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数学理解，就是从数学的角度去理解现实和数学对象。有专家认为：“学习一个数学 概念、原理、法则，如果能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识 网络的一部分，那么学生才会产生他们自己的数学理解。”也就是说，当数学知识被学 生在理解的基础上内化，成为学生自身知识体系的一部分时，才真正形成了数学理解。 本文试图以几个教学片断为例，谈谈课堂教学中促进学生数学理解的教学策略。
一、选择并设计促进学生思维投入的数学学习任务
教学片断一：在“拼小正方形”的过程中理解“质数和合数”
师：用2个小正方形拼成长方形，有几种不同的拼法?3个、4个、5个呢?你能用算式表 示这些拼法吗?
学生用小正方形试拼后讨论交流，并填入表内(表略)。
师：从表中可以知道，2、3、5只有一种拼法，4有2种拼法，现在你有什么猜想。请先 把你的想法写下来，再与全班同学交流。
生1：2以外的双数至少有两种拼法。
生2：单数只有一种拼法。
生3：双数拼法比单数拼法多。
生4：有几种拼法就能写出几个算式。
师：请你们自己再选几个小正方形拼一拼，把拼的结果记录在表格中，想一想自己的 猜测是否正确，你还发现了什么。
学生进行操作活动，继续举例“拼小正方形”(如6、7、8、9、12、17、20等个)。一 段时间后，有的学生不再拼小正方形了，而是直接画图、写算式、写因数。教师再次组 织学生交流。
生1：“2以外的双数至少有两种拼法”是对的，如10有2种、16有3种。
生2：15和27都有2种拼法，所以“单数只有一种拼法”是错的。
生3：10和9的拼法一样多，所以“双数拼法多”是错的。
师：请你写一写、数一数因数的个数，你会发现什么。
生1：只有2个因数的数只有一种拼法。
生2：有两种拼法的数有3个或3个以上的因数。
师：像2、3、5、7、11这样的数叫做质数，像4、6、8、9、10、12这样的数叫做合数 。
师：你认为怎样的数是质数，怎样的数是合数。先与同桌说说你的理解，再全班交流 。
生1：只有两个因数的数叫做质数。
生2：只有一种拼法的数是质数。
生3：只能表示成一个两个因数相乘算式的数是质数。
生4：除2以外所有的偶数都是合数。
生5：质数只有一种拼法，合数有两种或两种以上的拼法。
……
起源于数学活动的原始认识和表象是学生数学理解的基础。因此，学生学习任务的选 择和设计要注意激发学生的思维投入，而不仅仅是以掌握知识为目的。“质数和合数” 属于概念教学，内容相对比较抽象，学生理解有一定困难。在这个教学片断中，教师创 设了学生参与操作活动的机会，将教材中静态的写约数活动换成动态的实践活动，通过 “拼小正方形”的活动激发了学生的思维投入，促进了学生从具体操作、表象操作中抽 象出概念。在“拼小正方形”的过程中，学生用图、用算式、用因数等不同的方式表示 这个数，然后产生了很多猜想。教师继续引导学生“拼小正方形”举例验证，逐步发现 规律。最后，教师给出了一个操作性定义，引导学生自己表达对“质数和合数”的理解 。学生从不同的角度表达了自己的理解，教师在此基础上再进行引导归纳。这样的学习 任务设计，为学生提供了操作、思考的素材，提供了反思和表达的机会，有利于激发学 生的思维投入，有利于促进学生的数学理解。
数学理解有着不同的层次和水平，不能认为只有对事物本质和规律的认识才算是理解 。只要它与事物的本质和规律的认识相联系，都可以称为理解。对于同一个数学知识， 不同的学生有自己不同的认知角度、认知方式和认知结果；不同的学生可以获得同样的 理解，也可以有不同的理解水平，最重要的是要为每个学生提供从事数学活动的机会， 以及有价值的认知方法和结果，让他们去感受、去选择，并在数学活动过程中建构自己 对于学习对象的理解。本节课教学中，在学生表达自己的数学理解时，教师并不急于采 取手段干扰学生的认知过程以使其回到“正确的轨道”上来，也不要求每一个学生都得 到课本上或者教师心目中的“标准”或“最佳”答案，而是尽量给学生提供从事数学活 动的素材和机会，使其在活动中获得并表达自己对学习内容的理解。
二、以丰富的学习材料促进学生建构自己的数学理解
教学片断二：以丰富的学习材料帮助学生理解“小数的性质”
师：刚才这位同学认为0.6 = 0.60，很多同学也赞同，那么你能不能用一定的方法来 验证或说明0.6 = 0.60呢?请思考一下，你可以借助信封袋里的材料进行思考。
学生动手操作、自主探究方法，同学间交流讨论。
师：你选择了哪一种方法来说明0.6 = 0.60，请向全班同学介绍一下。
生1：0.6 = 0.60。因为0.6元就是6角，0.60就是6角0分，所以它们是相等的。
生2：我选用了老师的两个正方形的材料进行验证(图略)。因为0.6就是十分之六，也 就是把这个正方形平均分成十份，表示其中的六份；0.60就是百分之六十，也就是把这 个正方形平均分成一百份，表示其中的六十份，从图中可以看出两个数表示的阴影部分 的面积是一样的。所以，我认为“0.6 = 0.60”是对的。
生3：我是从“数位”的概念来想的。两个数的十分位都是6，0.60百分位上是0，0.6 百分位上没有，也就可以看作0，所以我说0.6和0.60是相等的。
生4：0.6米就是60厘米，0.60米也是60厘米，所以0.6 = 0.60。
生5：0.6计数单位是0.1，0.6表示6个0.1；0.60计数单位是0.01，0.60表示60个0.01 ，60个0.01等于6个0.1，所以0.6和0.60相等。
师：刚才同学们从不同的角度验证说明了0.6 = 0.60。由此，我们可以得出“小数的 末尾添上0，小数的大小不变”的猜想是正确的，你能再举一个其他的例子吗?
……
数学的理解是以已有的知识和经验为基础的。在数学知识的学习过程中，教师向学生 提供丰富的感性材料，能激活学生原有的认知结构，并通过重组和调整，沟通新知识与 原有知识的联系，促进学生理解有关知识。例如，本节课教师为了帮助学生理解“0.6 = 0.60”，为学生提供了丰富的学习材料。一类是以学生生活经验为主的，如0.6元和0 .60元、0.6米和0.60米；另一类是以学生原有的数学知识为基础的，如正方形中画阴影 部分、计数单位、数位概念等。从课堂教学的实际过程看，学习材料的多样化为学生自 主选择研究材料提供了更多的可能。学生通过不同的途径、从不同的角度、用不同的方 法验证说明了同一个问题，从而获得了对“小数的性质”具体的感性认识，促进了对“ 小数的性质”的理解，同时也使学生感受到了知识间的内在联系。由此可见，学生在学 习新知识时，有时需要依靠具体经验和原有的知识基础获得对新知识的理解。这就要求 教师要根据学习内容和学生的实际，为学生提供实物、图、表等丰富的数学学习材料， 使学生借助学习材料获得学习新知识所需要的感性认识，并通过自己的思考理解有关内 容。这样，学生所获得的知识才是深刻的、清晰的、牢固的。
三、在经历知识“再创造”的过程中促进学生建构自己的数学理解
教学片断三：引导学生经历“长方形的面积计算方法”的“再创造”过程
师：(出示长方形“神奇宝贝”卡片)请你估计一下这张卡片的面积大约是多少?
生：……
师：同学们估计了很多答案。这张卡片的实际面积到底是多少，你们有办法测量吗?请 你们试着测量出卡片的实际面积，可以利用老师给你们带来的工具。
学生动手操作，用自己的方法测量出卡片的实际的面积。(教师巡视指导。)
师：实际测量出的这张卡片的面积是多少?
生：40cm[2]。
师：现在都同意40cm[2]。你是用什么方法测量得到的呢?
生1：我用透明方格纸盖在卡片上面，然后数一数。每排有8个1cm[2]的小正方形，这 样有5排，所以卡片的面积是40cm[2]。
生2：我是用1cm[2]的小正方形摆的。
师：还有其他方法吗?
生：我是用尺量的。
师：用尺能直接量出面积吗?我们知道尺是用来量长度的，我们一起来听他介绍一下。
生：(边演示边说明)我用尺量出卡片的长是8cm，宽是5cm，乘一下面积是40cm[2]。
师：这位同学的方法是先用尺量出卡片的长和宽，然后用“长×宽”计算出卡片的面 积。用这种方法得到的答案和我们用小正方形摆出来的结果是一样的，看来用长乘以宽 计算这张卡片的面积是可以的。要知道这种方法对于其他的长方形是否也适用，我们应 该怎么办呢?
生：再找几个长方形来试一试。
师：这是一个好办法，我们来试一试。
学生举例验证，探索方法，教师巡视指导。
师：请在小组里交流一下你得到的结果，说说你是怎么得到的，并选一名代表发言。
师：哪个小组来汇报你们的研究结果，并举个例子来说明是怎么验证的?
生1：我们小组认为这种方法是正确的。比如我画了长是7cm、宽是5cm的长方形，7乘 以5等于35cm[2]，然后我用方格纸验证一下是对的。
生2：我们选了3号图形，长是11cm，宽是2cm，面积就是22cm[2]。我用小正方形摆了 一下，每行可以摆11个小正方形，可以摆2行，面积也是22cm[2]，所以我们认为这种方 法是对的。(学生说后教师用，课件演示。)
……
师：通过刚才几个长方形面积的测量验证，说明刚才这位同学猜想的方法是正确的。 现在我们归纳出长方形的面积可以怎样计算呢?
生：长乘以宽。(教师板书：长方形的面积 = 长×宽)
数学学习过程不是让学生被动地接受教材或教师给出的现成结论，而是要通过组织合 理的数学活动，让学生经历知识的“再创造”过程。学生在不断的经历“再创造”的过 程中，主动地从事数学思考，并在理解的基础上建构数学知识。对知识与方法的理解并 不等同于知道是什么、怎么做，会背定义，会套用公式计算并不等于理解了相应的数学 概念、数学法则。因此，《长方形面积》的教学不仅要让学生知道计算公式、会用面积 公式进行计算，更重要的是要引导学生经历探究研究长方形面积公式的过程，通过实践 操作、讨论、交流等活动，自己探究发现长方形面积的计算方法，并能感悟到“长×宽 ”的算理。也就是说，《长方形面积》的教学不仅要使学生会用“长×宽”计算面积， 而且要通过语言表述、实际操作等解释“长×宽”的意义，并能实际应用，这样才能真 正理解知识。本节课，教师引导学生在活动中学数学，通过两次不同目的的操作体验( 学生独立操作的时间有近9分钟)，学生经历了“测量面积，产生猜想——举例验证，归 纳方法——推广应用”的科学研究过程，并在这个过程中，既知道了长方形的面积公式 ，又在大脑中建立起为什么长方形的面积公式是“长×宽”的表象，较好地获得了长方 形面积计算方法的理解。这样，学生在教师创设的数学学习情境中，通过自我思考、与 同伴和教师的交流，“创造”了自己所理解的数学。这样的教学方式不仅有助于学生理 解数学，还有益于他们获取比单纯知识本身更重要的东西——数学方法、数学能力和对 数学的积极情感。
四、鼓励学生用自己的方式表达对数学的理解
教学片断四：用自己的方式表达对“异分母分数加减法的计算法则”的理解
学生尝试计算后交流计算方法。教师引导学生比较反思，使学生体会到“先化成分母 相同的分数再相加”是一种通用的方法，而“化成小数再相加”的方法有一定的局限性 。
交流与表达个人的观点是促进数学理解的一个重要环节。学生对数学的理解常常是稚 嫩的、不成熟的，但同时这种理解又是最具有个性的。创设机会鼓励学生用自己的方式 表达对数学的理解，这样能激发学生参与学习的热情，树立起学好数学的信心，而且有 利于学生在表达的过程中进一步完善自己的知识结构，并有机会分享其他同学的想法。 例如，“异分母分数加减法的计算法则”的教学，不仅要让学生知道“先通分再按照同 分母分数加减法的计算方法相加减”法则，而且要鼓励学生通过探究表达出对计算法则 的理解。在交流过程中，尽管学生对“计算法则”的表达有不够清楚的地方，但蕴涵在 其中的对数学的理解足以让我们欣慰。这样的数学课堂，学生的数学学习方式已不再是 单一的、枯燥的，数学学习真正成了充满生命力的过程。
学生在表达自己对数学知识的理解过程中需要不断反思。反思是对数学学习思维过程 进行回顾性的思索，以获取学习的经验或教训。数学理解之所以能从低层次到高层次， 关键靠学生主体不断地进行反思和抽象。反思和抽象是不断提高数学理解水平的重要手 段。因此，教学中要给学生主动权，不能拔苗助长、急于求成，让学生有时间、有机会 对自己的思维活动过程进行反思，通过观察、反思、抽象和改进等思维活动来提升对新 知识的理解。如在本教学片断
就会反思自己的计算方法，如化小数的方法在计算这题时显然是行不通了。学生在反 思中比较、择优，真正领悟到“化成分母相同的分数再相加”这种方法的通用性，在反 思的过程中深化了对知识的理解。
总之，数学理解是数学学习的关键。教师要创设宽松的学习环境，设计有利于学生思 维投入的学习任务，引导学生主动建构对数学的理解。
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