从习题的挖掘与延伸看学生思维素质的培养_思维品质论文

从习题的挖掘与引申谈学生思维品质的培养，本文主要内容关键词为：习题论文,思维论文,品质论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      教材中的习题是编写教材的专家们经过认真商讨与仔细推敲后才确定的，它们具有科学性、示范性、典型性、导向性.教材中习题的有效训练有助于学生牢固掌握教材中的基础知识，进而提高数学能力.教师在日常教学中，若能充分挖掘其蕴藏的教学价值，恰当地进行挖掘与引申，通过对问题的思考、推理、变换等，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生的学习兴趣，而且还能有效地培养学生的思维品质，提高数学课堂教学的质量.在此，试图通过一道教材习题的教学实例，谈谈学生思维品质的培养.

      题目 如图1，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个正方形零件的边长是多少？

      

      一、一题多解，培养学生思维的发散性

      思维的发散性是指沿着不同的方向和不同的角度来思考同一问题，并且从多方面寻求多样性答案的展开性思维方式.数学习题，浩如烟海，不能逐一完成.在数学教学中，如果能选择典型题目，巧妙地进行一题多解，这样既省时省力，起到事半功倍的效果，同时又大大地培养了学生思维的发散性.

      解法1：设正方形的边长是x mm，

      因为EF//BC，

      所以△AEF∽△ABC.

      

      所以x=48.

      

      所以x=48.

      解法5：因为EF//BC，

      所以△AEF∽△ABC.

      

      所以x=48.

      解法6：因为EF//BC，

      所以△AEF∽△ABC.

      

      所以x=48.

      解法7：如下页图2，作EQ//AC，

      所以△EBQ∽△ABC.

      

      设CQ=EF=x mm，

      

.

      所以x=48.

      

      【评析】通过以上“一题多解”的教学，有利于引导学生沿着不同的途径，多角度、多方位、多层次地去思考问题，由此可以产生多种解题思路.通过“多解”并比较，找出既新颖、独特，又省时、省力的“最佳解”时，才能调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的求知欲，更好地培养学生的发散性思维.

      二、一题多变，培养学生思维的深刻性

      思维的深刻性是指思维抽象程度和思维活动的深度.教师在对习题进行分析和解答后，应注意发挥习题以点带面的功能，有意识地在例题基础上进一步引申、扩充，挖掘问题的内涵和外延，指导学生对新问题进行探讨，这对培养学生思维的深刻性是大有裨益的.

      变式1：内接正方形变为静态内接矩形

      例1 如图3，已知在△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形EGHF为△ABC的内接矩形，且EG:GH=2:9，求

.

      解：设EG=2x，GH=9x，

      因为EF//BC，

      所以△AEF∽△ABC.

      所以

.

      所以x=10.

      所以

=20×90=1800.

      变式2：内接正方形变为动态内接矩形

      例2 如图4，已知在△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形EGHF为△ABC的内接矩形，求矩形EGHF的最大面积.

      解：设EG=x，GH=y，

      因为EF//BC，

      所以△AEF∽△ABC.

      

      

      当x=40时，矩形EGHF的最大面积是2400.

      变式3：内接正方形变为动态正方形

      例3 在锐角△ABC中，BC=6，

=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN//BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）.

      （1）在△ABC中，边BC上高AD=______；

      （2）当x=______时，PQ恰好落在边BC上（如图5）；

      （3）当PQ在△ABC外部时（如图6），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

      

      解：（1）AD=4；

      （2）x=2.4；

      （3）设BC分别交MP、NQ于点E、F，则四边形MEFN为矩形（如图7）.

      

      设ME=NF=h，AD交MN于点G，GD=NF=h，AG=4-h.

      因为MN//BC，

      所以△AMN∽△ABC.

      

      所以当x=3时，y有最大值，最大值是6.

      变式4：静态三角形变为动态三角形

      例4 如图8，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN//BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN边上的高为h.

      （1）试用含x的代数式表示h.

      （2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为点

，

与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

      

      解：（1）因为MN//BC，

      所以△AMN∽△ABC.

      

      （2）因为△AMN≌

，

      所以

的边MN上的高为h.

      

      ②当

落在四边形BCNM外时，此时4＜x＜8.

      设

的边EF上的高为

，

      则

.

      因为EF//MN，

      所以

∽

.

      因为

∽△ABC，

      所以

∽△ABC，

      

      【评析】一题多变，对于许多经典的几何习题，应认真挖掘题目中丰富的内涵，变换不同的条件背景，引导学生围绕原题进行多角度、多方向、多层次的变式思考与探索，加强不同知识点的纵、横联系，这样既可以节省学生的审题时间，提高教学课堂容量，又可以更大程度地提高学生思维的深刻性，有利于学生更扎实地掌握知识结论.

      三、引申拓展，培养学生思维的独创性

      在习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，可有意识地创设新颖的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、多方位、独立地思考和解决问题，鼓励学生标新立异、探究新知、勇于发现、勇于创造，更好地培养学生思维的独创性.

      引申1：如下页图10，已知在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，四边形EGHF为△ABC的第1个内接正方形.求证：正方形EGHF的边长是x=

.

      证明：设正方形EGHF的边长是x，因为EF//BC，所以ΔAEF∽ΔABC.

      

      引申2：如图11，已知在△ABC中，BC=a，BC上的高AD=h，四边形EGHF为△ABC的第1个内接正方形，在正方形EGHF上面作第2个内接正方形SPQR，继续往上方作第3个、第4个……求证：第n个正方形的边长是

.

      

      证明：由引申1可得正方形EGHF的边长是x=

.

      设正方形SPQR的边长是y，

      因为SR//EF，

      所以△ASR∽△AEF，

      

      即第2个正方形的边长是

.

      依此类比推理，可得第n个正方形的边长是

.

      引申3：如图12，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形.求证：b=a+c.

      

      证明：由已知，易得△DEF∽△GHM.

      

      所以b=a+c.

      引申4：如图13，已知n个边长相等的正方形组成的在Rt△ABC内的内接矩形，BC=a，AC=b，AB=c.求证：每个小正方形的边长是

.

      

      证明：设每个小正方形的边长是x，易得AB上的高

.

      

      【评析】思维的独创性是指思维活动的内容、途径和方法的自主创新程度.它是思维中最可贵的品质，包含有新颖、独特、创造等因素.教师在教学中通过引导学生进行以上各种妙趣横生的探索，不但可以激发学生的学习兴趣，而且能使学生的思维纵横驰骋，创造力得到充分的发挥，从而培养学生思维的独创性.

      综上所述，教材是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好教材习题的教学十分重要.立足教材，对教材典型习题进行演变、探究、引申、拓展、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样的教学不仅深化了基础知识，提高了学习效率，而且有助于发展学生思维的发散性，培养学生思维的深刻性，提高学生思维的独创性，使学生形成良好的思维品质.

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