简约而非简约--“不同侧面直线形成的角度”教学环节与思考_异面直线论文

简约而不简单——“异面直线所成角”教学片断与思考，本文主要内容关键词为：而不论文,简约论文,片断论文,直线论文,简单论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      “异面直线所成角”、“直线和平面所成角”及“二面角”是立体几何中重要的内容，但在新课程中，这些角的计算主要是借助于空间向量来完成的.而本节课引入异面直线所成角的概念，主要是为了引出空间两直线垂直的概念，以及为下面进一步研究直线与平面垂直等问题打好基础.所以苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学2（必修）》（以下称教材）中明显淡化了异面直线所成角的概念的引入及计算方法，只安排了1道例题和1道习题，而且这两道题的载体都是正方体.可以说，加上异面直线的概念和判定定理，只要一个课时就可完成.有没有必要对这个明显淡化的内容进行单独研究？下面结合笔者的一堂公开课的教学片断，谈谈个人的设计意图及教后的一些想法.

      一、教学片断实录及设计意图

      1.发现问题

      上课开始，教师利用《几何画板》软件直接给出动画演示，动画中出现两对异面直线（如图1、图2所示），学生的注意力一下子就被吸引过去了.教师操作电脑，使图形运动、静止交替，让学生能看清旋转过程中不同位置时的情形.

      

      师：图1和图2中的两条直线a、b的位置关系是什么？

      生：异面.

      师：两个图中的每对直线的确都是异面直线，但这两对异面直线有没有不一样的地方？有什么不一样的地方？

      

：图1中的直线a离直线b远一点，而图2中的直线a离直线b近一点.

      师：（追问）能否用一个几何量表示你所说的“远近”？

      

：距离.

      师：好！其他同学还有补充吗？

      

：两图中的直线a、b的角度不一样.

      师：大家同意他们所说的吗？

      生：同意.

      师：很好！同学们都发现了这样一些问题，同样是两条异面直线，但两条异面直线之间还有所谓的“距离”和“角度”问题.今天我们就先来研究“角度”问题.

      （教师板书课题：异面直线所成角.）

      【设计意图】问题是思维的“启发剂”，数学教学应从问题开始，没有问题的教学是绝不会激发起学生的兴趣的.但问题到底如何展示？“发现问题”和“提出问题”的权力应该在师生的哪一方？爱因斯坦曾说过：“发现问题常常比解决问题更具有实质意义，因为解决问题不过是数学或实验的技巧罢了.”既然如此，笔者决定把发现问题的权力和机会还给学生.那么，在这个环节中教师起什么作用呢？教师需要创设好情境，搭好平台，引导学生积极主动地去观察、去思考、去分析、去发现.笔者没有用身边的实例和教具引导学生发现问题，而是在课件中利用了《几何画板》软件，这样更能吸引学生，激发学生的热情.

      2.解决问题

      师：在平面几何和三角函数中，我们都曾接触过角，那么什么是角呢？

      

：在平面几何中，角是从一点引出的两条射线所组成的图形，三角函数中的角是（平面内的）一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.

      师：可是两条异面直线根本就不相交，怎么才能找到它们的“角”，并且度量其大小呢？

      （几分钟后，有学生跃跃欲试.）

      

：我认为，可以把直线a投影到直线b所在的平面上，这样就得到一组相交直线，用这组相交直线所夹的角来表示直线a、b的夹角.

      

：你这样不好，我认为可以将直线a平移到与直线b相交，用这组相交直线所夹的角来表示直线a、b的夹角.

      师：其他同学有话要说吗？

      

：其实他们的观点是一致的，将直线a投影到直线b所在的平面上，就相当于将直线a平移到与直线b相交.

      

：不对，这两个观点不一样，如果将直线a、b的位置互换一下，就会发现按生4所说的会出现两个不同的结果，而按生5所说的就只有一个结果.

      师：好！有一点大家的意见是一致的，要度量两条异面直线的“角”，就要让这两条直线“相交”起来，也就是将空间的“角”转化为平面的角来研究.但是怎么转化，大家的观点有一定的分歧.你的观点为什么好？别人的观点又为什么不好？请说明道理.

      

：我也认为，按生4说的不可行，因为过直线b的平面有无数多个，不能认为就是图1中竖起的那个平面，所以将直线a投影到过直线b的平面上不可操作，而且结果不唯一.按生5所说的是可行的，因为不管怎么平移直线a，其实平移直线b也可以，只要让它们相交，所得的角总是确定不变的.

      师：（追问）怎么证明？

      

：可以用“等角定理”证明.

      师：其他同学是否都认同他的观点？（在得到肯定答复后）我想问，平移两条直线到任何一个位置让它们相交是否也可以？另外，在具体画图时，平移怎么操作？大家再讨论，在此基础上，能否用简洁、准确的语言给出定义呢？

      （两三分钟后，有学生发言.）

      

：设直线a、b是两条异面直线，在空间任取一点，分别将直线a、b平移到经过该点，分别记为a′和b′，我们把相交直线a′、b′的夹角就叫做异面直线a、b所夹角.

      师：还有同学有比生9更简洁、准确的定义吗？

      

：设直线a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别作直线a′//a，b′//b，我们把a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角.

      师：（追问）你觉得你给出的定义比生9的好在哪里？

      

：第一，作平行线比平移规范.第二，我觉得两条异面直线是不相交的，最好不用“夹角”.

      师：是否有一定的道理？大家认同吗？

      （在几乎所有同学都同意生10的看法的情况下，教师板书定义.）

      定义：设直线a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别作直线a′//a，b′//b，我们把a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角.

      【设计意图】设计方案、解决问题是探究教学的主要过程.但是探究的主体是谁？方案由谁设计？问题提出后，是提倡独立思考还是合作交流？本节课中，笔者虽然没有完全放手让学生信马由缰地去探索，但还是让学生成为探究活动的主人.而且，笔者没有引导学生小组讨论，而是让学生在独立思考的基础上发表个人意见，通过同学之间不同观点的比较分析，得出正确结论.数学大师华罗庚说过：“独立思考能力是科学研究和创造发明的一项必备才能.”所以，要让学生真正领会和掌握所学知识，最好的办法是让他们回到真实环境中去积极体验和感受新知识的构建过程.

      3.检验结论

      师：现在有了异面直线所成角的定义和计算方法，下面用它来试试解决具体问题吧.

      例如下页图3，在棱长为1的正方形ABCD-

中，E、F分别是棱AB和

的中点，求：

      

      【说明】此例是教材中的例题，原来只有前两问，第（3）问是笔者添加的.笔者不是一下子将三个问题都呈现给学生，而是以变式的形式一个个地展现出来的.通过第（1）问的结果，引出了异面直线垂直的概念.通过第（2）问，介绍求异面直线所成角的一般步骤（前两问的教学实录略）.

      师：再看第（3）小题，请大家计算出具体结果.

      （2分钟不到，就有学生发言.）

      

：结果为-

.

      

：结果为

.

      （这时，教室内争论声响起，争论的焦点就是

的符号，彼此都说对方算错了.）

      师：两个答案，互不相让.说说你们的解题思路.

      

      师：好，

再说说.

      

      师：你们双方再按对方所说思路做做看，看看对方的做法和计算有无问题.

      （学生因没有发现问题而百思不得其解.）

      【设计意图】通常的做法是通过例题应用结论、巩固知识和训练技能.但一个结论的正确与否往往要经过实践的检验.笔者就是想通过添加的问题引发学生的认知冲突，促使学生进一步思考.

      4.完善结论

      师：按照定义和具体操作过程，两种解法都没有问题，那为什么会出现两个不同的结果呢？大家可以讨论一下.

      （学生们讨论起来.过了一会儿，有学生发言了.）

      

：我们觉得没问题，因为我们前面的定义中，两条直线相交时就会形成两个互补的角，而此题中的这两个结果正好也是互补的.

      师：（追问）那前面两小题中，是否也有两个结果呢？

      

：第（1）小题就一个结果，因为90°的补角还是90°，第（2）小题应该还有一个结果120°.

      师：（追问）也就是说，在我们所给的定义下，一般情况下都有两解，除非是垂直时.我们能否容忍这样两个答案永远存在呢？

      

不知说什么好……

      师：（追问）如何修改定义可改变这种情况？

      

：只要规定范围即可.如规定两条异面直线所成角为锐角或直角.

      师：好！让我们来修改一下定义（教师在原来板书的基础上用红笔写上“锐角（或直角）”）.

      【设计意图】合作学习是新课程倡导的重要的学习形式，也是学习活动的社会性需要.同时，要检验和完善一个结论，合作交流、相互学习、相互补充是学习活动中不可或缺的环节，也是学生学习活动中需要培养的一种科学态度.但是，并不是遇到问题就要讨论.本节课的设计中，分组讨论活动没有安排在问题提出后，而是在问题解决过程中学生又遇到了自己无法解决的新问题时讨论.这样既尊重了学生的独立思考，又遵循了“大疑大动，小疑小动，不疑不动”的原则.

      5.总结拓展

      师：好！今天的课快要结束了，能说说你们的收获吗？

      （接下来，有几名学生谈了他们的收获，有知识、有解题方法也有思维方式.限于篇幅，具体内容略.）

      师：通过观察，我们发现了异面直线之间有“角”和“距离”问题，而且经过大家的共同努力，我们形成了异面直线所成角的概念及求法，这与课本上的内容完全一致.其实我们只是重走前人所走的路（有学生笑），这也了不起，你若也是前人，你就是数学家.异面直线所成角已被我们解决，那么异面直线的“距离”又是怎样的呢？相信你们也能解决.教材上没有介绍，若有兴趣，在课余时间可以自己研究，遇到困难，可以相互合作或查阅资料.今天的作业是……

      【设计意图】让学生谈收获，促使学生回顾概念和知识的生成过程，重新回味探索中的酸甜苦辣.同时，通过不同的学生互相补充，互相启发，使每名学生都加深对知识的理解，加深对学习方法的认识.最后又抛出“距离”问题，既首尾呼应又延伸课堂，延续学生的探究热情，激励学生探索未知领域.

      二、两点思考

      1.“用教材教”不等于“教教材”

      不可否认，教材是新课程理念的代表，是核心的课程资源，所以每位教师都应认真钻研教材，努力理解和领会教材的设计理念和教学思路，把握教材的特点.但是，重视和把握教材，不等于以掌握教材内容为目的的“教教材”，而应充分发掘和利用教材的各种教育和教学资源“用教材教”.所以，教师既要把教材当做引导学生学习的重要工具，同时又不能被教材所束缚，应根据教学的多维目标，有机整合和利用教材资源.本节课中，笔者没有将“异面直线所成角”的概念和求法当做唯一目标，而是借助教学内容，让学生在自我发现、自主探究、动手实践、合作交流中感受知识和方法的获得过程.

      2.“内容简单”不等于“教学简单”

      在教材中，有不少看上去很简单的教学内容.说它简单，一是因为它在教材中所占的篇幅少，研究的深度和广度小；二是因为高考中对这些内容的考查往往难以单独的题目出现.所以很多教师常常不重视这些内容，教学中往往一带而过，甚至让学生自己读一遍教材就过去了.但笔者认为，教材中的每个教学内容，都有它的教学价值和教育功能，虽然简单，却能成为对学生进行科学精神、思想、方法、情感、态度等渗透的极好素材.在这节课上，笔者就有意地渗透了对学生的科学素养的培养.在“创新型”国家中，科学素养作为一项基本的公民素质，重要性不言而喻.发展初步的科学探究能力是科学素养的重要内容，对青少年而言，学校教育是获得这项能力的最主要途径.所以，教育教学工作者既要成为科学知识的传播者，又要成为学生科学态度的培养者和科学方法的指导者.而教师的主要工作场所是课堂，所以，如何开发利用教材，让学生在自己精心设计的课堂教学的潜移默化中，逐步学会观察，学会探索，学会研究，从而提升学生的科学素养，是我们每位教育教学工作者应该思考的问题.

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