数学复习课：在“问题变式”中演绎精彩，本文主要内容关键词为：数学论文,精彩论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
复习是一种特殊的教学形式，在整个学习活动中是一个十分重要的环节，其基本任务是：在教师的引导下，帮助学生系统地复习、梳理已经学过的基础知识，整合知识要点，构建知识网络，总结解题规律，熟练基本技能，掌握思想方法，提升数学素养，使认知结构得到完善，思维能力得到发展.在目前的高考制度下，高中数学教学几乎形成了一个共识：三年课程两年学完，高三一年忙于复习和考试.如果算上高一、高二的单元复习、期中复习、期末复习，复习几乎要占去近一半的教学时间.复习课如果处理不好，学生往往会觉得枯燥无味，缺乏新鲜感，提不起精神，这样无疑会大大地降低复习效果，难以实现预定的复习目标.如何使复习课生动活泼、精彩高效？这是每一位数学教师都在积极探索的问题，并且也取得了许多有价值的成果.本文仅从“问题变式”的应用入手，谈几点笔者的意见和建议，供大家参考.
一、在“问题变式”中理解概念
知识的回顾和梳理是复习课的第一个基本环节，其目的是唤起学生的记忆，为本节课的进一步深入提供必要的基础支撑.在这个过程中，对一些学生容易混淆的数学概念（或定义），可适当地利用问题变式，通过正面理解、反面辨析，正确运用、错误运用及拓展应用等多角度的分析研究，加深学生对数学概念（或定义）的认识和理解，提高学生辨别是非的能力，使课堂在学生积极的思维活动中充满活力，呈现精彩.
案例1在进行“直线的斜率”这一概念的复习时，笔者首先引导学生回忆了直线的斜率的定义，接着给出下面的问题变式：
问题变式 判断下列语句的正误，并说明理由：
（1）所有直线都有倾斜角，所有直线都有斜率.（定义的正、反理解）
（2）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α（概念的逆向辨析）
语句（1）能让学生认识到：倾斜角为
的直线无斜率，斜率是有限制条件的定义，使用时要予以注意；语句（2）可使学生明白：直线的斜率和直线的倾斜角不是一一对应的，在由斜率求倾斜角时，要注意角的取值；语句（3）是语句（2）的一个具体例子，能使学生更进一步理解直线的斜率与倾斜角的关系；语句（4）提醒学生在解决这类问题时不要忽略斜率不存在的情况.通过这组问题变式的练习，使学生深刻地理解了直线的斜率这个概念及直线的斜率与倾斜角的关系，明确了运用斜率时应注意的问题等，有效地提升了复习的效果.
高三“课时紧，任务重”的特点决定了高三概念复习课不同于新授课的教学，没有足够的时间让学生经历“问题情境、学生探究、建构数学”等过程.但是，在核心概念的复习上，还是要舍得花时间，要把“学生的思维展开程度和参与水平”作为衡量教学是否有效的核心指标.教师可以尝试改变“师生共同回忆或直接由教师告知”的概念复习方式，围绕核心概念，按照一定的逻辑结构精心设计“问题变式”，让学生经历知识点由简单到复杂的量变过程，从而实现将学生的思维从识记、模仿等低层次活动向分析、综合等高层次活动的质的飞跃，让不同层次的学生都有思考的空间，使每一位学生都能体味收获的快乐.
二、在“问题变式”中掌握方法
让学生熟练地掌握解题方法、提高解题能力是数学复习的重要目标之一，数学的学习与备考在很大程度上是解题能力的训练.尽管数学解题方法错综复杂、灵活多变，但通过复习，对重点的内容必须强化，对通性通法必须熟练掌握，应该尽量地从诸多方法中找出最优的方法，形成清晰的解题思路.在问题变式的演练中，通过启发学生从不同角度对解题途径的探索和可能出现的解题方法的比较，以及与之相类似的问题可以怎样解决、与之相关的容易混淆的问题应当怎样区分和辨别，等等，达到研究一个问题会解一类问题的目的，从而有效地培养学生的应变意识和概括能力.
案例2 在椭圆的复习课上，笔者为了帮助学生系统掌握研究直线与椭圆位置关系的一般方法，设计了下面的问题及其变式，引导学生围绕问题及其变式开展探究活动，取得了较好的复习效果.
问题1 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，且右焦点到直线m：x-y+2
=0的距离为3，求椭圆C的标准方程.
变式1 判断直线m：x-y+2+2=0与椭圆C的位置关系.
变式2 求直线l：x+y-b=0被椭圆C所截得的弦MN的长度.
变式3 求直线l：x+y-b=0被椭圆C所截得的弦MN的中点P的轨迹方程.
变式4
直线l：x+y-b=0与椭圆C交于两个不同的点M、N，当∠MAN为锐角和钝角时，分别求b的取值范围.
变式5 能否找到一条直线y=kx+b，使其与椭圆C交于两个不同的点M、N，使得AM⊥AN？其中A（0，-1）.若存在，求出k、b满足的条件；若不存在，请说明理由.
问题1与变式由浅入深、由简单到复杂、由特殊到一般，环环相扣，紧密相连.变式1到变式3主要描述直线与椭圆的几何关系，变式4到变式5将问题延伸到弦对定点所张的角上，看似思维突变，实则是在数形结合基础上探索出来的，依然围绕着几何特征在变化.思维从特殊到一般，角的取值从直角变到锐角及钝角，思路自然流畅，过程和谐完美，研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法和思维途径在这里体现得淋漓尽致.
著名数学教育家波利亚说过：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”上述案例中，以直线与圆锥曲线的几何关系为主线，数形结合，通过类比、联想、特殊到一般、一般到特殊等途径展开思考，逐层分析，逐步提出并解决了一些很有价值的问题，很好地完成了引导学生夯实基础，梳理知识结构，总结解题方法，提高解题能力的任务.
三、在“问题变式”中体会思想
数学作为一门严密逻辑的科学体系，以学术形态存在，虽然具有较高的抽象性、逻辑性和系统性，但却蕴涵着丰富的思想方法.学生在理解、把握数学知识时，不仅仅是记忆形式上的基础知识，更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法及其价值.在复习教学中，合理地运用问题变式，让学生在问题变式的探究活动中发现数学思想方法的价值，体会数学思想方法的妙用，可以有效地活跃课堂气氛，提升课堂品位，提高复习效果.
案例3 在复习“函数性质的应用”时，笔者首先给出如下的问题：
在引导学生运用分离变量法将问题转化为求函数的最值后，启发学生借助函数的图象实现求解.并以此为基础，让学生对下面的几个问题变式展开自主探究：
整节课的着力点放在函数性质和其他内容及函数与方程等数学思想方法的运用上，突出了函数的一个性质——值域（最值）；紧紧围绕两个量——常量与变量；从函数的角度出发，解决了三类问题——恒成立、方程有解和不等式有解问题；领悟了高中数学中四种主要的数学思想方法——函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等在数学解题中的妙用.课堂上，充分利用学生已有的知识体验，从新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，训练了学生运用思想方法指导数学解题的思维习惯，提高了复习的效果.
数学思想是数学方法的高度概括与提炼，是数学思维的升华，是数学的精髓和灵魂，也是指导数学问题解决的航标，函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，一直是高考数学考查的重点和热点.理解并体会数学思想的含义并自觉地应用于数学问题的分析和解决的过程之中，能为问题的解决找准探索的方向，突破问题解决的瓶颈.用数学思想引领数学思维，思维就有方向，思维就增加了灵活性、深刻性和批判性.
四、在“问题变式”中总结规律
数学问题的解决是有规律的，在复习教学中怎样激发学生发现规律，从而掌握规律，是不容忽视的问题.这些规律由教师讲解还是由学生发现，教学效果是大不相同的.借助问题变式，引导学生开展探究活动，让学生在活动参与中发现规律、总结规律并利用规律解决问题，可以充分调动学生学习数学的积极性和主动性，有效地培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生不但能学会，而且还能做到会学，从而促进学生的可持续发展，
案例4在复习“三角函数图象的变换”时，笔者根据学生在解题时的难点和疑点以及经常出错的实际情况，首先给出了以下问题：
通过以上问题变式的思考与练习，使学生在思考、比较、归纳的过程中，自主发现和掌握三角函数图象变换的规律和本质，得出：函数y=f（x）的图象向左平移φ个单位，所得图象对应的解析式为y=f（x+φ），向右时则为y=f（xφ），应特别注意x的系数不为1的三角函数图象的平移变换，如果不是同名三角函数一定要先化为同名三角函数，再考查进行怎样的平移变换.在此基础上，由学生归纳得出三角函数图象的平移变换、周期变换与振幅变换的一般规律，提升学生解决这一类问题的能力.
变式教学有利于学生发现规律并掌握规律，减少解题的盲目性.在研究问题的过程中，为了揭示问题的本质属性，掌握解决问题的一般规律，我们常常通过对构成问题的各个要素进行局部的调整，得到形式虽异而解法类似的一系列变式问题.借助对这一系列变式问题的研究，寻求联系，总结方法，提炼规律，不断强化学生对相关知识的理解和掌握，学会变通，学会理性思维，提高学生抽象、归纳、概括和综合的能力.
五、在“问题变式”中拓展思维
数学教学是思维的教学，解题过程是思维过程，是一个把知识、方法和问题联系起来进行思考、分析、探索的过程，是教师引导学生“用自己的头脑亲自获得知识的再发现过程”（布鲁纳语）.数学复习课教学更应如此，要把开发学生的智力、培养学生的思维能力作为主要任务.适当地运用“问题变式”，让学生从不同角度，对不同问题进行研究，能充分调动学生参与课堂活动的积极性，促进学生对所复习的问题触类旁通、举一反三，从而更好地发掘学生的潜能，拓展学生的思维，提升学生的综合素养.
案例5 复习“向量的数量积”时，笔者首先和学生一起梳理了平面向量数量积的有关定义和性质，紧接着提出下面的问题：
问题设置的出发点是复习数量积的定义和几种基本求法：定义法、坐标法、基底法等；变式1的设计，是为了加强对数量积的两个基本应用的训练：求模和求夹角；变式2是由2008年高考数学浙江卷理科第9题改编而得，将平面向量的模、数量积和最值的求解有机地结合在一起，提高了问题的层次和思维的难度；变式3将点M定在特殊位置求数量积，让学生体会从特殊到一般和从一般到特殊的思维方法，为学生课后的自主探究留下伏笔.
学生的思维是灵动的和多向的，教师提供给学生的最好的教育应该是：激发他们的兴趣，拓展他们的思维空间，使他们的潜能得到最大限度的发展.而问题变式的灵活应用，是实现这一目标的有效途径.通过从不同角度去改变题目，或者通过解题后的反思归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法；通过改变条件，让学生对满足不同条件的情况做出正确的分析；通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，有效地突破思维定势，使学生的思维更具有灵活性、严谨性，变通性和创造性.
数学的魅力在于“变”，有“变”才有“用”，有“变”才能“活”.实施数学复习课教学，学会设计适当的问题变式，学会灵活地运用问题变式，在巧妙的变式中，在错综复杂的变化中，展示知识的发生、发展，形成完整的认知过程，展示分析问题、解决问题的思维过程，培养学生研究、探索问题的能力.避免让学生反复地训练同一题型，避免学生的思维在低水平层次重复，使学生体会柳暗花明又一村的豁然开朗，经历从苦思不得其解到得来全不费工夫的酣畅淋漓，让学生体会到数学学科的趣味性，感悟到数学课堂的独特魅力，使数学复习课充满生机，焕发活力，演绎精彩.