数学阅读水平四层次分析达成的“问题链”教学设计——以“柯西不等式”的教学为例，本文主要内容关键词为：不等式论文,为例论文,教学设计论文,四层论文,水平论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“阅读是从写的或印的语言符号中取得意义的心理过程，阅读也是一种基本的智力技能，它是由一系列的过程和行为构成的总和”.在阅读时，感知、想象、联想、思维、记忆等智力因素参与活动，分析、综合、推理、判断、归纳、演绎等思维活动也在进行.这种心理因素形成一个渐进的意识过程，成为提高阅读水平的关键所在.
问题是数学的灵魂，也是思维的动力，没有问题，思维就没法启动.通过“问题链”的形式，不断引导学生积极的思维活动，在解决问题的过程中，通过观察、发现、归纳、类比、猜想、推理等活动，不断揭示数学的本质，建立数学理论.这就要求数学教师在教学设计时要设计出一个完整的“问题链”，让学生在解决问题的过程中自主建构数学，完善数学的知识体系，提高数学能力.
本文以苏教版选修4-5《不等式选讲》“5.4.1柯西不等式”的教学设计为例，谈谈教学中教师如何通过“问题链”的设计来引导学生积极思考，从阅读的第一层次逐步上升到第四层次.
一、利用“问题链”促进阅读水平的提高
利用“问题链”引导学生主动思考.引导性问题能够帮助教师了解学生知道什么或者能够做什么，并帮助学生学会共享阅读活动中的信息.教师在设计和应用“问题链”进行提问时，要能够激发学生积极参与，推动学生进行集体或独立的阅读活动，所提出的问题需要学生通过信息处理和加工，改变信息形式或组织结构，应用比较、分析、综合、抽象、概括等思维形式来回答问题.在要求学生叙述获得信息的基础上，尽可能地把目标转向培养学生获得信息的潜能.
二、柯西不等式阅读四层次“问题链”设计
“不等式选讲”是必修5第三章“不等式”的延续和拓展，同时“不等式选讲”也是高中教材对不等式的一个系统梳理，介绍了不等式的性质，含有绝对值的不等式，不等式的证明，几个著名的不等式，运用不等式求最大（小）值，运用数学归纳法证明不等式等内容.“柯西不等式”是几个重要不等式中的一个，是对前面所学几个不等式的提炼和推广，是不等式证明方法的一个拓展，也给我们解决求最值问题提供了更有力的工具.
（一）感知性阅读层次“问题链”的教学设计
“柯西不等式”这一小节的教学采用让学生先看书然后交流、研讨的形式进行.通过阅读让学生了解这一小节的基本内容，而有问题指向的阅读可以从外部控制阅读者的注意力，阅读效率会更高.
1.定理1、定理2、定理3、定理4的内容分别是什么？
2.定理1、定理2、定理3、定理4分别是怎么证明的？
3.例1至例6分别是如何求解的？
通过问题链1的三个小问题，让学生初读课本，感知教材，知道课本内容是什么，这个阶段主要回答“是什么”的问题.通过阅读感知教材所涉及的主要内容，对这一节内容的概念、定理、公式有一个初步的认识，而阅读感知是包含着强烈理解色彩的间接感知，感知内容的多少、程度的高低受阅读者自身知识水平、阅读注意力的影响.
定理1设a，b，c，d均为实数，则
，等号当且仅当ad=bc时成立.
定理2设α，β为平面上的两个向量，则｜α｜·｜β｜≥α·β等号当且仅当α，β共线时成立.
感知性阅读阶段的检测要求也就是学生能回答上述阅读思考题，这个阶段只要求学生能看懂定理是怎么证明的，例题是怎么求解的.但是看懂跟自己会做还有很大的差距.
（二）理解性阅读层次“问题链”的教学设计
理解性阅读就是要让学生知道为什么.格式塔心理学强调阅读的整体性，对部分的分析只是作为内容整体分析的一种手段.在学生初读感知的基础上，要求学生调动已有的知识经验，通过教师问题的设计让学生进一步感知各部分之间的联系，从而使得学习内容在学生眼里有一个知觉整体，这个阶段是以思维活动为中心的阶段，是数学阅读的主要阶段.阅读的质量高低取决于理解的深度和广度.局部的概念、定理、公式理解了，再回到整体，就能对学习内容产生更为深刻的认识.而不同学生感知水平是不同的，但通过对问题的交流，可以让感知水平低的同学达到较高的感知水平.
通过交流、研讨让学生理解定理之间的关系，也让学生了解柯西不等式不是凭空产生的，它和之前所学的基本不等式之间有着密切的联系，而且多角度研究同一个问题可以加深学生对问题本质的理解.
当建立了概念的内部表征之间的关系后，就会产生知识的网络，一个网络就像一张蜘蛛网，结点可以认为就是所表示的各条信息，而中间的线就是它们之间的联系.一个数学观念、方法或事实，如果成为个人内部网络的一部分，也即理解了这个数学观念、方法或事实，理解的程度是由联系的数目和强度来确定的，所谓彻底理解了一个数学概念，也即指它和现有的网络产生了更多更强的联系.师生共同对课文整体的研究、交流，可以帮助学生构建知识网络，优化原有的认知结构.
1.定理1与定理2有何关系？定理1与定理3有何关系？定理1与定理4有何联系？这些定理与例题之间有何联系？
2.例1至例6跟我们以前所学的有关不等式知识之间有何联系？
3.柯西不等式的结构特征是什么？
通过交流、研讨学生得到以下结论：
定理2是定理1的向量形式，定理3是反映了定理1的几何意义.定理3与定理1本质上是等价的，借助图形可以直观地认识到这一等式的正确性.给出定理2、3，旨在加深学生对定理1的本质的理解.定理4是定理1的推广，定理1是定理4的特例.
例1是定理1的直接应用，例2可以看成是三角形不等式的特例，设A（a，b），B（-c，-d），不等式的几何意义即｜OA｜+｜OB｜≥｜AB｜.如果设α=（a，b），β=（-c，-d），例2的向量形式为｜α｜+｜β｜≥｜α-β｜.
例5可以化为
，开放得
这是学生知道的结论：n个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数.
柯西不等式的结构特征：两组各n个数平方和的乘积不小于对应两数乘积之和的平方.
（三）批判性阅读层次“问题链”的教学设计
数学交流是数学学习需要掌握的一种能力，学生在理解的基础上，运用自己的语言来分析教材的主要内容，用他人所能理解的语言加以表达.美国学者司马贺说：“理解的一个重要指标，就是看一个人能否用平常的语言把问题陈述出来，并通过对问题的陈述产生对问题的内部表征.”所以学生在阅读时，不能只停留在泛泛的理解上，而必须要主动探究课文所蕴含的各种意义，不断地介入评价、怀疑和预测，不断地提出问题，再根据自己的判断，运用自己的语言，发表自己的见解.
1.上述定理有没有其他的证明方法？上述例题有没有其他的求解方法？
2.柯西不等式是用来解决什么问题的？试对例6作改编.
3.试自编几道用柯西不等式求最值的题目.
例1可以用三角换元或基本不等式求解，例4也可以用基本不等式求解.
定理4可以用常规方法证明，只要作差就可以了：
等号成立的条件是对所有i≠j都有
例6中等式a+2b+3c+4d=5左侧的系数可以根据需要作调整，甚至可以是负值，代数式
中系数也可以调整，只要确保是正数即可.
柯西不等式涉及三个代数式：两个平方和，一个是乘积之和的平方，因为乘积之和的平方是平方和中对应数的乘积之和的平方，所以两个平方和的形式确定了，乘积之和的平方的形式也就确定了.所以柯西不等式可以解决若干个数的代数和为定值，求若干个数的平方和的最小值，或者已知若干个数的平方和为定值，求若干个数代数和的取值范围的问题.
（四）创造性阅读层次“问题链”的教学设计
研究人员发现，学生只注意记忆算法的步骤会削弱对数学本质的理解，花大量的时间复制常规任务解答的学生只能发展数学的表面联系，教科书学习中常常并没有要求学生创造性理解，过分聚焦于模仿性理解将导致学生学习数学的困难.
在理解的基础上，独立地提出自己的见解就是一种创造，对问题、公式或定理作一点改进也是一种创造.数学课堂要给学生提供发表见解的机会，培养学生发表见解的意识，从而逐步培养学生的创造意识和创造能力.
理解性阅读阶段主要表现为对阅读内容进行如实的认识，是主观认识逐渐符合客观实际的思维过程，而创造性阅读阶段是以学生已经形成的思想观点来赏析、评价原有的内容，在此基础上作适当的改进或提出自己个性化的认识.
定理2是定理1的向量形式，类比定理2，能否得到定理4即柯西不等式的几何解释？
学生给出了以下解释：
由｜α｜｜β｜≥｜α·β｜就得到定理4，如果把柯西不等式两边开方，柯西不等式可以表述为：两个向量模的积不小于两个向量数量积的模，这是柯西不等式的几何意义.
启发性练习：
4.上面的练习有什么共同的特点？你能从中得到更一般的结论吗？
这几道题在学习基本不等式时学生都做过，放在这里可以作为柯西不等式的一组巩固练习，更重要的是启发学生发现柯西不等式的变式.练习1，2的证明都只要两边同乘以x+y，用柯西不等式即可，练习3只要两边同乘以a+b+c，用柯西不等式即可.教师启发学生观察练习1，2的一个共同特征：右式分母正好是左式两个分母之和，而练习3右式可以写成
的形式，也符合上述规律.
通过讨论可以得到以下结论：
柯西不等式变式1.
教材从定理1到定理4是推广，通过对教材的研读，也要让学生掌握推广的基本模式，培养学生推广的意识，这对培养学生创造性思维能力的发展具有重要意义.
在应用“问题链”进行阅读四层次达成的教学中，教师所设计的问题要对准阅读的目标，突出阅读内容的重点；要问在学生有疑问的地方，促进学生对问题的理解，帮助学生将证据与结论联系起来；要能够引导学生积极思考，将学生的观点引入课堂，促进学生的参与和讨论；还要为学生进一步学习留有空间.只有这样，数学阅读才能有效展开.