Paretian型超出损失再保险纯保费的贝叶斯极值估计，本文主要内容关键词为：极值论文,保费论文,损失论文,Paretian论文,贝叶斯论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F840 文献标识码：A
引入
在再保险中，精算师研究的实际上就是超出损失保险(Excess-of-Loss)（简称XL）的纯保费问题。在XL中，被保险人只能对超出某一固定值（门限值）的损失部分提出索赔要求。这时，纯保费就是下一个时期内总索赔数目的期望值。
在保险精算中，索赔次数N服从时齐的Poisson过程已被广泛使用，本文同样以时齐的Poisson过程作为索赔次数N的分布。
这里，α＞0，σ＞0、在式(2)中，若σ=1、我们称这个子模型为限制的Paretian模型，此时，极值指数α的Hill估计就是极大似然估计。
在全模型(2)中，我们可进一步看到为什么Hill估计及其相关估计是不精确的。事实上，刻度参数α＜1越小，形状参数就越大，分布函数
的右尾越厚。如果这时对分布函数进行估计，然而σ=1却固定不变，那么由刻度参数σ＜1较小引起的厚尾就必须以低估形状参数σ作为补偿。更详细的介绍参见Reiss和Thomas(1999)。
利用贝叶斯方法对限制的Paretian模型进行分析，并应用于纯保费估计的文献可参照Rytgaard(1990),Hesselager(1993),Schnieper(1993)。利用贝叶斯方法对全Paretian模型进行分析，并应用于纯保费估计则归功于Reiss和Thomas(1997)。
一、全Paretian模型参数的贝叶斯估计和纯保费的估计
我们首先利用经验贝叶斯方法对全Paretian模型的参数进行估计。在式(2)中，我们将形状参数α的先验分布限定为Gamma分布，记其密度函数为
，则
二、实例分析
本节首先考虑两个案例。第一个案例是表1的火灾再保险数据，最早研究该数据的是Schnieper(1993)，后来Reiss和Thomas(1999)进一步研究了这个数据。
表1 超出22.0百万克朗的火灾保险索赔额(1983～1992)
年份 索赔额年份
索赔额
1983 42.7191988
26.891
1984 105.861989 25.590,24.130,23.208
1986 29.172,22.654 1990 37.772,34.126,27.990
1987 61.992,35.000 199253.472,36.269,31.088,25.907
Schnieper(1993)在σ=1时，得到了参数α的Hill估计为α=2.219，并说明索赔的累积分布的形状参数应在4附近。Reiss和Thomas(1997)利用MLE得到的参数α，σ的估计为α=3.9，σ=2.13。因此，我们在选取先验分布的参数时，就可充分利用这些先验信息。为此，选择形状参数α的Gamma先验的两个参数分别为s=4,d=1，这样α先验分布的均值为4。对于刻度参数σ的先验倒Gauss分布的两个参数的选取，我们同样遵循这个原则（先验分布的均值为2.13附近变化），具体选取见表2。
第二个案例是表3的汽车责任保险索赔额数据，这个数据来源于Rytgaard(1990)，Hesselager(1993)，Reiss和Thomas(1999)进一步讨论了这个数据。Reiss和Thomas(1999)利用MLE得到的参数α，σ的估计为α=1.6，σ=0.48。参照Hesselager(1993)对α先验参数的选取，我们选取s=11.1,d=5.6，参数σ的先验倒Gauss分布的两个参数及的
选取，同样遵循案例一的原则。这时，=3.2，各个参数的估计及纯保费的估计值具体见表4。
表3 超出1.5百万的汽车责任保险索赔额（五年）
年份索赔额
1 2.495,2.120,2.095,1.700
2 1.650,1.985,1.810,1.625
3 3.215,2.105,1.765,1.715
5 19.180,1.915,1.790,1.755
三、随机模拟与结果说明
为进一步说明估计的稳健性，利用Monte Carlo方法对参数估计式
进行N=4000次随机模拟。首先从形状参数α=4，刻度参数分别为σ=2，1的全Paretian分布中产生样本量为k=20的样本，Gamma和倒Gauss分布的先验超参数分别为s=4,d=1,b=0.5。图1（图略，见原文，下同）给出了4000个值的核密度估计图。
从图1可以看出：当σ=1时，的估计值明显偏离4；当σ=2时，的估计值却比较理想，这主要是由超参数a,b的选取引起的。当然，超参数a,b的选取还是相当重要的。
事实上，在利用贝叶斯理论对极值分布的参数进行估计时，先验分布的选取是可以非常灵活的，并不限于某个固定的分布。只要恰当选取先验分布及其超参数，利用贝叶斯方法对参数进行估计结果是可靠的，稳健的。而且，由于贝叶斯方法充分利用了传统的非贝叶斯方法所没有利用的先验信息，因此，在许多场合，贝叶斯方法和传统的非贝叶斯方法相比，具有许多无可比拟的优越性。