摭谈数学教学的有效性，本文主要内容关键词为：数学教学论文,有效性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
高中数学新课改的推进过程，不仅是新课程的实施过程、促进学生自主学习的过程，实际也是教师专业成长的过程。应该承认，随着数学教师教学能力的不断提高、科学可行教学理念的落实，数学课堂有了可喜的变化，但是，课堂教学出现了一些“低效”“无效”，甚至“反效”的现象，也是不争的事实。所以，强调教学的有效性，倡导有效的教学是十分重要和迫切的。本文结合几个教学案例谈谈对“教学有效性”的一些体会。本文所涉及的案例所依托的教材均为人教版高中教材必修(1～5)。
一、教师个人良好的素质是实施有效教学的客观支撑
案例一：必修Ⅰ第二章的一节习题课
老师出示下面习题，以复习函数的单调性：
用函数的单调性定义证明函数
在(0,+∞)上的单调性。在老师的启导下，师生一起完成证明，其证明过程如下：设
，则有
上单调递增。师生对上述证明过程未发觉有何问题。
案例二：必修Ⅱ第一章的《空间几何体的结构》的新授课
教师正在引导学生归纳棱锥的结构特征，当讲到棱锥的顶点个数为1时，一个学生站了起来。
学生：老师，我认为棱锥的顶点不止一个！
教师：那你认为棱锥的顶点有几个呢？
学生：三棱锥就4个，四棱锥5个，…，n棱锥应该有n+1个。
教师：你的理由？
学生：课本在这一节的开头讲“多面体”时，就称多面体中“棱与棱的公共点就是多面体的顶点”，既然这样，棱锥的顶点就不止一个！
教师沉思，学生议论纷纷。
1.教师的学科底蕴和教育理论水平
只有具备了扎实的学科功底，才有可能全面理解学科结构和内在逻辑联系，敏锐把握学科的发展方向，真正“站得高，看得远”，真正理解要教给学生的、教育形态下的“数学”与传统视角下的、经典的数学之间的区别与联系，从而懂得如何将欲教的数学知识进行适当的加工，以适合学生学习，引发学生的“再创造”，并尽可能达到最佳的学习效果。案例一是一节习题课。本来以巩固知识、强化运用为目的的习题课，教师应该按照课的任务，有针对性的精选题目，然后在教学中与学生一道分析，引发思考，充分发挥题目的功能，让学生在训练中对知识融会贯通，思维分析等能力也得到发展。但是，在本案例中，教师对所选题目的证明就有问题，其实证明中，由
得到
，就已默认
为增函数这一前提，而这正是本题所要求证明的！教学犯了循环论证的逻辑错误，上课教师浑然不觉。像这样，教学与培养学生严谨的理性思维的学科目标是相悖的，就谈不上有什么效果了。从中也可窥见，教学取材是否得当、设计有无灵性、教学目标达成度如何等等各个层面直接与教师的学科功底与教学水平相关。
2.教师的课堂驾驭能力和教学水平
案例二中，教师由于在教学预设时，未有注意到教材在描述顶点时的前后不一致，而且在教学中缺乏必要的教学机智对“教学意外”予以恰当的处理，所以“尴尬”的产生也就在所难免。我们知道，鲜活的课堂是动态的，在教学实践中应该极力追求既有精心预设、也是精彩生成的数学课堂。由于课堂瞬息多变，一些偶发因素可能导致教学不总是按照教师事先预设的教学方案流畅前行，所以要使教学顺利，课堂结果有效乃至完美，教师就应该具备良好的课堂调控能力，足够的教学智慧和必要教学艺术，并自觉将其融入教学，积极去处理教学中的偶发冲突。
二、促进了学生的全面发展是教学有效的集中体现
案例三：高三一节函数性质的复习课
教师花几分钟复习回顾一下有关的函数性质，出示两道练习题让学生当堂完成，所选习题来自学生统一购买的复习资料。
程度好的学生花了十几分钟完成，一些学生还在埋头苦干。
教师叫两位学生上台抄出自己的解题过程；
然后，师生一起订正。
必要的小结后，教师讲解另一道习题。讲未完，恰好下课铃响起。
案例四：一节复习课
教师出示问题（08年高考山东理科卷第四题）：设函数f(x)=|x+1+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为：
A.3；B.2；C.1；D.-1.
过了一会儿，教师提问答案。一个学生站起来。
学生：本题用代入法（即将选择支代入验算）求解，甚易得出答案A。
教师：说得很好，不但说出了答案，也说出了解题的策略。但如果本题是一道填空题，那该如何解决呢？
学生沉思。大家又忙活起来。
在教师的启导下，学生们不但将题目漂亮地解出来，而且还挖掘出题目背后隐含的一般结论。学生们的探求发现过程简要记录如下：
1.关注认知起点和学情，坚持教学的适切性教学时应该摸清学生的认知状况和已具备的认知水平，充分了解学生个体认知过程中的优势和缺陷，并以此为教学的起点来设计教学，使教学与学生的学习同步协调发展。而且在教学的实施中，教师还要善于及时了解学生的学习状态，尽力引导学生探究欲学知识的本质核心。只有考虑了学生的接受程度，不随意拔高教学要求，而围绕知识的本质核心将教学逐步推进，才可能使教学适合学生的发展，才有可能是有效的。那种不管学生的认知起点和学习体验，通过一味加大机械的强化训练量、存心让学生“吃不完兜着走”的教学方法，实质就是“广种薄收”懒汉行径，这无疑加重了学生的负担，只是促使学生更觉得身心疲惫，让其更感到数学乏味，产生消极的影响。
2.注重发挥教学效益，保持高水平学习的挑战性
教学的有效性虽然不是由在有限的教学时间中教了多少知识、讲了多少道题来确定的，但教学如果没有适当的教学容量、足够的思维深度和必要的挑战性，也谈不上教学的有效性。案例三的复习模式是某些毕业班教师经常选用的教学方式。听课后交流时，上课的教师反复强调这样的观点：复习必须考虑知识技能的落实，但又担心学生跟不上教学节奏，只好少教些，也无法教那么多。其实，本节课如果做一些改进，比如将学生的解答过程用投影仪投射出来，或者改为作业，课后教师再行检查订正，这样节省了学生上台板书解答过程的时间，腾出的时间就可增加复习的内容，增加有挑战性的素材，适当提高教学的密度和思维分量，从而教师就可将引导学生巩固知识、夯实技能，寻找知识的内在联系并系统化等做得更加精致，以保证复习的质量，这样，教学效率就有所提高，课的效益也就凸显出来。
3.恰当运用教学策略，保障教学效果的最优化
由于学生对新知识的认知过程并不总是顺利的，学习活动也不总是有趣和容易的，在有限的教学时间里，既要学好额定容量的数学知识，又要训练必要的数学技能方法，更要发展学生良好的数学素养，而且还尽可能培养学生的其他能力和良好品质习惯，如良好学习习惯、发现的能力、勇于探索不畏艰辛的良好品质等等，数学教学就必须讲究方法，恰当运用策略，实现教学效果的最优化。
(1)吸引学生主动参与教学。文[1]中提到，在一项大规模的教育心理学的研究中发现：不同的教学方式导致的学生对所教内容的平均回忆率是不同的，其中最高为“学生教别人”的方式，为95%，依次分别为“学生实践(70%)”“学生讨论(50%)”“教师演示(30%)”“视听并用(20%)”“学生阅读(10%)”，最低为“教师讲授”，仅为5%!这里虽然指的是“知识的回忆率”，但要知道对知识的理解、掌握以及灵活运用都是以对知识保持完整的、准确的识记为前提的。这项研究表明了以“教师讲，学生听”为主要特征的教学方式在提升课堂教学有效性上的局限性，同时也表明学生的参与度越高，教学的效果也越明显。这也是当下我们为何将学生在教学中的参与度作为衡量教学效果的一个尺度的原因。所以在课堂教学中，教师必须通过诸如创设恰当的问题情境、与学生认知相贴切的引导启发等等较适当的教学行为、手段，努力促进学生保持较高的参与度，使学生真正成为课堂学习的主体。
(2)注重数学本质的探究。数学知识的本质包括：概念的内涵与外延，概念之间的联系，知识获得过程中蕴含的数学思想方法，以及获得知识的思维过程和元认知过程[2]。在教学中，有些教师往往喜欢缩短数学概念的学习过程，搞“一蹴而就”，将教学时间重点花在围绕概念而设置的技能技巧训练上，如在案例二中，该教师之前教的是“棱柱”的概念，讲授时较为匆忙，未对概念的本质作必要分化，也没有辨析，使概念进一步精致，急于引导学生进入辨析“棱柱”的练习环节。其中，大部分学生对于“一个长方体沿棱截去一块所剩的几何体（如图1中的几何体ABCD-EFGH）是不是棱柱”作出了“不是”的判断。一道不很难的题目“难住”了学生，原因还在于教学没有暴露概念本质，学生对“棱柱”认识模糊；而有些教师教学时直奔结论，不对探究过程隐含的数学思想方法和思维的得失点做必要的梳理、归纳乃至提升，总认为“无限风光在险峰”，只追“险峰”，没有悠闲地欣赏“沿途的风景”，与“美景”失之交臂，应了“捡了芝麻，丢了西瓜”。高中数学新课标强调学生学习的自主性，倡导让学生在教师的引导下自主探索，使学习过程成为一个“再创造”的过程。其实这一过程也是让学生熏陶数学思想，感悟数学方法，发展数学素质的过程。案例四无疑是这方面一个有效的个案：从一些浅表的数学现象、数学问题出发，探求背后隐含的一般性结论或原型，从中感受数学的研究方法，从而也让学生的智慧得以开启。
图1
三、教师自觉反思可以促进教学有效的持续
案例五：必修V第三章《不等式》的一节课
学生们正在解决习题：已知函数
，(1)若函数的定义域为R，则k的取值范围是＿＿；(2)若函数的值域为R，则k的取值范围是＿＿。
师生的对话如下：
教师：谁有答案了？
生1：我有(1)的答案，为：-3＜x＜-1!
教师：你是怎样求得的？
教师跟着学生的回答，在黑板简要写出过程。
教师：那么(2)呢？
生2：(2)的解题过程、答案跟(1)应该是一样的。
教师：这么说来，两道习题是一样的？
学生沉思，过了一会儿，有一位学生站了起来。
生3：对(2)，我解得的答案恰好是(1)的补集！
教师：理由？
生3：说不出。
此时，另一位学生（生4）站了起来。
生4：由于函数的值域为R，说明真数必须取遍每一个正数，要使真数取遍正数，就不得让
取得零或负数！故对应的方程的根判别式不小于0。
……
案例五的教师下课后与笔者交流时，连说几个“想不到”。他原先估计学生在解决(2)时可能比较困难，得充分分析讲解，但想不到学生（生4）的表达太准确、精辟（指“真数取遍正数”），胜过自己“啰嗦”。从本案例可以看出，学生确实对实数的连续性已有了较为贴切理解，超过教师原先估计的认知水平，这也说明教师对自己教学行为的再寻味、再认识实在必要。有人说过，电影是遗憾的艺术，课堂教学又何尝不是呢？有时一节课上完后，静下心对课堂中发生的点点滴滴做全面、认真的反思（关于反思性教学的内涵参考文[3]），会觉得本节课教学中：某些方面倾注了自己的心血，真正“精彩”，堪称“神来之笔”，值得很好总结以供今后更好的发扬；哪些方面还不尽如人意，其原因又是什么？该需要做哪些的矫正和改进，使教学会更顺畅些，教学的效果更好一点？学生在学习今天的数学知识时表现如何，如果师生互动好，学习效果明显，那又是如何引发的？若表现不好，是不是跟教学目标、教学手段、教学方法有关系，需要如何调整？学生今天有哪些“意想不到的闪光点”（如为问题提供了新的、更漂亮的、连老师都想不到的解法，对新知识的新体会、新感悟），我为何想不到这一点？学生是不是已走在我的前面？或者说，对学情、学生能力认识是不是不够？等等。然后，将上述的“反思”诉诸文字形式，并作为一个习惯坚持下来，日积月累，自身的学科素养与功底、教学水平就可以得到长足的提高与发展，教育视野、触角和眼界进一步开阔起来，不但较好促进自身的专业成长，也使教学效果得以提升，使教学有效性更可持续。