爱因斯坦、希尔伯特与广义相对论，本文主要内容关键词为：爱因斯坦论文,希尔伯特论文,广义相对论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一 广义相对论的建立(1905—1915)
1.奇迹之年，故事的开始
1905年，在这个被后人称为“爱因斯坦奇迹年”的年份中，爱因斯坦先后发表了四篇震惊世界的论文，其中尤以狭义相对论的建立影响最为深远。当学界与公众还沉浸在革命性的观点带来的震荡和迷惑中时，爱因斯坦已经开始思考该理论的局限性，并向着更高更宏伟的目标(广义相对论)前进。当然任何理论，哪怕是天才的理论，都有一个孕育的过程，我们仍需耐心等待。
2.新的相对性原理——广义相对论的曙光
到了1907年，事情终于有了突破性的进展，爱因斯坦应邀为《放射学与电子学年鉴》(Jahrbuch der Radioaktivit
t und Eletronik)写一篇关于狭义相对论的综述文章，他不得不尝试修正牛顿的引力理论以使其满足狭义相对论。正是这样一个偶然的机缘导致了在后来被爱因斯坦称为“我一生最快乐的思想”的涌现。
我正坐在伯尔尼专利局的办公室里，忽然闪现出一个念头：“如果一个人自由下落，那他就感觉不到自己的重量了。”我惊呆了，这个简单的想法给我留下了深刻的印象，它促使我走向引力理论[派斯2004，上册，p.260]。
在这篇论文的第五部分，爱因斯坦提出了四个主要问题：
广义的等效性原理(相对性原理对于相互做加速运动的坐标系也成立)、能量的引力、红移和光线在引力场中弯曲。其中第一点是广义相对论中最核心的物理思想，而后两点为验证广义相对论指明了方向。
3.1907—1914年 黎明之前
从1907年12月到1911年6月(爱因斯坦定居布拉格后几个月)，爱因斯坦在引力问题上一直保持沉默。6月题为《引力对光传播的影响》的论文打破了这一沉默，这篇论文的主题与1907年论文的内容相同，在原有论文基础上提出了一些新想法。1912年8月，爱因斯坦回到苏黎世，很快认识到黎曼几何是解决引力问题的最恰当的数学工具。他求助于好友格罗斯曼。1913年爱因斯坦与格罗斯曼合作发表了著名的“提纲理论”(“广义相对论和引力理论提纲”[Entwurf einer Verallgemeinerten Relativittstheorie und eine Theorie der Gravitation]的简称，可以视为广义相对论的前身)。这篇文章分为两个部分，物理部分由爱因斯坦执笔，数学部分由格罗斯曼完成。由于一些重要的数学工具(主要是比安基桓等式)的缺乏，爱因斯坦与他的合作者犯了一些错误(没有认识到方程应当具有广义协变性，导致得到的方程少了至关重要的迹项(trace term)，与正确的场方程形式擦肩而过(此后他花了整整三年的艰难摸索才纠正了这一错误)。这无疑是非常遗憾的，但从另一个角度看，这也使上世纪最伟大的数学家(希尔伯特)与物理学家(爱因斯坦)的竞争与合作成为可能。
4.1915年 奇迹再现
对于爱因斯坦来说，1915年是他学术生涯中又一次罕见的高峰。1月，爱因斯坦连续发表了四篇论文(4日、11日、18日、25日)，而最后一篇论文则标志着广义相对论理论工作的正式完结。6月底到7月初，爱因斯坦在哥廷根作了短暂的停留(约一周，在那里他作了一次关于广义相对论的讲演)，正是在这里他结识了希尔伯特，两个人很快就成为非常要好的朋友，颇有些惺惺相惜的味道。在伟大的11月到来之前(大约从10月底开始)，爱因斯坦(为叙述方面，下面简称E)几乎停止了与所有人(贝索、洛伦兹等人)的通信只与希尔伯特(简称H)保持联系。值得注意的是在此(11月)之前，对广义相对论的探索，因为数学上的困难，仍然停留在1913年的雏形阶段，几乎没有任何可以称道的进展。
在这关键的11月，历史再次为我们描绘了一副激动人心的画面，在经历了八年的沉寂之后(从1907年起)，广义相对论的最终形式终于要浮出水面了，让我们伴随爱因斯坦与希尔伯特通信，重新回顾这一惊心动魄的历程。
11月7日，E致H 围绕11月4日论文的证明，“在这篇文章里我导出了引力方程，我认识到四个星期前的证明方法是错误的。”信中还提及索末菲(Arnold Sommerfeld)的来信，希尔伯特曾根据这封信发现了他10月论文的问题。爱因斯坦知道不仅他一个人发现了他先前工作的缺陷，也许正是这点引出了11月后续的通信。
11月12日，E致H 通报了11月论文中的一个重要假设(
=1)，随信寄两份1914年10月论文。
11月14日，H致E 很激动，谈他自己“公理化解决了您的主要问题……它是普遍数学定理的一个结果，(推广的麦克斯韦)电动力学方程作为引力方程的数学结果而出现，因此引力和电磁力根本没有什么区别。”邀请爱因斯坦参加这个题目的演讲，演讲计划在11月16日举行。
11月15日，E致H “您明信片上的提示给我带来了极大的希望”，他抱歉不能去听演讲。他累坏了，胃疼得厉害。索要一份希尔伯特论文的校样。
11月18日，E致H 显然爱因斯坦收到了希尔伯特的文章。“您给的方程组，就我所见，和我在近几周发现并提交给科学院的东西完全一致。”
11月19日，H致E 祝贺他解决近日点问题，“如果我能算得像您那么快，那么电子将在我的方程面前投降，而氢原子也得坦白它为什么不辐射”。这时，离希尔伯特提交他20日的论文只有一天时间(这篇论文中含有正确的广义相对论引力方程，正式发表于1916年3月31日)[派斯2004，上册，pp.372—373]。
关于爱因斯坦与希尔伯特通信的内容，有几点有必要提醒读者特别注意，11月18日爱因斯坦提交的论文中，并没有得到广义相对论引力方程的正确表达式，所以请不要对通信中的一些话语(无论爱因斯坦“就我所见”的一致，还是希尔伯特“在我看来”的一致)过分认真[派斯2004，上册，p.373]。在接下来的一部分中，我们还将详细讨论关于这几封重要通信的内容。
1915年11月25日，爱因斯坦向柏林的普鲁士科学院递交了题为《引力的场方程》(Feldgleichung der Gravitation)的论文(正式发表于1915年12月2日的《普鲁士科学院会议报告》)，提出了广义相对论引力论的完整形式，最终完成了广义相对论的逻辑构造。
5.不和谐的声音
神奇而多产的1915年11月为后人留下了许多值得回味的历史，也给两位当事人带来一些必须面对的问题。两位伟人几乎在同时完成了重大的理论突破，而且始终保持紧密联系，这不由得不引发一些自然联想，是否有一方有不道德的行为？广义相对论的优先权究竟属谁？
有趣的是，两位当事人在世时，这些问题并没有出现。即使有争议，也没有像其他的优先权之争，如牛顿与莱布尼兹之间那场争论一样，演变成公开的争吵。这当然应该归功于两位世纪伟人高尚的操守。
就在事情发生后不久，1915年12月20日，爱因斯坦在给希尔伯特的信中写道：“我们之间已经有了一点不愉快，起因我不愿去分析。我一直在同它所引起的痛苦作斗争，现在完全胜利了。我又怀着往日的友好想着您，请您也能这样对待我。两个真正的朋友，能在一定程度上从卑鄙的世俗中解脱出来，却不能相互喜欢，那真令人羞愧”[派斯2004，上册，p.374]。
在1915年11月20日至12月20日间，两人之间究竟发生了什么事情，恐怕永远不会有人知道。不过，我们仍然可以从爱因斯坦的一些朋友和同事的回忆中侧面了解到一些信息。据施特劳斯(Ernst Gabor Straus)回忆：爱因斯坦觉得希尔伯特也许在无意中剽窃了他在哥廷根讨论会上提出的思想。此后，希尔伯特曾为此给爱因斯坦寄来道歉信，但爱因斯坦说(那次哥廷根的)讲话，他已经完全忘了。不论发生了什么，爱因斯坦和希尔伯特还在，他们后来通信的语气也还是友好的。
1916年3月，爱因斯坦在关于广义相对论的全面总结性的文章：《广义相对论的基础》(Die Grundlage der allgemeinen Relativittstheorie)一文中提及了希尔伯特的工作。同月在柏林举办的一场关于希尔伯特论文的讨论会上，他再次写信给希尔伯特请求他解释自己的工作。
另一方面，希尔伯特对爱因斯坦的工作给予了明确的赞扬。“也许哥廷根大街上的男孩都比爱因斯坦更了解四维空间几何，但是正是爱因斯坦，而不是那些数学家们完成了这项(伟大的)工作”[Reid 1996，p.142]
事情到此，本该告一段落。但由于一些传记作家和科学史家们的“深入挖掘”，竟也弄出来一个所谓的“优先权”之争。
二 所谓的“优先权”之争
1.事情的由来
1971年，诺贝尔物理学奖得主魏格纳(Eugene Wigner)在给科学史家梅拉(Jagdish Mehra)的信中写道：“在我的印象中，希尔伯特与爱因斯坦几乎同时得到了现在为我们所接受的广义相对论引力场方程，那么为什么现在无人提及此事呢？而且我注意到爱因斯坦早在1907年就已经提出了关键的想法(idea)，可是很有意思的是，即使在爱因斯坦，希尔伯特都参与到这项工作的情况下仍然花了如此之长的时间，才得到了满足这个基本想法的方程。”[Todorov 2005，p.6]
这封来信点燃了所谓“优先权”之争的序幕。梅拉于两周之内给魏格纳写了回信，并在不久后发表了一篇长达87页的论文[Mehra 1973，pp.92—178]。在这篇文章中，希尔伯特的重要地位是十分清晰的。随着爱因斯坦和希尔伯特之间的通讯公诸于世，这种观点在1978年得到了加强。厄曼(John Earman)和格利莫尔(Clark Glymour)在他们的论文[Earman & Glymour 1978，p.291—308]中指出，希尔伯特曾在一封信[Einstein 1998]中将他得到的场方程告诉了爱因斯坦，而后才将其正式发表。希尔伯特应当拥有毋庸置疑的优先权，这种观点得到一些物理学家的赞同。
1978年后，几本比较有影响的爱因斯坦传相继出版。其中派斯(Abraham Pais)和弗尔辛(Albrecht F
lsing)的书最为突出。派斯[Pais 1982，pp.257—261]对这段历史的描述并没有引起多少争议。弗尔辛[Flsing 1997，pp.420—424]对当时的一些说法则不加审查地加以引用：
在(建立广义相对论工作)决定性的阶段，爱因斯坦有个志同道合的同事，但这带给他的恼怒要多于快乐，因为看起来这威胁到了他的优先权。“在我的所有同事中，只有一个人真正理解它(广义相对论)，而他正巧妙的使之成为我们的理论”他向仓格尔(Heinrich Zangger)抱怨这些他认为明显是剽窃的事情。这里他指的同事显然是希尔伯特……但是在这里我们必须冒犯一下爱因斯坦，因为实际上希尔伯特最先公布了正确的场方程，就在他之前几天。
此后，科学史家将注意力更多的集中到对两人文献资料独立的发掘整理工作中，譬如诺顿(John.Norton)的工作。他在对爱因斯坦的苏黎世笔记(手稿)进行了细致的整理后，1986年发表了一篇长达59页的论文，详细阐释了爱因斯坦如何引入至关重要的迹项，从而独立得到引力场方程的过程[Norton 1986，pp.5—47]。
2.转折点
1997年11月14日，科里(L.Corry)等人发表了一篇重要的文章《被延误的判决》(Corry et al.1997，p.300)。事情发生了根本性的转变。文章以新近发现的希尔伯特档案中的文献为据展开了讨论：
在马普学会科学史研究所的广义相对论历史的研究项目中，科里的文献工作照亮了迄今为止不为人所注意的一系列希尔伯特论文的证明性文献。对这些文献的细节进行分析并与已发表的希尔伯特和爱国斯坦的论文进行比较，使我们能够对最后关键的几周内发生的事情建立起一种与当下标准观点(包括爱因斯坦有可能从希尔伯特那里剽窃了建立广义相对论场方程最后的关键一部)完全不同的说明。并且(这一切)使我们重新认识了爱因斯坦“使之成为我们的(nostrification)”的抱怨。
这份证明性文献和最终的希尔伯特通讯录都标记着“1915年11月20日发出”大概是源于最早的手稿的日期。希尔伯特档案中现存的由其亲笔标注为“第一份我最初笔记的证明”的复本，盖着标记为1915年12月6日的印章(见下图)。另一方面，正式出版本(其内容被修改得面目全非[heavily revised])的封皮上却标记为1916年3月31日。在他的“第一份证明”中引用了爱因斯坦11月25日递交、12月2日发表的最终广义相对论方程的文章，因此希尔伯特有可能(could have)回应爱因斯坦的文章修改了自己的论文……
接着作者投入大量精力细致的比较了现存的这份文献与已发表的版本之间的差异，指出这份“证明”中并没有包含引力场方程的正确形式，而且希尔伯特的原始理论并没有对广义协变性给予足够的重视，因而在引入决定性的迹项方面显得很不自然，很有可能这一重要想法是取自爱因斯坦的。这一结论改变了在此之前公认的希尔伯特与爱因斯坦是平行、各自独立进行工作的看法。
最后作者以下而这段话来结尾。“如果希尔伯特将他的递交日期改为12月2日(爱因斯坦11月25日论文正式发表的时间)后的任何时间，后来的这些优先权的争论就根本不会存在了。”
从行文上看，作者的语气是比较谨慎的，文中充满着精致的分析与推理，但从实际结果看，不管是有意还是无意，都给人一种强烈的暗示，那就是希尔伯特真的从爱因斯坦那里“借”了关键的想法，而且曾经试图获得优先权，在爱因斯坦开始反击的时候才放弃了这一举动。
由于这篇文章的另外两位作者雷恩(Jürgen Renn)、施塔赫尔(John Stachel)都是研究爱因斯坦方面的权威专家，在学界享有很高的声誉，因而这篇文章产生了广泛而深远的影响，以致后续的研究者们都不可能回避这篇文章中的观点和论述。
3.后续的反应
也许科里等人的文章太具冲击力，而在短短两页的论述中又不太可能足够充分的展开讨论，很快一份客观全面的对希尔伯特建立引力方程的过程进行研究的文献出现了[Sauer 1999，p.529—575]，紧接着一系列相关文章相继发表。
从1997年到2003年，科里等人的工作逐渐被接受，获得了广泛的认同，仿佛那个被延误的判决终于完成了。
但是从2003年开始，一系列与科里等人意见相左的文章相继发表。这里面又要做两种区分。
其中的一部分人是秉承“施塔克以来的反犹传统”(施塔赫尔语，见Stachel,http://physicsweb.org/articles/review/16/4/2/1)，以反爱因斯坦著称。他们当然也要以貌似公正的面目出现。这个阵营以毕尔克纳斯(Christopher Jon Bjerknes)为代表。毕尔克纳斯由于其一贯的反爱因斯坦态度，学界对他的评价不高。他在他的几篇煞有介事的，从未在专业刊物上发表的文章中，提到了几个事实[Bjerknes 2002]。一方面，在希尔伯特的“第一份证明”中，有两页遗失了(因此据此推论的可靠性值得怀疑)，另一方面，爱因斯坦在1915年11月25日递交的论文并没有包括场方程的推导过程。毕尔克纳斯本人颇有民科性质，常常对一些不值得提的问题纠缠不休，而且精力充沛地举着堂吉诃德的风车，争战不止，但学界的人很少回应。
另一部分人来自学界。以俄国高能物理研究所的洛古诺夫(A.A.Logunov)① 为例。他在2004年发表的一篇论文[Logunov 2004]中对爱因斯坦和希尔伯特的论文作了详细的分析，尤其是从数学的角度分析了希尔伯特用变分法得到引力场方程的过程。同时洛古诺夫也点明了一些有趣的事实：
爱因斯坦在1915年11月18日给希尔伯特的信中声称：“您给的方程组，就我所见，和我在近几周发现并提交科学院的东西完全一致”。这也就是说，爱因斯坦在他的信中，承认得到了希尔伯特的引力场方程，并且告知希尔伯特，他的方程本质上是一样的。但是我们都知道所谓的：“爱因斯坦在最近几周内给学院的”论文，包括11月18日的论文——他们都仍然是错的并且不包括迹项。必须承认爱因斯坦在1915年11月18日已经有了正确的方程，却选择先公布错误的方程，直到11月25日再公布正确的！原则上，这是可能的，但是……
不久，科里等人作出了回应[Corry et al.2004]。在这篇文章中，他们断言，用变分法推导场方程，尽管对于时下数理专业的本科生来说算并不是一道复杂的习题，但对当年的希尔伯特来说是无法完成的任务。
美国物理学家温特伯格(Friedwardt Winterberg)也对科里等人文章提出了直接的批评。由于当时科里等人的文章仍被当作这一问题的决定性结论，以至于这样的直接批评不被编辑接受，温特伯格在遭到《科学》(Science)杂志编辑拒绝后，最终将其发表在一本影响较小的专业杂志上[Winterberg 2004]，在这篇文章中，温特伯格对毕尔克纳斯和绍尔(Tilman Sauer)文章中提到过的一个重要事实予以强调，那就是在希尔伯特的相关文献中，有几页(第7页和第8页)遗失了，而根据行文关系很有可能希尔伯特在这部分中给出了正确的引力场方程。
到了2005年，这场争论变得越发激烈起来。德国哥廷根大学的女科学史家温施(Daniela Wuensch)干脆发表了一章题为《一次科学史上的罪行？》(Ein Kriminalfall in der Wissenschaftsgeschichte? )的文章。温施在哥廷根参加了希尔伯特文献的整理工作，她在文章中进行的推理有较强的主观与情感色彩。她在文中声称，希尔伯特的文献被切掉的几页中几乎肯定(in all probability)包含着引力场方程的正确形式，并且这些部分不是在当初，而是在最近的时候才被人为的切掉的，而其目的明显是想改变历史的真相……[Wuensch 2005]。
必须指出的是，在针锋相对的论战中保持客观的态度并不容易，而且每位作者也都有各自的立场和主观目的，有些是为了维护希尔伯特，有些是为了反对爱因斯坦(对德国科学史稍有了解的人，对于这类行为应该不陌生)。
科里、雷恩、施塔赫尔和绍尔大致可以归为一类。作为科学史家，他们行文谨慎，虽然也有自己的立场，但基本将注意力集中在学术的层面；洛古诺夫、温特伯格属于第二类。他们在数学方面投入了更多的精力。而温施则属于第三类。她本身是科学史家，但其作品的学术价值远不及作为畅销书的价值，过分醒目的标题，侦探故事似的推理，使人们很难将其视为严肃的学术著作。
4.小结
从1997年到2005年这段时间里，关于广义相对论发现过程的讨论层出不穷，问题由谁先发现引力场方程开始，但却并不只限于此。许多杰出的学者都参与了这场讨论(感兴趣的读者可以留意[Renn and Stachel 1999][Rowe 2001，pp.379—424][Corry 2004]等文章)，辩论的内容涉及到优先权，数学在物理学中的意义和作用，历史史实及评价标准等等，很多作者都在他们的文章中对发生在1916年前后的故事进行了详细的阐述，并对理论的建立过程乃至于方程公式本身进行了详细的推证(由于篇幅所限，在此不可能一一罗列)。感谢科学的进步使很多人(只需拥有大学本科水平的数学物理基础)都可以重演当年只有天才才能进行的工作，当然相应的结果就是对于同样的数学公式也可以有不同的理解。在此，我们无意对各篇文献中推理的过程进行比较，以图甄别哪种推理更合乎逻辑。实际上这样的工作几乎是不可能完成的。在此我们再次遭遇了历史学家经常面对的难题，以有限的资料准确推知全部的历史事实，即使不是全无可能，也是十分困难的。从历史到史料的过程是唯一的，但从史料还原历史的过程则充满了各种不确定性因素。在新的决定性史料出现之前，将这场争论一劳永逸的解决是不现实，也不合理的。
三 结束语
为使读者不被这些纷繁的争论，连篇累牍的文献迷惑，我们有必要重新强调几个关键的事实：
首先，在1915年11月中，爱因斯坦与希尔伯特有着非常频繁的书信往来，交换着彼此的思想和研究结果！毫无疑问，这些交流对于广义相对论的建立有着重要的促进作用。
与当年发生在华莱士和达尔文之间的故事颇为类似，两位伟人的竞争与合作使伟大的理论更早公诸于世。
第二，两人广泛的交流并没有削弱各自工作的独立性，两人得到最终引力方程的过程是截然不同的，各自都进行了独立的推导(希尔伯特采用的是变分法，而爱因斯坦的过程则包含更多的物理学因素)。在不考虑时间先后的前提下，这一点并无争议。
第三，对于两位伟人人格的质疑(或明或暗)都是站不住脚的，正如特洛夫(T.Trov)指出的，希尔伯特12月的论文的确进行过修改，但其中清楚的引述了爱因斯坦的工作，并给予了高度评价，他穷其一生也从未对相对论的优先权有过任何的争议。任何形式的主观故意都不符合希尔伯特的行为品性。另一方面，爱因斯坦对希尔伯特的公开批评都是基于学术层面的，主要质疑的是其研究方法。两位伟人在他们有生之年都始终互相欣赏，并保持着友好的关系。
也许这样一场争论远未到完结的时候，但广义相对论的发现权最终归于爱因斯坦却与此无关，这主要是因为作为广义相对论那最关键的基础理念——等效性原理——是爱因斯坦的独创。从这个角度看，某种意义上说，这场一波三折的优先权之争显得有些可笑。两位伟人以他们高超的智慧和伟大的品格，达成了一致，树立了史所罕见数学家与物理学家合作的典范。相比起来，后世的研究者们理应感到汗颜。
感谢德国柏林马普学会科学史研究所所长雷恩教授惠寄有关材料
注释：
①洛古诺夫本人属于学界中少数不相信相对论的物理解释的群体，他曾经发文声称庞加莱(Jules Henri Poincaré)在狭义相对论上的贡献要比爱因斯坦大的多。参见http://www.cerncourier.com/main/article/46/3/30