量子混沌研究的复杂性、超耦合特征与超可通约性，本文主要内容关键词为：量子论文,复杂性论文,混沌论文,特征论文,超可通约性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在过去的二十多年中，关于混沌现象及其机制的研究，已发展到成为物理学主要研究领域之一。尽管在理论和实验两个方面都对经典混沌进行了广泛的研究，但对经典混沌系统的量子力学行为，量子不规则运动的基本特征及其与经典混沌间的联系（这些是现在通常所说的量子混沌研究）却曾一直被排除于理论物理学之外，不久前已开始改变了这种状况。同时，关于量子混沌的实验研究也做出了积极的贡献。通过从各个角度对量子混沌性质的阐述，我们看到，量子混沌研究的初步成果呈现十分复杂的状况。本文拟对这些复杂性做一简括说明，并在分析量子混沌研究复杂性的基础上，指出其超耦合特征，由此再引入超可通约性概念。
1 量子混沌研究的复杂性
量子混沌研究的复杂性表现在诸如：混沌扩散的量子抑制（Thequantum suppression of chaotic diffusion）、 量子力学复杂性的根源、半经典近似（Semiclassical approximation ）与随机矩阵理论（Random matrix theory）的互补性、在哈密顿系统中生成混沌的弥散机制与散焦机制（Dispersion mechanism and defocusing mechanism）、环境噪音在混沌的量子动力学中的双重作用、量子混沌与量子起伏的关联、 在没有经典对应物的量子系统中的类混沌行为（chaoticlike behavior）局域化与去局域化（Localization and delocalization）、拉格朗日流形（Lagrangian manifold ）的椭圆固定点与双曲固定点、无序波函数和混沌波函数（The disordered wave functions andthe chaotic wave functions）等各个方面。下面就初步阐述一下这些复杂性表现。
（1）混沌扩散的量子抑制〔1〕的条件性和复杂性
目前，人们已了解到，混沌扩散的量子抑制现象，如周期受驱量子系统非共振行为对能量扩散的抑制，相当于安德森（Philip Anderson）的一维无规势模型，呈现角动量空间的局域态。P.安德森在1958年所撰写的题为“在某些无规点阵中不存在扩散”的著名论文中，提出无序导致电子态局域化这一论断。所谓局域化就是指形成一种不借助于热能就不能移动（扩散）的量子态的倾向。
但是，对于具体的模型来说，实现混沌扩散的量子抑制是有条件的。例如，在微波场中的氢原子，量子局域化效应抑制其混沌电离。然而，如果微波场强足够大，超过某个去局域界限，则量子局域化效应就不能再限制氢原子电离了。氢原子发生电离叫做去局域化。不过，研究者们也同时指出，氢原子的量子扩散运动与经典扩散运动之间仍有本质的差别。 并且， 除了量子局域化效应， 还存在抑制混沌电离的疤痕（Scar，即准能量本征态的相空间分布在不稳定周期轨道附近的高度聚积）等复杂因素。因此，通过对氢原子微波电离现象的更深一步的研究，将可能发现更丰富的有关混沌扩散的量子抑制的知识，以及关于量子抑制的条件性和复杂性方面的新信息。
（2）量子力学复杂性的根源
从量子混沌研究的角度，在一定意义下，量子力学中的复杂性有两个根源：一个是混沌，另一个是无序。现在，已经初步认识到，经典混沌的不可积系统是和许多原子的与核的现象有关〔2〕。 在凝聚态物理学中，关于无序现象的研究占有很重要的位置。譬如，上面述及的局域化问题。近来，基于应用超对称理论的非线性σ模型的无序系统理论有了新的进展。其初步成果表明，无序系统的最终扩散极限与量子混沌系统相似〔3〕。这一事例说明量子混沌研究已进入现代理论物理学。
在上述研究的基础上，有人利用细薄的微波空腔对量子系统中两个复杂性根源，即混沌和无序进行了实验研究〔4〕。 这一研究也试图改变过去波函数缺乏可达性的情况。其研究结果显示，混沌波函数展现的普适的密度分布和密度自相关与由超对称非线性σ模型引出的解释相一致。而无序波函数则相反，它由于安德森局域化作用，偏离了这个普适行为。
（3）半经典近似与随机矩阵理论的互补性
所谓半经典近似，指的是寻找给定量子力学问题的可使用经典量表达的近似方法。而随机矩阵理论则是为了分析复杂核的能谱而建立的一种统计理论。这一理论的研究对象是具有各种可能相互作用的哈密顿量的系统的集合。如用N×N的厄米矩阵表示所讨论的量子系统的哈密顿量，则的N[2]个矩阵元应看做是随机变量。并期望从随机矩阵的几率分布P（）d得出所研究系统能谱的统计描述。
随机矩阵理论可用于研究对应于某组确定好量子数的能级系列的分布。如果所研究的系统具有既对时间反演不变又对转动不变的对称性，那么随机矩阵空间就可选作N×N的实对称矩阵空间。
对于其短时矩极限是混沌的波体系（量子混沌体系）的研究，除了实验的和数值的方法以外，最重要的工具就是半经典近似和随机矩阵理论。
对于标准的随机矩阵理论而言，其所处理的是哈密顿知识几乎为零的问题，它不适用于研究平均的或平滑的态密度。但半经典近似方法则需要一定的哈密顿知识， 如选择一个特殊的运动场台球（
Stadium billiard）系统，利用小比率的波长／特征类长度等。
最近，有的研究人员试图把互补的半经典近似方法与随机矩阵理论结合起来， 并将其用于研究频谱。
例如，
把随机矩阵理论用到BogomolnyT算符〔5〕。T算符〔6〕 是将广义的边界积分方法用于研究台球问题的半经典近似，这里T是一个半经典的N×N么正矩阵， 它被看做是一个随机矩阵，但又不拒斥一切知识，如仍保留短周期轨道的知识。半经典近似与随机矩阵理论相结合对态密度和两点关联（two pointcorrelations）可给出一定的合理结果。当然，还有一些问题尚待解决。
（4）在哈密顿系统中生成混沌的两种机制
据目前所知，在哈密顿系统中有两种产生混沌的机制〔7〕。 一种是弥散机制，它显示，在弥散台球中的工作和在负曲率流形的测地线上一样；另一种是散焦机制，它则表明，在聚焦台球中的工作是与在非负曲率的曲面上的测地线上的相像。台球模型对于具有一个混沌的经典极限的量子系统的半经典分析起着重要的作用。
将这两种机制施加在轨道的局域指数发散上，随后轨道将发生整体的混沌行为。弥散机制可保证邻近轨道的持久发散；而基于强聚焦的散焦机制，其情形是这样的：当强聚焦光线经过短时间后通过一个共轭聚焦点，如果自由路径足够长时，它将成为发散的，而且相邻光线发散的时间，平均上比它们收敛的时间要长，这样将导致局域的指数的不稳定性和非零的李雅普诺夫指数。
倘若上述两种生成混沌的机制在某个动力系统中共存，则该动力系统的整体行为可能是复杂的混沌，但其间也可能存在稳定性岛屿。两种机制在一个体系中的共存，其相互抑制的倾向要大于其相互促进的倾向。这表明，二者具有内在的不同性质。
由此可以看出，在哈密顿系统中生成混沌的两种机制的共存及其相互作用是导致量子混沌复杂性的根源之一。
（5）环境噪音在混沌的量子动力学中的双重作用
有些研究者在探讨环境噪音对混沌的量子系统动力学的作用时，指出了它的双重性〔8〕。
这些研究者在其关于孤立的量子自由度的研究工作中，发现量子对于经典混沌动力学的修正是与经典相空间的特殊性质有关。对于拉格朗日流形演化成包卷的螺环（whorl）的椭圆固定点附近的运动， 量子的和经典的描述基本相同。而在与双曲固定点相联系的卷须（Tendrils）附近的量子动力学，则由于表征这个结构的拉格朗日流形中折迭间的干涉，它与经典描述有显著的差异。这些研究者认为，量子系统与外环境的耦合，一般是希望在这种耦合情况下使量子系统表现得更经典一些。先给定一个在孤立系统中抑制混合混沌的机制，然后探讨什么样的量子系统与外环境的耦合能破坏这个抑制机制。他们的研究成果初步表明，环境噪音是造成破坏量子干涉的原因之一，如它对双曲固定点附近卷须结构的抑制混合混沌作用具有一定的破坏性。但是，同一个环境噪音也可使新的轨道稳定，并能增强按类似于噪音－诱导跳动的滤波机制形成的局域结构。因此，这些研究者的结论是：在量子混沌中的外噪音与在经典混沌中相类似，有着双重作用。外噪音有助于按扰频方式的一定轨道的混合，但抑制按放大方式的保持其相干性的其他轨道的混合。
环境噪音在混沌的量子动力学中的双重作用启示我们，量子混沌研究的复杂性的突出表现之一是它的很强的具体性和细化性。在量子混沌的探索性研究中，必须把“具体问题具体分析”这一方法论原则贯彻到底。
（6）量子混沌与量子起伏
在量子混沌系统的理论中，最令人感兴趣的问题之一是关于混沌与量子起伏之间的相互关系。文献〔9〕指出，辐射修正（Radiative corrections），即量子起伏，可消除系统中的原初混沌。
一个系统的格林函数表达式为：
式中τ是粒子的固有时间。这个表达式显式地包含
。对轨道x μ（τ）的函数积分实际上取遍有效动力系统
如果式（2）是混沌的， 则描述量子系统的格林函数G[（0） ]（A[0]）不可避免地对初始条件有超敏感的依赖性。
根据量子力学原理，为了找到一个粒子从点X走到点y的概率，必须在计算中加上转移概率振幅。
文献〔9〕告诉我们，在原初混沌系统（2）中的可积轨道数目不会是多的，但A[0]的起伏有些像“起伏环”（fluctuating tori），它一直在显现并消失着。这些环产生附加的可积轨道，概率沿着“虚”网（the web of the "virtual"），即相空间中的共振环流动。
一般来说，如果积分的数目小于自由度的数目，则其部分轨道将在相空间中到处徘徊，并产生一些扩散。但是，一旦有了辐射修正（量子起伏），情况就变得很不同了。 此时， 粒子将倾向于沿着“虚环”（virtual tori）行走，而“虚环”是做为在相空间中的量子起伏的结果而出现的。
在极限g→0的情况下，当产生原初A[0][,μ]系统的δ 函数时，所有场起伏消失，虚环也跟着消失，系统就再次呈现混沌。可以说，辐射修正实际上就是起着重构相空间，从而消去系统的原初混沌的作用。
（7）在没有经典对应物的量子系统中的类混沌行为
我们知道，在量子理论中不存在相空间中经典轨道的直接对应物。但是表征经典混沌系统的许多特性也出现在量子系统的描述中。例如，线性薛定谔方程的解ψ是不直接呈现混沌行为的。可是，根据关于在一维保守势场中单个粒子运动的WKB（即温策耳，G.Wentzel；克拉默斯，H.A.Kramers；布里渊，L.Brillouin，三人姓名第一个字母的连写）半经典公式
得知，该公式中ψ的振幅A（q）是满足与相空间q 耦合的非线性方程的解，它能够按更加复杂的途径演化。
在（3）式中，p（q）是经典粒子抵达q点时的动量，c[,1]和c[,2]为任意常数，
相当于经典作用量函数，a和b是粒子经典轨道的两个折返点，a＜q ＜b（式（3）中没有b）。
如果在量子系统中允许有隧道效应解，人们发现，在势垒存在时，波函数演化的复杂行为可表现在做为一个时间函数的初始高斯波包的扩展上，它几乎是以准周期样式围绕一个平稳的渐近平均值涨落的函数。又从相空间的图线及其对时间导数关系的分析中，看到类似于倍周期的现象以及双阱混沌系统（例如被驱动的Duffing 振子）的类吸引子行为。
研究者们推测，隧道效应的存在可能是在量子类混沌行为的形成中起着重要作用的基本因素〔10〕。
2 量子混沌复杂性的超耦合特征
上面所述的量子混沌研究中的复杂性，只是从最近一些初步研究成果中粗略归纳的部分情况，其中涉及的理论和实验问题仍有待深一步探讨。不过，仅就这些内容来看，量子混沌的确是十分复杂的。笔者以为，若从科学哲学的角度审视上述复杂性，其共同的特征之一是一种超耦合特征，也就是高阶耦合、多重耦合、广域耦合、长时耦合或奇异耦合的特征。譬如，关于混沌扩散的量子抑制，就不能简单地只考虑量子局域化效应，还应分析一系列其他包括疤痕、KAM环面的隧道效应、 微波场强等因素。这里，有的因素对混沌扩散起加强作用，有的起抑制作用，并且还要弄清量子扩散与经典扩散运动的本质区别。这已表明，量子力学体系内的复杂耦合关系以及量子力学体系与外环境的复杂耦合关系都是高阶、多重、广域、奇异等超耦合关系。一般讲来，它们都难以简化或不可简化。
又如，在一定的（量子混沌）意义下，量子力学复杂性的两个根源，即混沌与无序，实际上是由充分的超耦合导致的内随机性的不同表现（关于“充分的超耦合可导致内随机”这一论断，笔者已在文献〔11〕〔12〕、〔13〕中有所阐述，这里不再详加说明）。由于无序系统的最终扩散极限与量子混沌相似，这就自然会推想到，具有充分超耦合关联的无序系统的内在随机性（这种内随机性与一般讲的确定论中的内随机性有所不同，按笔者的看法，后者乃是前者的特例），当其更加充分的演化时，即达到更加充分的超耦合的内随机性运动，如达到最终扩散极限时，就呈现与混沌相似的性态。这表明，由于“充分的超耦合导致的内随机性”的层次、程度不同又导致无序、混沌依次出现的复杂性，从而展示出“超耦合—内随机”关联的丰富性。不过，从另一方面看，混沌波函数与无序波函数又各有其“超耦合—内随机”关联的特殊方式，因此才使得混沌波函数展现的普适的密度分布和密度自相关与由超对称非线性σ模型引出的解释相一致，而无序波函数则由于安德森局域化的作用，偏离了这个普适行为。再者，在研究混沌与无序波函数时所应用的微波空腔实验曾开拓了麦克斯韦方程与薛定谔方程之间的对应关系，它还体现了微观与宏观两个层次间超耦合关联的复杂性。
从试图把互补的半经典近似与随机矩阵理论相结合的趋向看，这又是一种超耦合的整合方式。如同我们经常说东西方文明互补与整合一样，这类整合潜含着对所谓不可通约性的客观现象或认识现象（理论现象）的超耦合整合的可能性。
关于生成混沌的弥散机制和散焦机制在一个动力系统中共存的情况，显示了另一种超耦合的整合形式。此时，混沌与稳定性岛屿混合在一起，增加了量子混沌研究的复杂度，而环境噪音在混沌的量子动力学中的双重作用，则表明具体超耦合关联的特殊性和个性。
当量子起伏（辐射修正）在量子混沌系统中起着重构相空间的作用时，我们看到了在量子系统中存在着对“超耦合—内随机”关联作用的再次“超耦合—内随机”关联作用，亦即高次的“超耦合—内随机”的关联作用，这把量子混沌研究的复杂性推到了一个新的高度。
上面只是从量子混沌复杂性的超耦合特征和“超耦合—内随机”关联方面做了初步地、简单地分析。如若深入阐释， 那将是一个专门的学术论题。
3 量子混沌研究中的超可通约性
文献〔14〕指出，在一定条件下，混沌的量子抑制将导致对应原理（Correspondence principle）的破坏。这就是说，如果通过量子化规则把一个经典的混沌系统量子化，那么，这种量子化系统并没有混沌，即它是没有经典对应物（混沌）的量子系统。
众所周知，对应原理是N.玻尔（Niels Bohr）首次提出的关于把量子论看成经典理论的合理推广的陈述。这一原理最初是在诠释光谱学结果方面获得应用，即将个体跃迁过程各自分别地和原子级粒子的一个运动谐分量联系起来，而原子级粒子的运动是根据普通的经典力学来预期的。
对应原理包含了渐近一致关系和极限过渡原则。如本节开头所述，混沌的量子抑制在一定意义上破坏了这一原理。本文并不准备细述这一破坏过程及其条件，而是对本文第一节所介绍的在没有经典对应物的量子系统中的类混沌行为这一研究成果做一点方法论方面的思考。
量子类混沌行为的出现是有条件的，如隧道效应解的存在等等。但它毕竟已初步地被人们发掘出来了。是否可以说，量子混沌或量子类混沌现象是在超过对应原理的情况下出现在量子系统中，它体现了量子混沌的高度复杂性。
笔者认为，已在研究的量子混沌的复杂性都表明量子混沌或量子类混沌是和纯粹的经典混沌有深层次的、细节的、甚至一定方面的本质上的区别，但也有另些方面的本质上的共同之处。因此，如果通过混沌把量子力学理论和经典力学理论联系起来，那么对这类联系，笔者试以超可通约性（Supercommensurability）给予表达。
关于理论间的不可通约性（Incommensurability of theories）观点，主要是库恩（Thomas S.Kuhn）等提出的。 人们曾从对立理论的选择，不可通约性与可比较性、不可翻译性、科学的合理性、科学实在论的关系，不可通约性的种类等方面做了大量的探讨。总之，两个前后相继而又对立的理论在库恩理解的意义上说是不可通约的。笔者循此意义提出，对于任意两个前后相继而又对立的理论或两个对立的客观事物，在下述三个相关论断成立的情况下，总会在其间存在超可通约性。
第一论断，充分的超耦合可导致内随机。
第二论断，“超耦合—内随机”关联运动是复杂性的本源。
第三论断，高度复杂演化将生成对立通约点。
关于第一论断，前面已注明，可参看文献〔11〕—〔13〕。此处只举一例，三体耦合与二体耦合相比较，“三”即是充分的超耦合的“充分”的最小量。许多学者都发现了三体的（内）随机性。显然可以说，相对来讲三体之间的耦合是一种超耦合，而且是可导致内随机的充分超耦合。
关于第二论断，首先，由前述可知，超耦合是量子混沌复杂性的共同特征；其次，如混沌波函数，量子系统的类混沌行为，量子力学中强不可积问题等，都是由一定类型的超耦合关联运动导致内随机性，从而形成高度复杂的演化过程。经典混沌也可由“充分的超耦合可导致内随机”这第一论断加以一般性地概括。例如，Li-Yorke定理中的“周期三意味着混沌”的表述，其周期三的“三”就是该表述中的充分超耦合的“充分”的最小量。同时经典混沌也是高度复杂的。
在第三论断中的“对立通约点”是指，在对立双方的不可通约性之外，或在其已变化部分之内所附增的可通约、准可通约性，亦即指超可通约性。对于量子混沌问题而言，就是指由“超耦合—内随机”关联运动所形成的高度复杂的演化过程，使得除了混沌的量子抑制导致对应原理破坏的量子力学与经典力学间的不可通约性之外，又附增了超可通约性。
上述三个相关论断还意味着，在简单的、简化的或纯粹抽象的前后相继而又相互对立的理论模式、范式或相互对立的客观事物当中，不能从其没有改变或无法改变的不可通约性内找到超可通约性。而只有当对立的理论模式、范式或对立的客观事物各自达到高度复杂演化时，在其“超耦合—内随机”关联运动的复杂性中，才可能生成对立通约点，即生成超可通约性。“超耦合—内随机”关联运动的阶次愈高，则其复杂演化的程度愈高，对立通约点生成的可能性愈大。
相互对立的客观事物中的不可通约性，往往表现为由一种顽梗的堵峰将不可通约的双方分隔开来，使它们无法沟通。但是，充分的超耦合所导致的内随机性，并由此“超耦合—内随机”关联运动所形成的复杂性态、复杂行为却可能包含解顽的超可通约性。以量子力学中的隧道效应为例，金属中电子的冷发射、氨分子中氮原子穿越中间势垒的左右运动，α衰变中α粒子的穿透库伦势垒等都是微观客体内“超耦合—内随机”解顽作用的表现，也是高度复杂演化生成不可通约双方的超可通约性的事例。 又如， 在“基于信息的复杂性”（Information- BasedComplexity，简称IBC）的理论中有三个假设，即信息是局部的、 非纯化的、有定价的。当若破除计算机科学理论中难处理问题的顽梗性时，可运用IBC 概念，将信息随机化，即将泛函及其数目加以随机的选择，并将算法也随机化〔15〕。如果对某一具体问题的处理，运用这种随机化方法获得成功，那么，显然这就是构造超可通约性的一条实在途径。
在社会制度和社会关系方面，一个赤裸裸的资本主义制度或资本主义关系和一个十分理想的社会主义制度或社会主义关系，其间的不可通约性是不容讳言的。但是，对现实的高度复杂演化的社会实体，如香港社会和中国内地社会而言，“一国两制”的伟大构想及其表现为香港已回归祖国的事实就可以说明，在它们之间的确存在着现实的超可通约性。
量子混沌研究的复杂性，超耦合特征，“超耦合—内随机”关联运动，由高度复杂演化生成超可通约性的可能性等这一串值得思索的概念，将会引导我们进入21世纪科学哲学发展的新天地，并在探查这新天地的形貌特征和深层本质时，不断揭示“超耦合—内随机”关联运动的规律及其丰富的表现形式。