高中课标课程三角函数“衔接备课”的思考，本文主要内容关键词为：函数论文,课标论文,高中论文,课程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
所谓“衔接备课”指的是备课时关于衔接问题所进行的材料准备和处理方案的预设。
2006年秋季，福建省开始实施高中课标课程。在三年的教学实践过程中，初高中的数学衔接、数学模块教学中单元与单元之间的衔接、单元中前后节课的衔接、一节数学课中问题与问题之间的衔接等问题成了笔者备课时关注的焦点。本文以课标教材人教A版三角函数这一单元的备课为例，谈一谈对“衔接备课”的思考。
一、三角函数整体单元的备课考虑
1.三角函数内容和要求的变化
与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，《课标》的三角函数部分删减了以下内容：任意角的余切、正割、余割，周期函数与最小正周期（《课标》只要求了解三角函数的周期性），三角函数的奇偶性（了解函数奇偶性的含义前移到必修1函数单元），已知三角函数值求角以及符号arcsin x，arccos x，aretan x，解三角形（《标准》将解三角形设在数学5中）等内容。《标准》对一些内容降低了要求，如任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式分别由原来的理解、掌握减弱为了解、理解。
本单元除了强调三角函数是一种函数外，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。数学模型，徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中对数学模型作了精辟的解释：所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。还指出：凡一切数学概念，数学理论体系，各种数学公式，各种方程以及由公式系列构成的算法系统等都可称之为数学模型。这是一种广义的数学模型，以这种观点看三角函数、向量及运算、三角函数公式等都是数学模型。学习数学模型的最好方法就是经历数学建模的过程。
从数学课程的角度看，三角函数是研究周期现象的基本模型，是解三角形和三角恒等变换的基础，又与平面向量紧密联系；从数学发展的角度看，20世纪末，调和分析与小波分析在实际应用中发挥了重要作用，尤其是在图象压缩处理技术中起到了核心作用，三角函数以及相关数学内容在物理等其他领域也有广泛的应用，三角函数作为函数模型的作用越趋明显，这些是三角函数内容发生变化的重要原因。
因此，在三角函数的教学中，教师备课应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，为体会三角函数是刻画周期现象的重要模型做好衔接。
例1 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
(1)选用一个三角函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时水深的近似数值；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
2.三角函数单元数学思想方法的衔接
在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。
通过三角函数的图象，归纳出核心性质，如定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等。在整个单元的教学中，有着丰富的数形结合的情境、载体和问题，当然，又有分类与整合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的渗透，使数学思想的学习前引后联。数学思想，它们并不互相排斥，在同一个题目中常常渗透了多种数学思想。
（Ⅰ）若m=0，求f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(x)得最大值为3，求实数m的值。
由以上分析和教材的安排，本单元先学习任意角和弧度制，接着学习任意角的三角函数，再学习同角三角函数的基本关系式和诱导公式，最后学习三角函数的图象、性质和三角函数模型的应用，单元学习结束后，进行小结复习，约安排16课时。三角函数教学的衔接工作，不仅要注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接。
二、三角函数单元前后节课的衔接
1.任意角和弧度制
任意角和弧度制，是三角函数的准备知识，是了解层次，要与初中学习的角衔接。弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位。事实上有些高一学生对教材中给出的“1弧度角”的定义感觉很“迷糊”。衔接时，教师可引导学生得到1弧度(radian)的角的定义，并介绍弧度及其名称符号的发展历史：托勒密的方法相当复杂，这是由于当时的知识条件所限制。但他所遵循的原理可以简述如下：首先他认识到，确定不同角度的弦相当于如何设法解决用圆的直径长度表示圆内接正多边形的边长问题。他把圆周分成360等份，即360度，直径则被分成120等份，使用的完全是六十进制分法，并且事实上也推广到分数，对于这些等份，他使用了等份、分、秒(parts、minute、second)等名称。这样就能用直径上的许多等份来表示圆弧上对任一圆心角所张弦的长度，这就是弦的角，例如，如果有一个圆内接正六边形，它的边就是60°角的弦，而这显然又等于半径，或直径上120等份中的60等份。大数学家欧拉在1748年用半径为单位来量弧长，“弧度(radian)”一词是爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森在1875年首先创造使用的，由半径(radius)和角(angle)两个英文单词组合而成。这些能让学生体会数学的“火热的发明”，了解数学其实也是一门生动而有趣不断发展的学科。例题上可考虑配置：
再对例3进行变式训练，让学生熟悉弧度制，为后续三角函数定义域、单调区间的学习作好衔接。
2.任意角的三角函数
学习完任意角和弧度制后，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的讲授要与初中学习的锐角三角函数相衔接，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，在“空间与图形”的“图形与变换”部分指出：“通过实例认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°、45°、60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角”。可先研究锐角α的三角函数，通过构造直角三角形，教师指导学生探究，把斜边长画成单位长，为“单位圆定义法”做必要的铺垫，建立直角坐标系，建构任意角三角函数的概念。学生体验一般到特殊（斜边长的任意性到单位长），特殊到一般（锐角到任意角）的过程，体现了特殊与一般的数学思想。
对于任意角的三角函数，要求学生从“函数”的角度认识它，就要理解自变量以及与之对应的函数值分别是什么，与函数自然就衔接上了，举一些容易理解的函数，温故而知新。现在要与上一节的任意角和弧度制准备知识联接，比如，把角度化成弧度到底是为了什么？任意角三角函数的自变量是角，为什么要把它说成实数呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？学生刚学习任意角三角函数，较难理解这些。后续学习三角函数图象、性质以及三角函数模型的应用，学生才能消除这些疑问。比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度
，t∈[0，+∞）（其中
是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y=cos(sinx)后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的自变量作为实数更具广泛性。这些也充分体现了备课中前节与后节的衔接关系。
3.同角三角函数的基本关系式和诱导公式
由任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线等知识，经过学生的探索发现，老师的指导总结，得到同角三角函数的基本关系式和诱导公式，这样就自然地和前面的知识衔接在一起，并渗透了数学思想方法，培养学生抽象概括能力和创新意识，让学生更好地理解公式的本质，公式不是“空穴来风”，不是“死记硬背”，不是“生搬硬套”。例题选择主要强化公式应用，注重公式的适度交汇，不要人为地过于多次地使用公式。
4.三角函数的图象和性质
在任意角的三角函数中，角度用弧度，并用实数表示，为画三角函数图象准备了条件，利用三角函数线等知识画出三角函数的图象。有了图象，可进一步从函数这个层面理解三角函数，比如定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等。《标准》要求：了解函数
的物理意义；能画出的图象，了解参数A、ω、
对函数图象变化的影响。因此，三角函数图象的平移变换和伸缩变换是要求的，例题选择上也应从图象和性质为载体进行强化训练，如：
例4 已知函数
，将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移
个单位，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为______。
例5 已知函数
，其中ω＞0，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数。
5.三角函数模型的应用
学习完三角函数的图象和性质，要从生活实例作为衔接和引入，让学生加强体验三角函数是刻画周期现象的重要模型，比如例1，再如物理的“简谐运动”等，体会从实际到数学理论，再由数学理论指导实际的认知过程，激发兴趣，体现数学价值，切身感受数学就在身边，并为生活服务，做好数学与生活的衔接。三角函数模型的应用建模过程：
三角函数模型的应用要培养学生应用意识，要通过数学建模，培养学生分析和解决问题的能力。
6.三角函数单元小结
本单元的小结与复习中，主要从三角函数作为函数层面（图象、解析式、定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等）、公式应用层面（同角三角函数的基本关系式和诱导公式）以及三角函数作为三角函数模型应用层面进行复习，把本单元各节知识有机地联系在一起，构建知识网络。在复习中要注意数学思想方法的渗透和能力意识的培养，例题选择上公式应用不宜太繁；三角函数模型应用题应贴近生活，突出应用意识；三角函数作为函数本质，应以图象和性质作为核心，例题要注意这三个层面的交汇，以适应高考解题的需要。
2009年高考福建卷数学试题，对本单元的抽样考查很好体现了数学课程标准的理念。理科第18题主要考查三角函数模型，并和解三角形单元相关知识交汇，文科第19题主要从函数的解析式、图象、周期性、奇偶性，并和三角恒等变换中两角和的余弦公式交汇考查三角函数；理科第9题和文科第12题，数量积的计算转化为面积时，用到诱导公式。试题重视知识的交汇，倡导多思少算，注重考查学生数学思想和能力。这坚定了今后数学教学中落实课程标准的理念，切实减轻学生的课业负担。让学生享受教育的幸福。
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