有一个解？

分析：此题若采用解一元二次不等式的常规解法相当麻烦，但如果能从y=x2+ax+5的图象入手考虑，问题就简单多了。

解：如图，y=x2+ax+5是开口向上的抛物线，如果抛物线的顶点在直线y=4 的下方，则原不等式有无穷多个解；如果此抛物线的顶点在直线y=4的上方，则原不等式无解；当且仅当抛物线的顶点落在直线y=4上时，则原不等式恰好有一个解。抛物线的顶点为（-　,5-　）,故当5-　=4，即a=2或a=-2时，有一解。

例4：不等式log2(-x)<x+1的解集是____。

分析：此不等式没有常规解法，只有把不等式两边看成两个函数，通过图象的比较求解。

解：令y=log2(-x)、y=x+1在同一直角坐标系中，作出这两个函数的图象，我们发现两个图象的交点是（-1，0），在（-1，0）的右侧y=log2(-x)的图象在y=x+1的图象的下方，即log2(-x)<x+1的解是x>-1。

例5：若方程1g（-x2+3x-m，=1g（3-x）在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。

解：原方程变形为　，即：　。

设曲线y1=（x-2）2，x∈(0,3)和直线y2=1-m，图像如图所示。由图可知：①当1-m=0时，有唯一解，m-1。②当1≤1-m<4时，有唯一解，即-3<m≤0。∴m=1或-3<m≤0。

此题也可设曲线y1=-（x-2）2+1，x∈(0,3)和直线y2=m后画出图像求解。

一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

在上面的例子中，我们不难发现，“数”与“形”这两块数学领域的基石巧妙地结合在一起，在解题的同时，又有一种创造性的美感。在选择题、填空题中运用数形结合往往事半功倍。当然，在我们的学习中也用这种思想去分析、讨论，会更好地理解、掌握数学教材的知识点，建立形象的知识体系，达到融会贯通的意境。