双曲线概念的建构学习——基于建构主义和信息技术的教学案例，本文主要内容关键词为：双曲线论文,信息技术论文,教学案例论文,概念论文,建构主义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境下，借助教师和学习伙伴等其他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。教师是学生意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者[1]。 以计算机为中心的信息技术为建构主义应用到教学中创造了有利的条件。用计算机可以对图形进行任意的变换，将参变量在不同时刻的轨迹展示出来，并且能动态的展示轨迹的形成过程以及变化过程，使得轨迹问题形象化，方便直观，这种情景便于学生正确建构知识。
＊
＊
＊
本节课是在建构主义理论指导下进行精心设计的，通过利用计算机创设情景，从作出的椭圆轨迹的变化到消失，从消失变化到新的轨迹双曲线的产生，引起学生的思维冲突，主动调整认知结构，对椭圆和双曲线的相关信息进行同化和顺应，这样通过教师与学生、学生与学生相互“协作”，从椭圆轨迹出发构造出双曲线的轨迹，在双曲线轨迹的产生过程中通过“会话”逐渐分析出双曲线上的点的属性，最终达到对双曲线概念的“意义建构”。
1.首先复习椭圆的定义，由学生回答，师生共同回顾整理几个关键点：
（1）平面内；
（2）到两个定点的距离之和为常数2a；
（3）常数2a大于两个定点之间的距离2c。
2.复习椭圆的作法（以下的作法学生在学习椭圆时学习过）
创设情景：用《几何画板》作出课件，显示如图1画面。
教师：以F[,1]，F[,2]为焦点，│AB│＝2a（定长），怎样作一个椭圆？可利用各种工具。
学生1：用绳子、图钉等实物作图（略）。
学生2：尺规描点作图（略）。
学生3：轨迹法。
（1）以F[,1]为圆心，AB为半径作圆；
（2）在圆上取任意一点M；
（3）连结MF[,1]，MF[,2]；
（4）作线段MF[,2]的中垂线变MF[,1]于P；
（5）让M在⊙F[,1]上移动，作出P点的轨迹，即为所求。
教师按学生回答操作（如学生能熟练使用《几何画板》，可由学生直接作），结果如图2、3，4；
图2
图3
图4
教师：其轨迹为什么是椭圆？
学生：因为P是线段MF[,2]的中垂线与MF[,1]的交点，所以│PM │＝│PF[,2]│，│PF[,1]│＋│PF[,2]│＝│PF[,1]│＋│PM│＝│MF[,1]│＝2a（常数），而且2a＞2c，故轨迹是椭圆。
教师：非常好！这种作法体现了什么思想？
学生：利用中垂线的性质，将不在同一直线上的两条长度和为2a的线段PF[,1]、PF[,2]，转化到在同一直线上，得到一条长为2a的线段F[,1]M、M点的轨迹是一个圆，从而使椭圆上的P与圆上的点M一一对应，只要让M点在圆上运动，就可以得到P点的轨迹，这种做法体现了转化的思想。
教师：真棒！大家不仅能够作出椭圆，而且能体会到深刻的数学思想，好，下面请继续观察。
3.设疑引入，产生冲突
教师演示：慢慢拖动F[,2]到圆外。
教师：在这个过程中你观察到轨迹怎么变化？
学生：在这个过程中椭圆越来越扁，最后轨迹消失。如图5、图6。
教师：椭圆为什么会消失呢？
学生：此时2a＜2c，显然构不成椭圆，当然轨迹不存在了。
教师：很好，椭圆是线段MF[,2]的中垂线与线段MF[,2]的交点的轨迹，拖动M，请观察线段MF[,2]的中垂线与线段MF[,1]的位置情况。
教师演示：接着拖动M使之在圆上运动。
学生：M在圆上运动的过程中，线段MF[,2]的中垂线与段线MF[,1]始终不相交，故轨迹不存在，如图7。
图5
图6
图7
教师：很好，MF[,2]的中垂线与线段MF[,1]不相交，如果将MF[,1]延长，它们有交点吗？
学生：有。
教师：当M在圆上运动时，交点的轨迹还是椭圆吗？
学生：应该不是吧？（不敢肯定或否定）
教师演示：将MF[,1]延长，作MF[,2]的中垂线与MF[,1]的延长线交于P。拖动M，作出P点轨迹为双曲线的一支，再拖动M，发现MF[,2]的中垂线与MF[,1]的延长线不相交，反向延长MF[,1]，作MF[,2]的中垂线与MF[,1]的反向延长线交于P，作出P点轨迹为双曲线的另一支，如图8～图11。
教师：轨迹不是椭圆，当点M在圆上运动一周时，MF[,2] 的中垂线与MF[,1]的延长线、反向延长线先后相交，两个交点各形成一条曲线，这两条曲线合在一起称为双曲线，如图12。
4.分析得出定义，进行意义建构
教师：和椭圆一样我们来分析双曲线上的点P与定点F[,1]，F[,2]的关系，连结PF[,1]、PF[,2]（如图13）。
学生：因为P是线段MF[,2]的中垂线与MF[,1]的交点，所以│PM│＝│PF[,2]│，
教师：能否仿照椭圆给双曲线下个定义？
学生：平面内与两个定点F[,1]、F[,2]的距离的差的绝对值是常数（常数小于F[,1]、F[,2]的距离）的点的轨迹叫做双曲线
教师：定义中的几个关键点是？
（1）平面内；
（2）到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a；
（3）常数2a小于两个定点之间的距离2c；
教师：下面我们来推导双曲线的标准方程。