用面积法高效解题，本文主要内容关键词为：高效论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
用面积法解题是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。所谓高效解题是“走解题的直线距离”，说白了，就是将转化的环节减少一些，少走弯路“高效解题”一方面是对“有效解题”“低效解题”、“零效解题”、“负效解题”的减少和摈弃，另一方面更是对高效率解题、高效果解题、高效益解题的理念实践与理想实现。有时我们选用面积法进行问题转化，能恰到好处地达到这一目的。
一、利用面积公式与菱形的性质进行转化
例1 如图1，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF，求折痕EF的长。
图1
分析 因为矩形折叠使点B与点O重合，所以折痕EF是线段OB的垂直平分线。如图2，易证△EBG≌△FOG，得GF=GE，从而得四边形BFOE是菱形。利用菱形的面积等于
EF·OB，又等于EB·OA，列方程求出折痕EF的长。
解 如图2，连接OE，BF，因为矩形折叠使点B与点O重合，
图2
所以折痕EF是线段OB的垂直平分线。
因为BE∥FO，
所以∠EBG=∠FOG，
所以△EBG≌△FOG，
所以GF=GE，
所以四边形BFOE是菱形。
设AE=y，则OE=BE=8-y，
点评 解决本题的方法有很多，如图3，过点E作EH⊥OC，构造直角三角形，运用勾股定理解决。或在直角△BGE中，先用勾股定理求出EG，进而求出EF等方法解决。实际上，我们可以把“菱形的面积等于对角线乘积的一半”这一性质，推广应用到对角线互相垂直的任意四边形中去。
图3
如“已知对角线互相垂直的梯形中位线长及两条对角线和的长，求梯形的面积”的问题，通常做法是过梯形的顶点平移一条对角线，一方面与梯形的上、下底构成平行四边形，另一方面与另一条对角线构成直角三角形，这样两者结合起来，运用梯形中位线的性质和勾股定理便可求出两条对角线的平方和的值。到此时，一般学生的解题思路是把推导的对角线的数量关系与已知对角线的数量关系联列方程组，分别求出两对角线的长。但学生往往感到困难，力不从心，因为在（课标）中二元二次方程组的解法对初中生已不作要求了。这时，只要用面积法利用对角线和的关系两边平方，将对角线的平方关系整体代入，便可直接得出对角线乘积的值，问题迎刃而解。
二、利用面积公式与一个图形的面积等于几个分图形面积的和进行转化
例2 如图4，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，BC=8cm，BD=6cm，梯形的高为3cm。E是BC边上的一个动点（点E不与B，C两点重合）。在点E运动过程中，若点E到BD、AC的垂线段分别为EP、EQ，你能确定EP+EQ的值吗？
所以CH=4cm，即EP+EQ=4cm。
点评 本题运用面积法，“一个三角形的面积等于几个分三角形面积的和”，巧妙解决了两条线段和的问题，这是学生的难点。平时我们也教给了学生常用方法，“截长或补短法”，但这与用“面积法”解题，无论是从学生运用的知识面，还是思维度，都凸显出运用“面积法”简单、高效的特点。运用“面积法”的试题在中考试卷中经常出现，有的是直接利用面积公式进行计算，也有的是用“面积法”直接解决问题，还有的是由点、线或平面图形运动，引起图形的变化，从而建立面积函数表达式的压轴题。也有的题目需要多次运用“面积法”，如本题两次运用了面积法。
三、利用面积公式、同底等高得到等面积进行转化
例3 如图6，已知点A(2，-4)，B(4，0)，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l。设P是直线l上一动点。设以点A，B，P，O为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，求S与x的函数关系式。
图6
分析 利用待定系数法，易求出直线AB的解析式为y=2x-8。因为直线l过原点且与直线AB平行，所以直线l的解析式为y=2x。设点P(x，2x)，如图6，则
由于点P是直线l上的一个动点，所以x可正、可负，但不能为0，分情况讨论解决。
解 如图6，设直线AB的解析式为y=kx+b，
因为点A(2，-4)、B(4，0)在直线上，
因为点P是直线l上的一个动点，所以当x＞0时，S=8+4x；当x＜0时，S=8-4x。
点评 本题讲完后，有一个学生举手问：“老师，恐怕不对吧！如图6，当点P在第一象限时，函数关系式是对的；当点P在第三象限时，函数关系式是不对的”。老师：“问题提得很好，请同学们看图7，连接四边形ABOP的两条对角线OA，PB，这时，
之间有何数量关系？”“相等。”“为什么？”“因为AB∥PO，所以
，同底等高的两个三角形面积相等。噢！我明白了，原来这样。”因为有了生成，使得本“和谐”的课堂更活跃。师生间生命与生命的对话、心灵与心灵的沟通、情感与情感的碰撞是多么的精彩。在“等（同）底、等（同）高、等面积”这三个论断中，有其二必有第三，即以其中任意两个论断为条件，必能推出第三个论断为结论。如江苏省泰州市2010年数学中考卷第27题第2小题是已知三角形同底等积，如果学生掌握了这些知识，那么马上会有结论：两三角形必等高，此时，证明平分线段的问题就轻松地得以解决。所以说，功在平时，而不在战时。高效解题需要平时知识的积淀。
图7