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摘 要：一元二次方程是中学数学的一个重要内容，它的解法和根与系数的关系是其中的重要知识点，在中高考中应用较普遍，也是初中数学竞赛的常考点。本文从不同角度对一元二次方程的多个问题做了分析探究，权当做是抛砖引玉。
关键词：元二次方程 根与系数关系 中考 数学竞赛
一元二次方程是中学数学的一个重要内容，是培养学生用方程思想和方法解决问题的落脚点之一，也是中考和数学竞赛中的重要考点。下面，笔者将从不同角度去分析、探究一元二次方程在解决不同问题时的方法。
问题一：解方程x2-3x+1=0。
解析：这个一元二次方程常用配方法和公式法来解，易得x= 。
问题二：已知x2-3x+1=0，求x5-5x4+5x3+3x2+x+5的值。
解析：最直接的方法是先解方程求得x的值，然后代入代数式x5-5x4+5x3+3x2+x+5求值，但因为次数高计算难度大，所以不可行。能否降次？这是问题的关键。对于x2-3x+1=0的理解可以有另外两种情形：x2-3x＝-1，x2＝3x-1，这样就不拘泥于它是一元二次方程，而可以用这两个式子通过等量代换来达到降次的目的。
方法一：用x2＝3x-1进行代换。
x5-5x4+5x3+3x2+x+5
=x(x2)2-5(x2)2+5x?x2+3x2+x+5
=x(3x-1)2-5(3x-1)2+5x(3x-1)+3(3x-1)+x+5
=9x2-36x2+36x-3
=9x(3x-1)-36(3x-1)+36x-3
=27x2-81x+33
=27(x2-3x)+33
=6
方法二：通过构造x2-3x+1用0代换。
x5-5x4+5x3+3x2+x+5
=x5-3x4+x3-2x4+6x3-2x2-2x3+6x2-2x-x2+3x-1+1+5
=x3(x2-3x+1)-2x2(x2-3x+1)-2x(x2-3x+1)-(x2-3x+1)+6
=6
方法小结：从以上两种方法来看，用x2=3x-1来降次，虽然简单，但计算量偏大。而用x2-3x+1=0来降次，配项虽然复杂，但计算量小。
问题三：已知x2-3x+1=0，求x- ，x2+ 。
解析：显然通过解方程x2-3x+1=0求得x后再代入求值计算太复杂，学生会感觉无从下手。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆经过分析我们发现这是一个从整式向分式转化的问题，于是不难想到在方程的两边同时除以x可以得到x+ =3，于是(x- )2=(x+ )2-4=5，即x- =± 5，同样x2+ =（x+ ）2-2=7。
方法小结：此题关键是从整式向分式的转化，其次是配方。
问题四：已知x2-3x+1=0的两根是x1，x2，求下列各式的值：（1）（x1-2）（x2-2）；（2）（x1+ ）（x2+ ）。
解析：此问题是一个一元二次方程根与系数关系的应用，关键是将所求代数式用x1+x2和x1x2表示。由一元二次方程根与系数的关系可得 ，所以
（1）（x1-2）（x2-2）=x1x2-2(x1+x2)+4=1-2×3+4=-1。
（2）（x1+ ）（x2+ ）=x1x2+2（ + ）+
=1+2x + =12。
方法小结：一元二次方程根与系数关系的应用是一元二次方程中的一个重点内容。
问题五：设m，n是方程x2-3x+1=0的两根，求m3-4m+4n-2得值。
解析：此题显然要应用一元二次方程根与系数关系，但看起来又应用不了，其原因是m，n的次数不对应，怎么办呢？不难想到可以使用问题二的降次方法，所以可以这样去解：
由题意可得：m2=3m-1，，
故m3-4m+4n-2
=m(3m-1)-4m+4n-2
=3m2-5m+4n-2
=3(3m-1)-5m+4n-2
=4(m+n)-5
=4-5
=-1
方法小结：本题既要通过等量代换后进行降次，又要使用一元二次方程根与系数的关系，具有一定的综合性。
问题六：已知x2-3x+1=0，求一个方程，使它的两根分别是原方程两根的平方。
解析：这是根与系数关系的一个常规题型．应用的知识点是以x1，x2为根的方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0，主要是求出新方程的两根之和与两根之积。
设x1，x2是方程x2-3x+1=0的两根，则所求方程的两根是x12，x22。
由根与系数关系得关系得 ，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×1=7，x12x22=（x1x2）2=1，∴所求的方程是：x2-7x+1=0。
综合以上各例可以看出，一元二次方程在解决部分化简求值等问题时显现出化繁为简、化难为易的奇功，因此，灵活掌握一元二次方程的相关知识，对进一步提升学生分析问题、解题问题的能力具有重要作用。
论文作者:唐华
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第395期
论文发表时间:2020/1/7
标签：方程论文; 系数论文; 方法论文; 两根论文; 关系论文; 小结论文; 整式论文; 《中小学教育》2020年第395期论文;