盲校小学数学行程问题的具身教学策略
● 沈光银
【摘 要】 行程问题是小学数学教学的重要内容，其难点在于建构时间、速度和路程的基本概念及其数量关系。由于视觉通道受阻，盲生在加工这些主要通过视觉表征的概念和关系时存在种种困难。教师可以指导盲生借助听觉、触摸觉、运动觉等非视觉通道，在具体场景中学习、使用相关的教具、凸图等，建构行程问题的具身概念、数量关系和解题范式，实现行程问题的有效教学。
【关键词】 盲校；小学数学；行程问题；具身认知；具身教学
小学生解决行程问题的关键在于理解行程问题的基本概念，掌握时间、速度和路程三个基本量的变化关系，而形成这些概念和逻辑关系的主要感知觉通道是视觉，盲生在学习这类数学问题时，常常存在难以形成时间、速度、路程三个基本概念，难以感知行程问题的实际情境，不易理解行程问题中的数量关系等困难。因此，盲校小学数学行程问题的教学，其首要任务就是突破盲生视觉功能不足的限制，建构行程问题的基本概念和数量关系。
认知过程根植于身体活动，是被身体作用于世界的活动塑造出来的。［1］因此，学习过程并非只发生在“脖颈以上”，与身体无关。恰恰相反，“学习过程同身体不可分，身体的结构与功能对学习过程和学习结果产生决定性的影响”。因此，认知是具身的，表征是多通道的。盲校小学数学行程问题的教学可以尝试借助盲生身体的听觉、触摸觉、运动觉等感知通道，将心智的发展嵌入身体的认知中，将身体的认知嵌入学习环境的塑造里，在身体与环境的互动中促进行程问题基本概念和数量关系的认知与建构，实现行程问题的有效教学。
一、多通道表征，建构行程问题的具身概念
行程问题包括两个抽象概念（时间和速度）、一个视觉概念（距离），盲生要掌握这三个基本概念，可以从非视觉通道的具身认知来感受、理解、表征它们，以形成可被提取、加工的具身概念。
（一）进行感知训练，生成时间的具身概念
时间是一个反映物质运动、变化的持续性、顺序性的抽象概念，教师要引导盲生形成时间概念，可依据“自然界的周期性变化和人体内部的生理变化”，对时间的长短、快慢、节奏和先后次序等进行感知训练，以帮助盲生形成时间知觉，从而建构时间的概念。
通常情况下，明眼人不仅可以从视觉通道感知春去秋来、日出日落等时间的变化，还可以运用日晷、时钟、秒表等工具测量时间，从而形成有关时间的知觉。在盲校教学中，要指导盲生形成时间的知觉，可以借助听觉，如用电火光的声音、物体下落的声音以及时钟滴答的声音让盲生感受时间的间隔、节奏；还可以借助触摸觉，给手掌、手指等身体部位一定时长的压力，从而帮助盲生感知时间的长短；还可以通过跑、跳等身体的运动感知时间的快慢；教师还可以制作可触摸的日历，让盲生在每天的触摸认知中感受时间的先后次序，从而逐步形成时间的具身概念。
多发性骨髓瘤发病率已超过急性白血病，多见于40～70岁，特别是60岁以上的老年人，随着年龄增长，发病率逐渐升高。
（二）巧用听觉和触觉，生成速度的具身概念
速度是用来表示物体运动快慢的一个抽象概念，人类一般通过“视觉、运动觉和平衡觉等多种感觉的协调活动”，实现对外界物体运动和机体自身运动的知觉。
速度是一段时间内物体在空间中运动所形成的位移。匀速直线运动中，时间越短，位移越大，则速度越快；反之，则速度越慢。对外界物体运动的感知是依靠以视知觉为主的一些外部感受器来进行的，因而，要让视觉通道受阻的盲生感知外界事物运动的速度，教师可以设计一组方向相同、速度不同的声音，也可以在盲生的手臂上演示一组方向相同、速度不同的摩擦运动，分别从听觉和皮肤觉的感知进行表征。
为此，教师可以设计多主体运动的行程问题教具，即在两条带有刻度的直线或环形轨道上制作两个可以转向并移动的小人模型，让盲生手持小人模型分别模拟：（1）从轨道的两端同时以不同的速度向中间运动，以帮助盲生理解相遇的概念，以及“两主体以相同的时间、不同的速度同向运行了不同的路程，但两主体运行的路程之和是他们最初相距的距离”这种数量关系变化的原理；（2）从中间位置分别以不同的速度向两端运动，以帮助盲生理解相离的概念，以及“两主体以相同的时间、不同的速度相背运行了不同的路程，但两主体运行的路程之和是他们最终相距的距离”这种数量关系变化的原理；（3）从轨道的同一端（同一位置或不同位置）同时以不同的速度向轨道的另一端运动，以帮助盲生理解追及的概念，以及“相对时间、速度和路程的基本概念而言，两物体运动的统合速度是其速度差，两物体运行的统合路程是其路程差”。
（三）设计具身的认知方法或材料，生成距离的具身概念
距离是物体在空间上相隔的长度，有关距离的知觉主要通过视觉来形成，因而，教师需要从其他的感知觉通道设计具身的认知方法或材料，以帮助盲生建构有关距离的具身概念。例如，对于较长距离的认知，教师可以设计声音类的教具，让声源在较远的距离发出连续的声音，让盲生从5米、10米、20米等不同的位置感受声音在空间内传播的距离；还可以通过走或跑5米、10米、20米等长度，从运行的时间上表征空间的距离。当然，对于一些听觉发展较好的盲生，教师还可以利用回声来帮助他们形成较大空间内的距离知觉。
例如，甲乙两地相距1400千米，两辆车同时从两地相对开出，货车从甲地开出，每小时行驶50千米，客车从乙地开出，每小时行驶30千米，5小时后，两车相距多少千米？
二、教具模拟，建构行程问题的数量关系
由于视觉通道的障碍，盲生学习行程问题的最大困难在于不易理解速度、时间和路程之间数量关系变化的内在规律。要克服这样的困难，最重要的就是帮助盲生理解并形成主体运动尤其是多个主体运动时的表象，从而解决题意理解不清、公式混淆或者生搬硬套等问题。
（一）设计单一主体运动的教具，模拟一般行程问题
单一主体运动的行程问题，一般范式是已知速度、时间和路程三个量中的两个，求第三个量。盲生在学习一般行程问题时通常不会显现出明显的问题，其主要原因是该类数学问题中的数量明确，数量关系简单，只要找到基本的量，记住基本的数量关系就能完成这类问题的解答。
（3）运用加减法公式转换数量关系：相距路程（减数）＝1400（被减数）－（50＋30）×5（差）；
细分下来，小学数学行程问题又包括一般行程问题、相遇问题（分为两种情况）、相离问题（分为两种情况）和追及问题四种题型，共计18种数量关系，这无疑给盲生的理解、记忆带来了很多的困难。因此，教师需要充分地解析所有的题型，将行程问题的运算图式表征到“一般行程问题”这一解题范式上来，即所有的行程问题都首先要寻找时间、速度和路程这三个具体的量，也都是在“速度×时间＝路程”这一基本的解题范式中操作。而要有所区分的是速度和路程可能存在新的变式，从而将运算图式都表征在一个解题范式中，简化行程问题的解题思路与过程。
采用传统教学模式。教师运用多媒体课件，以案例导入教学内容，采用启发式教学方法，课堂讲授护理学基础理论知识，带领护生观看护理操作录像,向护生演示护理操作流程，护生遵循教师指导进行护理技术操作,教师巡视、指导、纠错、总结、布置课后作业。
（二）设计多主体运动的教具，模拟变式行程问题
相遇问题、相离问题和追及问题都属于多主体运动的行程问题，实际上也都是一般行程问题的变式，即时间、速度和距离之间的数量关系不变，变化的是三个具体的量。对于盲生来说，学习多主体运动的行程问题时，通常无法借助视觉形成日常生活中多个主体运动关系的表象，也难以通过其他感知觉通道表征多个主体的同时运动，尤其是运动过程中具体量的变化关系，因而不易理解相遇、相离和追及的概念以及该类问题中各个量产生变化的原理，也不易理解速度和、速度差等基本概念的变式以及由此产生的基本数量关系的变式。
依据状态函数g(X)的定义、表达式和可靠性设计的摄动法，利用向量值和矩阵值函数的Taylor展开式，将随机变量X和状态函数g(X)在E(X)=附近展开，并经过推导整理可得状态函数g(X)的均值和方差为：
当然，对于物体运动速度的感知，还可以从对机体自身运动的知觉上进行表征。例如，盲生可以通过旋转身体、摇动手臂等身体的运动知觉表征速度知觉，还可以通过运动后心率、脉搏等各种本体觉的感受来表征速度。
三、凸图演示，建构行程问题的解题范式
理解问题是解题的前提，而制定方案则是解题的关键。上述从不同感知觉通道认识行程问题的基本概念和数量关系的具身教学策略，主要目的是帮助盲生形成概念的表象，理解行程问题数量关系之间的变化原理与规律。而要指导盲生学习制定解决行程问题的方案，则可以借助凸起的线段图来表征行程问题解题的逻辑过程和解题范式。
（一）凸图演示行程问题，建构解题的认知图式
瑞士心理学家皮亚杰认为，发展是个体在与环境不断地相互作用中的一种建构过程，认知图式是人们为了应付某一特定情境而产生的认知结构，它是表征、组织和解释经验的模式或心理结构。儿童的身体活动是所有学习的基础，身体感觉-运动能力的发展推动着儿童理解具体的符号性物体，并在动作的内化中形成抽象的形式运算能力。［2］
教学中，教师可以用击凸或者金线围贴等方式制作行程问题的凸图，让盲生通过触摸觉和运动觉在凸图上感知各种类型的行程问题的解题思路与方案，将解题的逻辑结构与过程表征成认知图式，从而让抽象的心理过程具体、形象地表征在行程问题的凸图上，固化行程问题的解题过程。
（二）解析行程问题的认知图式，建构基本的解题范式
为了解决这样的隐性问题，教师可以设计单一主体运动的教具，即在一条带有刻度的直线或环形轨道上制作一个可以移动的小人模型，让盲生手持小人模型分别模拟：（1）路程一定，时间越短，速度越快；反之，时间越长，速度越慢。（2）时间一定，速度越快，路程越长；反之，速度越慢，路程越短。（3）速度一定，时间越长，路程越长；反之，时间越短，路程越短。（4）时间越长，速度越快，则路程越长；反之，时间越短，速度越慢，则路程越短。通过这种运动觉通道的具身操作，盲生可以形象地生成行程问题数量关系之间变化规律的运动表象，从而理解一般行程问题的运算关系。
这是一条艰苦的冲顶路，除了每年巨额资金投入，还要付出大量的精力去学习。曾在香槟区接触过这些在冲击侍酒师大师之路的人，印象深刻的是他们每到酒庄参观学习尝酒，末了总会尽量请求酒庄把酒瓶留给他们，以便撕下酒标回到酒店后继续查阅资料学习。这些“候选人”普遍都有本职工作，在繁忙工作中挤时间学习提升，需要太多的毅力。有人半途放弃，有人迷茫，有人会有被套牢的感觉，也有那么一群人坚持到最后。考级升级路上，需要进行哪些权衡和取舍？如何才能更顺利地考试升级？本期文章，我们请来三位佼佼者，给我们分享这一年来的考试升级路。
对于较短距离的认知，教师可以让学生用身体作为度量的长度单位，借助触摸觉等通道进行测量和表征。例如，教师可以引导盲生识记小手指的宽度约为1厘米，手掌的宽度约为1分米，手臂的长度约为1米，或者两步的距离约为1米，再用这些基本的长度单位去度量课桌的高度、讲台的宽度、盲文写字板的长度等较短的距离，以逐步构建距离的具身概念。
1897年德国殖民者以“巨野教案”为由强租胶澳[注]胶澳：德租前清廷以“胶澳”称呼现在的青岛地区.德租时期将新建设的城区命名为青岛，但也属于胶澳的一部分.后“青岛”一词指代的范围逐渐扩大至整个青岛地区. ，并于次年编制完成第一版青岛城市规划图，开始建设他们的远东理想城市.
这是一个相遇问题的特殊情况，即两主体之间还有一段距离才相遇。通常情况下，教师会指导学生运用“相距路程＝总路程－（货车速度＋客车速度）×时间”这一数量关系列式计算，这无疑与一般行程问题的基本公式相差甚远，给盲生的解题过程增加了不少逻辑过程，不便理解和记忆。其实，解题的过程也一样可以借助“速度×时间＝路程”这一基本范式，但同时也需要指导学生理解时间、速度和路程的变式，即速度＝两车速度和，行驶路程＝总路程－相距路程，具体演示如下：
（1）列公式：速度×时间＝路程；
（2）对照公式填数字：（50＋30）×5＝1400－相距路程；
然而，盲生由于视觉通道受阻，难以形成速度、时间和路程三个量之间变化特征与规律的表象，常常不理解“路程一定，时间越短，速度越快；反之，时间越长，速度越慢”等实质性的问题，对该类问题的解答主要是死记公式，生搬硬套。
（4）计算并解答。
（三）规范行程问题的解题范式，提升记忆保持的效果
教师可以指导盲生将行程问题的解题范式具体化为可以讲述、摸读的文字过程，形成解题的情景表征，从而使问题解决的方案过程化、清晰化，促使盲生对最初的实际经验以及最终的抽象假设都更具逻辑性和系统性，提升解题范式记忆和保持的效果。因而，盲校小学数学教科书范围内的行程问题的解题范式可以尝试用文字表述如下：
1．2．1 常规药物治疗 本文40例患儿就诊后均给予哌甲酯治疗，起始剂量5mg／d，然后根据症状控制情况调整到最合适治疗剂量。一般剂量为15～20mg／d，早、午餐后分两次给药，共8周。
行程问题真有趣，一般问题最容易，读懂题意找数字，先列公式再填数，无非就是乘和除；若是相遇、相离或追及，你先别慌找变式，无非速度与路程，列好公式再填数，逃不过这四步：
1.填报数据与科目内涵不符合。“三公两费”项目之间的冲突。如因公出国(境)经费与培训费，优秀教师出国深造专项经费，应该按培训费来核算，但是往往要求按因公出国(境)经费科目核算。如公务用车运行维护费填报不规范，公务用车费用在其他交通费用列支。而其他交通费用科目反映单位除公务用车运行维护费以外的其他交通费用，如飞机、船舶等的燃料费、维修费、过桥过路费、保险费、出租车费用等。
以集体记忆呼唤国际文化认同。侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆成立南京大屠杀史与国际和平研究院，与南京大学合作建设和平研究中心以及和平学学科。积极支持中英文《世界和平城市》丛书等和平学著作出版。以国家公祭活动为统揽，运用和平主题，积极与国际城市开展交流互鉴，把国际关注、中国方案、南京实践和建邺力量有机结合起来，提升城市文化国际影响力。
（1）列公式（速度×时间＝路程）；
YL82B热轧盘条合格显微组织为索氏体+珠光体，且索氏体在显微组织中占有一定的比例（不小于85%）才能使YL82B钢具有高的冷拉极限值。因为索氏体的片层间距小，当盘条拉拔变形时，片层多而薄的铁素体相可以使位错运动均匀而分散，抑制位错塞积的提前发生。另外，当索氏体中的渗碳体相为薄片形态时，它在拉拔变形时可以发生弯曲且不易发生折断。但是，如果渗碳体和铁素体片层继续变薄成为屈氏体时，在拉拔变形时渗碳体片之间发生碰撞的概率增大，使塑性变差。
（2）对照公式填数字；
（3）碰到变式，换公式；
（4）不要忘记解和答。
行程问题是小学数学教学的重要内容，对于存在视力障碍的盲生来说，学习的难度较大，且主要集中在对概念的理解和对抽象关系的理解上。虽然视觉通道受阻，但认知是具身的，表征是多通道的，教师充分掌握盲生听觉、触觉、运动觉等多感官发展特点规律，理清行程问题的核心要点，同样可以有效突破教学难点，提高盲校小学数学行程问题的教学效率。
参考文献：
［1］［2］叶浩生.身体与学习：具身认知及其对传统教育观的挑战［J］.教育研究，2015（4）.
［3］余新武，陈瑛.中学教师课堂教学语言能力现状与应对策略 ［J］.湖北师范学院学报（自然科学版），2010（3）.
【中图分类号】 G761
本文为国家社会科学基金“十三五”规划2017年度教育学青年课题“先天盲和后天盲学生信息表征方式的实验研究”（CBA170279）、深圳市教育科学2017年度重点规划课题“知觉符号理论下盲校小学数学配套教具的设计研究”（zdfz17039）的阶段性成果。
（作者单位：广东省深圳元平特殊教育学校，518112）