欲擒故纵巧应变，化动为静逸待劳，本文主要内容关键词为：欲擒故纵论文,应变论文,静逸待劳论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
动态问题由于始终处于运动的状态，其求解过程具有很强的灵活性和综合性.学生之所以对动态问题不易把握，是因为他们容易寻找静止、特殊、显性的数量关系，而对于运动、一般、隐性的数量关系则难以入手.求解动态问题的最基本的指导思想是“化动为静”，在此，笔者根据自身的教学实践，粗浅地谈几点“化动为静”的可行策略，与同行分享.
一、四两拨千斤——抓住由动转静瞬间巧分类
对于函数或几何中的动态问题，最关键的是要区分图形中的元素（点、线、面等）哪些是运动的，哪些是静止的.在这些动态和静态条件中往往存在一些由动态转换成静态的瞬间，抓住这一个个瞬间，动态问题就变成了静态问题，在此基础上，通过分析数量关系就能轻松地解决问题.
例1 如图1，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为
，点A、D的坐标分别为（-4，0），（0，4）.动点P自点A出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.求s随t变化的函数关系式.
①如图1（1），当点P在点O的左侧（此时点Q必定在BC上），t的取值范围是0＜t＜4（t=4时，构不成△OPQ）；
②如图1（2），当点P在点O的右侧，点Q在BC上，t的取值范围是4＜t≤5（t=5时，点Q恰与点C重合）；
③如图1（3），当点P在点O的右侧，点Q在CD上，t的取值范围是5＜t≤6（t=5也可以包含在这一范围内）.
现把t在不同的范围时，与动点P、Q及△OPQ的面积相关的数量整理成表1：
不管是哪一种情况，当确定了自变量的取值范围后，都相当于把动态的问题固定在一个静态的瞬间，其中的数量关系就明朗化了.结合表1可求出s随t变化的函数关系式如下：
【评注】本例中，因为三角形的底边和高不确定，所以分情况进行讨论.当把各种情况都细分以后，也就将动态问题转化成一个个的静态问题，问题的求解也就轻而易举了.在解决动态问题时，要善于找到由动转静的瞬间，尤其是根据具体的问题情境，确定分类的标准进行“化整为零”、“各个击破”，可以使错综复杂的数量关系明朗化，有“顺势借力，以小力胜大力”之妙.
二、擒贼先擒王——抓住关键位置巧求取值范围
动态问题中，往往融合了很多求变量取值范围的问题.由于是动态的条件和动态的图形，难以看到其运动变化的全程或全貌，所以只能对其运动变化的趋势进行分析推测和想象.在这种情况下，求变量的取值范围就需要寻找一种比较可行的简便方法.这种方法就是：分析动点或其他动元素能够运动到的极限状态，或者某些临界转折变化的位置，以这些极限状态或有临界转折变化的位置作为分析的突破口，往往会使问题轻易得到解决.
如图3，当抛物线的右半部分（以对称轴为界）经过点C的时候，是相交的初始状态，而且抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线保持顶点在直线OM上，向右上平移时，将会出现如图4所示的情形，即抛物线的左半部分恰好经过点C，但此时有两个公共点；
继续平移抛物线，又将出现图5所示的情形，抛物线将向右远离直线CD，但恰好有一个公共点，设此公共点为E.
从上面的分析可知，图3、图4、图5就是三种完全不同且具有特定位置的状态，而在此三种状态下的抛物线的顶点就是三个关键的点，只需求出此三种情况下顶点的横坐标，即可确定顶点横坐标的值或取值范围.
【评注】在动态问题中，一些图形元素（点、线、面等）的运动引起了一系列的相关运动而形成了一个“运动系列”，在运动系列的运动过程中，往往会出现一些特殊状态或特殊位置.如例2中，抛物线经过点C（两次经过）和抛物线与直线CD只有一个交点时就是几个临界位置.抓住这些特殊状态或特殊位置，就找到了解决问题的突破口.“射人先射马，擒贼先擒王”，只有善于在运动变化中抓住问题的关键，具备分析特殊状态和找到关键位置的能力，才能使问题轻松得解.
三、一射百马倒——特殊情形迁移带动一般情形
有些动态问题中，虽然图形在变，相关元素的位置也在变，但其内在的数量关系和分析求解的方法是不变的.在特殊情况下，往往容易找到问题解决的方法，而在一般情况下则会更隐蔽一些，需要我们对图形进行适当的改变和构造，使其在一般情形中出现特殊情形的图形，这样特殊情形的求解方法就自然地迁移到了一般情形，从而使问题得解.
例3 如图6（1），将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.
（1）求证：EF=EG；
（2）如图6（2），移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立.说明理由.
（3）如图6（3），将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求
的值.
解析：在图7中，由于点E位置的特殊性（与正方形ABCD的顶点A重合），通过△EBG≌△EDF即可得到EF=EG.在图7中，虽然点E的位置发生了改变，但是仍然在对角线上移动，只需构造出与图6（1）结构相似的图形即可得证.作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N易知四边形EMCN是正方形，这样三角板的直角顶点E与正方形EMCN的一个顶点重合，就完全回归到了图6（1）的特殊情形，不知不觉中将一般的情形转化成了特殊情形，其求解的方法和思路与图6的情形如出一辙.对于图8，只需分别作EM⊥BC，EN⊥CD，垂足为M、N，构造出与图6（1）和图7类似的图形，然后由三角形相似即可得出的值为
.不失一般性，当三角板的直角顶点E移动到矩形对角线的延长线上，即点E在矩形ABCD的外部时（如图9），的值仍为.
【评注】例3中，从图6（1）到图6（2）、图6（3），直角顶点的位置发生改变，背景由正方形变成矩形，这是一个由特殊向一般的转变的过程.在此转变过程中，依据的始终是特殊情形下的解法，构造的始终是特殊情形下的特殊图形，这又是一个由一般向特殊的转化过程.在特殊和一般的相互转化过程中，特殊情形的解题思路和策略可以自然迁移到一般情形，即达到了特殊与一般的相互转化与统一，动态与静态的辩证统一，真正体现了“变化过程中的关系和规律的不变性”.在某些动态问题中，我们掌握了特殊情形的求解规律，可以自然地得出一般情形的解法，解题于“无形”.
四、不变应万变——整合条件巧求定值或定关系
有些动态问题中，尽管图形中的某些元素不断变化，形成的图形也各具形态，但可以通过整合各方面条件，求出隐藏在复杂图形背后的关系定值.这些定值，可能是固定的线段长度或固定的比值，也可能是固定的角度或固定的图形面积、也可能是固定的图形位置关系，等等.需要透过问题的表面，挖掘其内在的关系和规律，巧妙整合，求出定值，以不变应万变.
变式1：如图12，正方形ABCD中，边长AB等于4，M是正方形ABCD边上的一个动点，ME⊥AC，MF⊥BD，垂足分别是点E、F，那么ME+MF的值是________.
变式2：如图13，在等腰梯形ABCD中，OB=OC=5，BC=6，E是梯形ABCD底边BC上的任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则EF+EG=________.
变式3：如图14，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=5，AD=3，BC=9，E是底边BC上的任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为点F、G，EF+EG=________.
在例4和它的几个变式中，都是利用面积法将两条变化的线段之和归结为某个定值，并且将不同背景下的问题都转化成了一个统一的模式，最终都应用“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高”这一定结论求解.
【评注】例4是一道线段长度之和为定值的基本题，由其可以派生和变化出许多问题，求解的关键是从图形面积的求解入手，通过代数式的化简得出两条线段之和是一个确定的值，这一确定的值往往是等腰三角形腰上高的长.当然，还有很多的动态问题中，其中的某个角度固定不变、某个图形的周长不变、线段的比值不变、图形的位置关系不变等也较常见，在此不一一赘述.在纷繁的背景中，分析动态问题中相互制约、相互影响的各个量，抓住其中不变的因素进行综合分析，就可以实现“以不变应万变”.
动态题具有非常广阔深厚的背景，具有较大的延拓空间，其求解方法和过程蕴含着丰富的数学思想方法，可以较好地考查学生的思维能力.本文所述的仅仅是动态问题诸多求解策略中的几种.实际上，动态问题由于背景复杂多变，其求解策略也是丰富多样的.不管采用哪种求解策略，都体现了最基本的指导思想——“化动为静”.“化动为静”的诸多策略需要在平时的教学中有计划地加以训练，让学生逐步掌握各种“化动为静”的手段和策略，才能使他们面对动态问题时坦然自信，才能将看似复杂的问题顺利解决.只有教师登高望远，才能使学生拥有先进的思想武器、娴熟的问题转化手段和对基本题的剖解能力，才能使他们在求解复杂的动态问题时得心应手.