基于模糊度的姿态测量仿真与实现

张道成

(中国人民解放军91404部队,河北 秦皇岛 066200)

摘 要: 在分析姿态测量发展的基础上,对模糊度求解的LAMBDA算法进行深入的研究,对序贯条件最小二乘和模糊度去相关进行详细的理论分析、公式推导和实例论证,并实现了基于模糊度的去相关前后搜索空间和方差比较的仿真验证,可为姿态测量的后续发展提供技术参考和研究方向。

关键词: LAMBDA;模糊度;姿态测量

随着科学技术的不断发展,载体姿态的测量得到了越来越多的应用,不仅广泛地应用在民用中,而且在军事技术上也得到了很好的应用。世界上不少研究机构或者公司都对其开展了深入的研究。美国宇航局(NASA)于20世纪90年代末开展了GPS/INS组合用于航天飞机姿态测量的研究,精度要求为0.5°/m。美国斯坦福大学于20世纪90年代末在实验室也得到了0.25°/m-0.5°/m的精度^[1],茅文深针对双频姿态测量算法和组合测姿开展了研究^[2]。

在短基线载波相位双差观测模型中,主要考虑两组未知数,分别是基线矢量和双差整周模糊度。本文主要对模糊度中的最小二乘去相关平差法(LAMBDA)^[3]开展研究。

为达到热氮吹硫工艺的要求，对20×104 t/a硫磺回收装置及尾气处理系统进行技术改造。在一级反应器进料加热器入口分别增加1条氮气管线和1条工厂风管线，同时，在氮气和工厂风管线上各增加1台流量计，便于准确控制吹扫气量。三级硫冷凝器出口管线上增加1条直接去急冷塔的管线，跨过加氢单元，以免钝化后期含氧过程气进入加氢反应器床层，对加氢催化剂造成不可逆的影响。急冷塔出口增加1条去尾气焚烧炉的管线，用于控制克劳斯系统吹硫钝化压力。具体改造流程如图1所示。

1 参数估计模型和准则

已知双差载波相位线性观测方程的最小二乘目标函数为

(1)

式中,是双差载波相位观测值的方差-协方差矩阵,b 为基线未知矢量,N 为双差模糊度(下文称为模糊度),A 和B 分别为基线矢量和模糊度的系数矩阵

为n 维整数空间,R ³为3维实数空间。式(1)的最小化问题可以看成带有整数约束的最小二乘问题。

上述最小二乘估计^[4]的二次型目标函数可以分解为下列形式

1916年叶良辅、1928年杨曾威、1936年熊秉信、1938年王竹泉、1963年李星学、1960年北京矿业学院、1961年北京地质学院、1976年北京矿务局等许多地质学家及地质研究单位都曾来此作过研究工作，并最终确立了以本区地名命名的上古生界北京地区代表剖面，适合地质剖面测定、岩性岩相分析及沉积环境分析等基础性教学.

(2)

式中,为无约束的模糊度实数解,Q _N 为对应的方差-协方差矩阵;为模糊度条件下的最小二乘基线向量解,为对应的方差-协方差矩阵,为无约束的最小二乘残差向量。

sequence(adcresultb0,10); sequence(adcresultb1,10);

很显然,二次型目标函数的最小化问题转换为等式右边三项的最小化问题,当b 和N 都为实数解时,此时右边应该只剩下当N 为整数解,b 为实数解时,则最小化目标函数可以写成此时解为

搜索空间χ ²的确定,合适的χ ²可以保证最优值在搜索区域内又可以保证搜索效率,所以它在搜索过程中起着重要的作用。下面介绍LAMBDA算法中χ ²的确定方法。

城市空间扩展方向随时间的推移而有所变化，为分析城市空间扩展的各向异性，采用等扇分析法。以1999年城区边界的重心为方向圆的圆心，适当半径画圆使之能包含2014年城区边界，然后将方向圆顺时针等分为8个扇形块，分别为：北、东北、东、东南、南、西南、西、西北，得到1999～2014年8期每个方向的城区规模面积。然后按照这8个象限计算城市各方向空间规模，并借助统计软件绘制城市扩展雷达图，并以直观形式表达出城市1999年到2014年不同时段各个方位空间规模情况。

从上面分析可以看出最小二乘解可以分为三部分,第一步求解无约束的实数解,即根据式(1),去掉N ∈Z ⁿ 的约束,直接通过加权最小二乘获取实数解和对应的方差-协方差矩阵,计算结果如下

(3)

第二步是利用第一步中的和来求解模糊度整数解其对应的目标函数为

(4)

一旦得到模糊度向量的整数解第三步就是利用相应的残差值来对基线矢量浮点解进行重新平差。得到基线向量的固定解即有

屈光参差的程度与相对高度屈光不正眼UCVA、BCVA均呈负相关性（r=-0.473、-0.525，P＜0.001）；与远立体视及RDS测得的立体视锐度、交叉立体视、非交叉立体视等均呈负相关性（r=-0.455、-0.399、-0.423、-0.369，P＜0.001）。

(5)

对应的方差-协方差矩阵为在实际应用中常常被描述固定解的精度,很显然一般来说,当观测历元较少时,模糊度的实数解对基线向量的影响较大,从而使基线的估计精度很低,但是,当模糊度已经被固定时,则高精度的载波相位观测值就等于高精度的伪距观测值,这样计算出的基线坐标参数具有相当高的精度。

2 LAMBDA算法实现步骤

针对上面的模糊度固定问题,Delft科技大学的P.J.G Teunissen博士提出了一种快速有效的模糊度固定方法——最小二乘降相关平差法(LAMBDA),它主要有两部分:模糊度条件搜索和模糊度去相关处理(又称整数Z 变换)。

2.1 模糊度整数最小二乘搜索

对于式(4)的整数最小二乘问题目前没有统一的解析求解方法,目前都是通过离散搜索的方法来得以实现。具体实现为利用式(4)来构造一个n 维的实数椭球搜索范围R ⁿ ,进行搜索。这个模糊度搜索椭球可以定义为

(6)

这个搜索椭球空间以为中心,控制着椭球的指向和扁率,常数χ ²的值代表椭球的尺寸大小。

预警发布模块安装在客户端，通过socket通信实时获取预警计算结果，并及时推送到客户端桌面，从而完成预警消息发布。

齿圈2一次淬火不能加工出想要的淬硬层，中间有断层，通过两次淬火，齿圈2两端面的淬硬层深度不同，并且齿圈2的倒角端面6的硬度为50～56HRC，齿圈2的非倒角端面7的硬度为25～35HRC，倒角端面6的淬硬层深度为齿根以下0.5～2.0mm，齿宽中心剖面的淬硬层不超过齿根圆，很好地控制了“阴阳脸”。

当n ≥3时,体积函数可以通过V _n =2πV _n-2 /n 等式进行循环计算,其中V ₁=2,V ₂=π。

当期望得到的模糊度候选值个数大于n +1时,χ ²的取值方法是通过计算椭球体积大小来确定,具体计算如下:

椭球区域的体积公式为

(7)

式中,V _n 为体积函数

(8)

当期望得到的模糊度候选值个数小于等于n +1时,χ ²的取值方法是取浮点解的最近整数按照式(4)的目标函数计算得到的值。即先由浮点解的最近整数求的1个二次型的值,然后分别让其中一个浮点解取次整数,其他浮点解不变,可以得到n 个二次型的值,这样一共得到n +1个二次型的值。如果从这n +1个数值中选取次最小的值作为χ ²,这样确定的模糊度搜索椭球大小可保证至少2个,至多几个候选模糊度;同理,取第i 个最小的二次型的值可以保证搜索椭球内至少有i 个候选模糊度。

式中,为变换后的标志。LAMBDA算法就是在Z 变化后对模糊度进行序贯条件最小二乘搜索。最后再通过逆变换得到原来的模糊度固定值。

(9)

其中,λ _i 是的第i 个特征值。

所以由式(7)得到χ ²的表达式

(10)

从今年初暂停逆周期调节到8月重启，“逆周期调节因子”缺席半年有余。它对宏观经济是否有影响？据国家统计局消息，今年上半年国内生产总值418961亿元，同比增长6.8%。其中第二产业增长6.1%；服务业生产指数增长8%；货物进出口增长7.9%；居民收入稳定增长，就业形势稳中向好。虽然外部环境不确定性增加，上半年国民经济延续总体平稳、稳中向好的发展态势。“逆周期调节因子”的引入、暂停及重启，只是弱化了外汇市场的羊群效应。短期内看不出它对宏观经济的影响。

2.2 模糊度去相关处理

由于模糊度浮点解之间存在着很大的相关性,使得式(6)进行模糊度搜索时效率非常低,为了避免这种情况,LAMBDA算法中加入了对模糊度浮点解进行去相关处理的方法,其基本思想为利用一个整数变换矩阵Z 对模糊度以及它的协方差矩阵进行线性变换,使变换后的模糊度和其协方差矩阵相关性变弱,具体体现在由式(7)构成的搜索椭球空间规则化,从而使搜索效率提高。

2.2.1 模糊度搜索停滞现象

理论和数值分析均表明,存在着突变,为了从理论上解释突变现象,以二维模糊度的方差-协方差矩阵为例进行阐述。同时,这个二维矩阵的结构和n 维的模糊度方差-协方差矩阵的内部结构相似。

例如,两个最小二乘模糊度浮点解和的方差-协方差矩阵如下

(11)

假设

(12)

注意到式(11)被分解成两个秩分别为1和2的矩阵和的形式。式(12)存在的目的是使秩为2的矩阵中的元素远小于秩为1的矩阵中的元素。

接下来看和之间的相关性。可以看出相关系数ρ 的平方可以写成下列形式

农业经济管理为农村经济发展寻找合适的解决方案，关注实际问题，应用理论深化解决实际问题，解决农村经济发展面临的问题[3]。农业经济管理掌控农村经济发展、理论指导，应为农村经济发展提供最适宜的解决、发展方案。农业经济管理不断优化农村经济发展方案，要理论联系实际，提出因地制宜、合理的方案，以对当地农业提出适宜的、高效的实际方案，保障广大农民的利益，为广大农民排忧解难。在提出解决方案时，务必要联系实际，实地考察，做到“以民为本”，对当地情况进行合理、全面分析，了解当地的资源情况，提出合理的规划，利用农业经济管理为农村经济指出明确的方向，提出合理的规划及有效的解决方案。

(13)

结合式(12)可以看出ρ ²≈1。因此,两个模糊度之间是高度相关的,这也符合实际短观测时段情况下模糊度之间的相关关系。为了表明这种相关性使得条件方差之间存在突变性现象,首先来考虑方差和条件方差由式(11)可以得到:

(14)

将上式结合式(12)可以推得因此,第二个模糊度的条件方差和第一个模糊度的条件方差之间有一个很大的落差。这样就导致搜索停滞现象非常突出。

2.2.2 模糊度去相关(整数Z 变换)

花期授粉：猕猴桃的花期一般为7～10天，“贵长”“红阳”等品种必须借助人工授粉或蜜蜂授粉可以弥补自然授粉不足。

图1 12维条件方差取值范围

很显然,前3个和后9个模糊度条件方差之间有很大的突变,所以消除模糊度条件方差的这种突变性对于搜索效率非常重要,下面介绍的整数Z 变换就是为降低这种条件方差的突变性而提出的。

同样,n 维模糊度方差-协方差矩阵也可以写成两个矩阵和的形式。第一个矩阵的秩为n ,同时由于载波相位观测值的精度较高,所以对应的元素值都很小。第二个矩阵的秩为3,原因是模糊度值为实数值时,估计得到的基线精度较低,所以对应的元素值都很大。由于这种结构的原因,实际上的模糊度条件方差的变化范围在第三个之后都显得很大的突变性。图1是文献[6]为例计算得到的各个模糊度的条件方差的分布图。

相关实验结果证明体积E _n 的大小也大致确定了椭球区域内所包含的候选值的数量,即E _n 与候选值模糊度个数k 有近似关系k =int(E _n )^[5],当k ≥10时,该式较准确;但当k <10时,该式误差比较大。

LAMBDA算法的第二个特性——Z 变换,就是构造一个整数变换矩阵Z ,将原模糊度和变为

完整的串口通信协议包括串口识别码、版本号、数据识别码、数据、流水号、CRC16校验码和终止码等。其中，串口识别码用于自动识别正确的串口，同时作为整个通信协议的起始码。版本号，用于进行版本区分。数据识别码，说明在数据识别码后的数据特征，如数据类型和长度。数据，是对控制系统有价值的传输数据。流水号，是随着串口发送而递增的特征码。CRC16校验码，用于进行数据校验。终止码是通信协议的结尾。

(15)

对于确定的方差-协方差矩阵,有下列表达式

为了理解去相关的概念,这里我们用LDL ^T来分析,首先将模糊度的方差-协方差矩阵进行LDL ^T分解

(16)

式中,L 为下三角矩阵,D 为对角矩阵,Z 变换就是找到一个矩阵使尽量对角化,结合式(15),有

这部阿拉伯文献是萨剌姆前往东方的旅行记。当时阿巴斯王朝人传闻,“雅朱者和马朱者”冲破了亚历山大大帝在东方建造来阻挡他们的边墙“亚历山大边墙”，进入了文明地区。萨剌姆奉阿巴斯哈里发瓦西格之命前往东方,调查这个消息的具体情况。十世纪阿拉伯地图上以雅约吉·瓦·梅杰 (Yajoj wa Majoj)的身份开始出现雅朱者和马朱者的标识，他们以同样的名字出现在伊德里斯的1154地图上。

(17)

由于D 为对角矩阵,所以变换后的模糊度完全不相关,但是实际中,由于模糊度的整数特性,不可能完全去相关,即取Z =int(L ^-1),这样D 就不是对角矩阵,但非对角元素经过这样变换后一般都变得很小,有时还要经过多次这样的变换得到Z 矩阵。

目前维模糊度变换阵的构造方法有很多, 例如Liu,Han和Rizos分别提出了具有独到见解的模糊度去相关的算法^[7]。与此同时,基于白化滤波法和LDL ^T的去相关算法^[8]也层出不穷。

3 仿真分析

1) 模糊度去相关前后搜索空间的比较

这里我们采用二维模糊度作为例子,数据为文献[4]中第100页的相关数据。

(18)

经过高斯整数变换后的模糊度和对应协方差矩阵为:

(19)

显然,去相关后的模糊度对应的方差明显比变换前小,而且两者之间相关性也减弱。具体结果见图2。

谈起对后市的预测，大多数生产商和经销商都表示没有什么大的期待。一是国家环保力度不会放松。二是原料市场基本定型。还有就是北方小麦售肥已经基本结束，下半年大规模用肥需求基本喊停；而南方秋季备肥已经启动到一大半，至今还没有大的突破，所以复肥想要在剩下的几个月里打个漂亮的翻身仗预计很难。谭经理说：“我对复合肥后市翻身，并没什么期待了，很难！今年全国大多数地区复合肥销售情况都差不多，只能说农资越来越不好干了，这一行业对我们的要求也越来越高了。”

其中,图2a为变换前的搜索空间,图2b为变换后的搜索空间,可以看出,变换前的空间被压缩的很狭长,N ₁和N ₂要经过很长搜索时间才能遍历所有可能整数,而对搜索空间图2b显然更容易搜索。所以整数Z 变换极大提高了搜索效率。

2) 模糊度去相关前后条件方差比较

采取12维模糊度协方差矩阵,具体条件方差见图3。

从图3中可以看出,去相关后的模糊度条件方差很小并且都在同一数量级,很好的平滑了原始模糊度条件方差突变现象,从而提高了搜索效率。

图2 变换前后搜索区间比较

图3 去相关前后模糊度条件方差比较

4 结束语

本文对模糊度解算算法中的LAMBDA算法进行了详细的分析和研究,分析了参数估计模型和准则,该模型中包括基线向量和模糊度向量两组未知参数。由于模糊度的整数特性,使得模糊度的整数解没有统一的解析公式,只能通过有效的搜索方法来得到。LAMBDA算法提出了一种序贯条件最小二乘整数搜索,然而由于模糊度间的强相关性使得搜索椭球空间极其狭长,导致搜索效率很低,甚至会出现停滞现象,所以LAMBDA算法还提供了降低模糊度相关性的整数Z 变换,文中给出了整数高斯Z 变换的实现步骤,通过Z 变换后的模糊度搜索效率大大提高从而达到实时求解的目的。

参考文献:

[1] Adams J.C. Robust GPS Attitude Determination for Spacecraft[D]. Department of Aeronautics &Astronautics, Stanford University,1999.

[2] 茅文深, 唱传文. 基于导航卫星的载体姿态测量[J]. 指挥信息系统与技术, 2015,18(3): 14-17.

[3] Teunissen P.J.G. A New Method for Fast Carrier Phase Ambiguity Estimation[C]. Proceedings of IEEE PLAN′94, Las Vegas, NV,1994,12(29): 562-573.

[4] 陈树新, 千永生. 白化滤波对快速确定GPS整周模糊度算法的研究[J]. 空军工程大学学报, 2001,28(5): 14-17.

[5] Teunissen P.J.G., de Jonge P.J., Tiberius C.C.J.M. The Volume of the GPS Ambiguity Search Space and its Relevance for Integer Ambiguity Resolution[C]. Proceedings of the 9th International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation, Kansas City, Mo, September, 1996,20(17): 889-898.

[6] Teunissen P.J.G. The Invertible GPS Ambiguity Transformations[J]. Manuscripta Geodaetica, 1995,28(20): 489-497.

[7] Han S., Rios C. Improving the Compucational Efficiency of the Ambiguity Function Algorithm[J]. Journal of Geodesy, 1996,70(20): 330-341.

[8] Liu L.T., Hsu H.T., Zhu Y.Z., Qu J.K. A New Approach to GPS Ambiguity Decorrelation[J]. Journal of Geodesy, 1999,18(6): 478-490.

Simulation and Realization Based on Attitude Determination of Ambiguity

ZHANG Dao-cheng

(Unit 91404 of PLA, Qinhuangdao 066200, China)

Abstract :Based on the analysis about the development of attitude determination, Least-Square Ambiguity Decorrelation Adjustment(LAMBDA), which is a method of ambiguity resolution in real time, is made further study. The thesis presents detailed theoretical analysis, formula derivation and example verification for sequential conditional Least-Squares estimation and ambiguity decorrelation, and the simulations of search space before and after decorrelation and comparison of variance based on the ambiguity are verified. All these researches can provide technology reference for the future development of attitude determination.

Key words :LAMBDA; ambiguity; attitude determination

文章编号： 1673-3819(2019)05-0103-05

中图分类号: TJ391；TJ761.1

文献标志码: A

DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2019.05.021

收稿日期： 2019-04-20

修回日期： 2019-05-16

作者简介： 张道成(1979—),男,河北故城人,硕士,工程师,研究方向为信号与信息处理。

(责任编辑:许韦韦)

标签：LAMBDA论文;  模糊度论文;  姿态测量论文;  中国人民解放军91404部队论文;