圆面积公式与圆周率究竟是怎样推求的，本文主要内容关键词为：圆周率论文,是怎样论文,公式论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 问题的提出
数学史上关于圆的度量和圆周率的推算，是中小学数学教学中的十分有价值的史料。圆的度量问题在中国几何学中占有极为重要的地位，它是在对形的认识与探测的历程中，由“直”跨入“曲”的关键一步，也是数学思想从“有限”进入“无限”的一次飞跃。伴随着圆的度量而推算出来的圆周率，其精确度常常被一些数学史家视为古代数学发展水平的重要标志。
我国在魏陈留王景元4年（公元263年），数学家刘徽为《九章算术》作注，其“圆田术注”，无论对圆面积公式的论证，还是对圆周率的科学推算，都是划时代的成就。因此，它作为中算史上流传千古的名篇，被后世学者不断研习。长期以来，中学数学教材及教学参考书在介绍这部分史料时，也多被引述，这已成为数学教师教学的依据。然而，对于“圆田术注”，由于古今中外曾有众多的解释与评论，特别是由于年代久远，文字深奥，传本又多讹文夺字，迄今仍有颇多疑难，众说纷纭，甚至不乏粗疏漏误之见。本文正是选取这样一个与中学数学教学有关的例证，说明对这些数学史实的澄清是很有意义的。
2 推求过程
刘徽之前，一直以“周三径一”作为圆的周、径之比值。我国古代最重要的数学经典——《九章算术》方田章提出了平面曲边形的面积公式，其中有圆面积的公式：“半周、径相乘得积步。”
径）。对于这些公式，都是用传统的以盈补虚的方法近似证明的。由于长期沿用“周三径一”之古率，比较粗略。从东汉到魏晋以来，改进圆周率的精度始终为数学家所关注，但都不甚精确，并未找到圆周率的科学计算方法。刘徽把机械化方法和极限思想应用于近似计算，在中国第一次提出了求圆周率近似值的科学方法，这是他的重大贡献。
3 中学数学课本中的问题症结
尽管圆周率的计算是国人乐于称道的成就，刘徽求圆周率的方法是新文化运动以来70余年中国数学史界涉及最早、谈得最多的课题之一，但实际上，人们却并没有完全搞清楚刘徽注，因而自然就未能按刘徽注来阐述刘徽的方法。
以上刘徽推求圆周率的过程，只是反复运用了两个勾股形的勾股定理以及已经求得的圆面积公式②，并未运用别的圆面积公式。但是，但许多学者认为，刘徽在求出圆面积的近似值314寸[2]之后，使用了现今中学数学课本中的S＝πr[2]，因r＝10寸，于是314＝π×10[2]，所以π＝3.14。这一看法与刘徽的原文一一对照，便会发现它背离了刘徽注。同时这也导致我们的中学数学史教材或参考书在引用这部分史实时的偏差，以及不少数学教师在介绍这部分数学史实时所犯的错误。不仅如此，这一错误理解还会把刘徽置于循环推理的错误之中。事实上，《九
他又依次求出圆内接正6×2[8]＝1536边形的边长，得出了正6×2[9]＝3072边形的面积S[,9]，求出周、径相与之率，重新验证了上述数值是比较精确的。据推测，我国南北朝的著名数学家祖冲之（公元429—公元500）就是依据刘徽的这套割圆程序求得圆周率值π在3.1415926与3.1415927之间的。如果这种推测正确的话，那么， 祖冲之需要计算出圆内接正6144边形和12288边形的面积。 祖冲之的圆周率值领先世界达千年之久，成为广大炎黄子孙的自豪和骄傲。在国外，直到1424年，中亚数学家阿尔·卡西才超过了8位有效数字，而祖冲之的密率355 /113，直到16世纪末才由奥托（1550？—1605）等提出。因此，数典不能忘祖，今天对圆面积公式及圆周率近似值的科学推算史实的澄清，将给我们的数学教学以重要启示：它使我们重新认识了作为数学家的刘徽——他的无穷小分割思想、极限思想、机械化的方法，他作出的贡献及其深远的历史影响，这就为在教学中增强学生爱国主义情感和民族自豪感提供了客观、公正的数学史实，因而能更好地发挥其教育价值。