小学生数学问题表征发展与流体智力的关系，本文主要内容关键词为：表征论文,流体论文,小学生论文,智力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分类号B842.1
1 引言
20世纪80年代以来，心理学家们开始重视数学问题解决的认知心理学研究。它的兴起是在认知心理学从过去“纯粹”的信息加工层次的研究转向涉及知识层面的认知研究的大背景下，认知心理学与数学心理学相结合的产物[1]。在这一领域里，数学应用题解决过程的研究倍受关注。Mayer[2]认为数学问题解决的两个重要成分是问题表征和解决计划的执行，在数学应用题中这两个成分体现得最为明显。应用题的解决涉及建立问题文字的表征，并运用算术或代数规则发现问题解决方案。儿童解决应用题时遇到的主要困难是问题表征，也就是将问题的文字转化为心理表征。Kintsch和Greeno也指出应用题解决的关键是问题表征，而问题表征的关键是理解集合之间的关系[3]。但在这两个理论中，作者只考虑了需要一步运算的简单算术应用题，这就决定了理论只能考察儿童能还是不能准确表征其中的集合关系。而辛自强则通过对一些复杂应用题的实证研究提出了关系—表征复杂性模型[4]，它不仅能用于区分儿童能否表征某种集合关系，还能确定儿童具体的表征水平。此后，又采用长方形面积问题作为实验材料考察了儿童的表征能力，为该模型提供了实证依据[5，6]。
在研究中可以设计集合或数量关系复杂程度不同的长方形面积问题，以此考察学生的表征水平。这种复杂程度不同的问题，体现了不同的集合关系或结构，这也被Mayer称为“模版”(templates)，在一项研究中他将1097道数学题进行了分类，认为任何应用题都可以描述为由一系列独特命题组成的图式或模版，并指出这种模版具有等级序列性[7]。后来，澳大利亚的Low和Over[8]曾设计并使用隶属于四个模版的长方形面积问题，证明四个模版具有等级序列性：如果被试不能对一个简单的问题分类，也就不能意识到更难问题的结构；若被试缺乏问题的相关图式，就会用低一级的模版来解决问题。虽然Low和Over的研究也表明了模版的等级序列性这一现象，但他们并没有提供解释这种问题关系结构特征的一般方法。
关系—表征复杂性模型则提供了刻画问题本身数量关系的复杂程度的基本方法，可用于说明模型等级序列性的本质。作为模型的关键概念，关系复杂性又可分为关系的等级复杂性与水平复杂性：等级复杂性反映在问题所包含的关系层级数上，层级越高，问题越难；水平复杂性则反映在水平方向上并列关系的多少或数量，它与等级复杂性共同说明问题难度的本质。如下面两道长方形面积问题：
问题1：一个长方形操场，它的长为80米，宽为50米。操场的面积是多少？
问题2：一个长方形游泳池的长为60米，周长为180米。游泳池的面积是多少？
虽然两个问题都要求计算一个长方形的面积，但显而易见，问题2要比问题1难。这是因为问题2中没有直接提供“宽”这一集合，要计算“宽”必须考虑长、宽以及周长之间的初级关系，在理解初级关系的基础上才能表征长、宽与面积的关系(二级关系)，从而计算面积。而问题1中只用理解长、宽、面积之间的初级关系即可得出答案。因此，两个问题的等级复杂性是不同的。此外，两个问题的水平复杂性也不相等，问题1涉及到3个集合(长、宽、面积)，问题2涉及到4个集合(长、宽、周长、面积)。由于等级复杂性与水平复杂性共同决定问题的难度和复杂程度，因此问题2要比问题1的关系复杂性高。
问题的关系复杂性必然影响主体对问题的表征和解题过程，尤其是“表征”。不同于以往对表征的定义，该模型中的表征概念更加具有针对性，主要指对事物中隐含关系的理解和推理，即对问题中关系的表征。对应于关系复杂性的“水平”和“等级”之分，对问题表征的质量也相应地从两方面衡量：表征广度与表征深度。表征广度是能同时表征的同一层次上集合关系的数量；表征深度是能理解的关系的最高层次。如果对问题表征的广度与深度越大，那么这种表征就越复杂。因此，可以称之为“表征复杂性”，它反映了表征的质量和水平，是问题本身的关系复杂性与主体的特点(如工作记忆容量、领域知识水平等)相互作用的结果，体现了儿童的表征能力[5]。如儿童A能够顺利完成上面的问题1和问题2，而儿童B只能完成问题1，或是都未完成，则说明儿童A的表征复杂性比儿童B要高。已有实证研究表明[4]，优、中、差生在长方形面积问题四个模版上的表现不同，优等生通常比普通生有更高的图式水平和知识基础，更善于表征问题中复杂的集合关系，表征能力更高。因此，复杂性不同的长方形面积问题可以用于鉴别儿童的表征水平，具体到本研究，将考察4～6年级学生在这种问题上的表征发展特点。
本研究还将探讨表征水平与流体智力的关系。卡特尔根据智力在人一生中不同发展趋势以及智力对先天禀赋与社会文化因素的关系将智力分为流体智力和晶体智力[9]。其中流体智力被认为是信息处理和问题解决过程中所表现出来的能力，它以神经生理为基础，随神经系统的成熟而成熟，相对不受教育文化的影响而决定于个人的禀赋。例如对关系的认识、类比、机械能力、简单推理能力等。由此可以推测，流体智力与数学问题表征水平应有显著相关，这正是本研究所要验证的假设。本文选用瑞文标准推理测验作为工具，人们普遍认为它能有效地测量流体智力[10]，它作为一个成熟的测验所测智力与长方面面积问题表征的关系值得探讨，如果二者有稳定的关联，在一定程度上将为关系—表征复杂性模型的合理性提供依据。
2 研究方法与程序
2.1 被试
选取河北省石家庄市、山东省潍坊市的两所小学4、5、6年级共计310名学生为实验对象，其中4年级114人，男生60人，女生54人，平均年龄123.13个月；5年级100人，男生37人，女生63人，平均年龄136.38个月；6年级96人，男生56人，女生40人，平均年龄147.60个月。
2.2 工具
2.2.1 瑞文标准推理测验
采用由张厚粲、王晓平[10]主修的瑞文标准推理测验中国城市修订版测量被试的流体智力。该测验按逐步增加难度的顺序分为A、B、C、D、E五组，每组12题，共60题。该测验的分半信度为0.95，间隔半月的重测信度为0.82，间隔一个月的重测信度为0.79，信度良好；且预测效度良好[10]。计分方式为二级评分，即答对为1分，答错为0分。
2.2.2 长方形面积问题
采用辛自强的长方形面积问题作为测验材料[5，6]。测验内容涉及的四种模版或问题类型分别为：两条邻边已知；一边以及它与邻边的关系(倍数或和差关系)已知；周长与一边已知；周长以及邻边的关系(倍数或和差关系)已知。被试要考虑在这些条件下如何计算面积。这四种模版问题的关系复杂性以及所要求的公式知识如表1所示[5，6]。
模版1包括长、宽、面积3个集合，理解3个集合的关系，即表征初级关系就可以直接解决问题。
模版2包括邻边的关系(倍数或差)、长、宽、面积4个集合，儿童需要理解两条邻边的初级关系，在此基础上理解长、宽以及面积之间的二级关系。
模版3包括周长、长、宽、面积4个集合，儿童首先要能够表征长、宽与周长间的一级(初级)关系，才能进一步表征长、宽与面积之间的二级关系。且在表征初级关系时，需要用到周长公式。
模版4包括邻边的关系(倍数或差)、周长、长、宽、面积共5个集合，儿童首先要表征两条邻边之间的初级关系，在此基础上运用周长公式表征长、宽与周长之间的二级关系，最后表征长、宽、面积之间的三级关系。
由此可知，每个模版所含数量关系的等级复杂性在增加，水平复杂性(如集合的数量)也在增加，由此决定了四种模版上问题解决难度的级差。本研究采用这种难度序列变化的材料测量儿童的表征复杂性水平。具体测验材料包括如下两种。
具体测验材料包括如下两方面。
第一，条件判断测验。在测验纸上部，有一个长方形简图，上(长)、右(宽)、下、左四条边外分别标注a、b、c、d四个字母代表四条边的长度，周长用x表示。让被试判断如果仅仅知道下列各种情况下的条件，能不能计算这个长方形的面积。总共有12题，分别属于7种类型：知道两条邻边(2道题)、知道一条边以及它与邻边的倍数或差(2道题)、知道周长与一条边(2道题)、知道周长以及一条边与邻边的倍数或差(2道题)、知道周长以及两条对边的和(2道题)、知道周长以及一条边与邻边的和(1道题)、知道两条对边(2道题)。后两种类型的题不能计算面积；知道周长以及两条对边的和可以计算面积，但是在下一个测验中没有对应的计算题，故不考虑。在本研究的数据计算中，主要考虑前4种类型，共8道题，这时都能计算面积。该测验用于考察被试与长方形面积计算图式有关的条件性知识的运用情况，记分方法如下：每个模版答对2题记2分，答对1题记1分，均答错记0分。
第二，面积计算测验。共8道题，分别与上面的前四种类型的情况对应，要求被试列式计算每道题，按列式的对错计分，而不考虑计算错误。
2.3 程序
本研究采用团体施测方法，在第二学期开学初进行，考虑到两类材料施测时间较长，儿童若连续做会产生疲劳效应，因此分两天施测。第一天做智力测验(约1小时)。第二天施测长方形面积问题测验，其中的两个分测验(分别用10分钟和20分钟)按顺序依次进行，每完成一项，便由主试统一收起测验纸，然后进行下一个测验，以防干扰。
3 结果
3.1 模版的等级序列性
根据关系—表征复杂性模型对长方形面积任务的分析，四个模版的难度应该是依次增加的，因此儿童在四个模版上的表现也应呈现等级序列性。重复测量的方差分析(见表2)确实表明，在条件判断测验上四种模版之间存在极为显著的主效应，
3.2 长方形面积问题表征水平的年级差异
3.2.1 条件判断测验各模版上成绩的年级差异
对条件判断测验各模版上不同年级的成绩进行了比较，结果见表3。
结果表明，年级对四个模版以及总成绩的主效应均显著，F(2，307)=32.48，p＜0.001，
=0.175。年级与模版之间存在显著的交互作用，F(6,614)=5.02，p＜0.001，=0.047。说明随着年级的增长，儿童在各模版上的表现越来越好，总成绩也相应提高，且在不同模版上不同年级的表征水平也有显著差异。事后检验表明，在简单模版上(模版1)4年级与5、6年级成绩差异显著；在较难的模版上(模版3、模版4)4、5年级与6年级成绩差异显著。在模版2以及总分上三个年级两两差异显著。
3.2.2 面积计算测验各模版上成绩的年级差异
在表4中，对长方形面积计算测验各模版上不同年级的成绩进行了比较。可以看出，在四个模版和测验总分上，年级的主效应极其显著，F(2，307)=59.95，p＜0.001，=0.281。且年级与模版之间存在显著的交互作用，F(6，614)=11.27，p＜0.001，=0.099。这一结果表明随着年级的升高，儿童在各模版上的表现越来越好，总成绩也相应提高，各模版上年级差异显著。事后比较表明，在相对简单的模版1、2上，差异主要来自4年级与5年级、4年级与6年级之间。在难度较大的模版3、4上，三个年级之间差异均显著。从平均分来看，各模版与总分上的成绩均随着年级的升高而升高，说明表征复杂性水平随着年级的升高而升高。
3.3 瑞文标准推理测验分数与长方形面积问题表征的相关
从表5可以看出，瑞文测验分数与长方形面积问题的两个分测验总成绩的相关显著(相关系数分别为0.310、0.561)，这说明流体智力较高的儿童，对长方形面积问题的表征水平也相对较高。具体来看，条件判断中除了模版4以外，瑞文测验分数与模版1、2、3的成绩均呈现显著正相关，而面积计算测验中，瑞文测验分数与各模版分数均存在显著正相关，即流体智力发展程度越好的儿童，其表征复杂性程度也就越高。此外，瑞文测验成绩与面积计算测验中模版1、2、3上得分的相关系数依次上升，与模版3的相关系数最高。
4 讨论
4.1 长方形面积问题不同模版的等级序列性
如前所述，一些研究者已经间接或直接地表明，长方形面积问题不同模版具有等级序列性[5～8]。本研究的结果验证了这一点。根据前文采用关系—表征复杂性模型对各模版的分析，能够得出等级序列性是由于题目本身关系复杂性和知识基础要求的不同所致。而且，通过考察儿童在长方形面积问题上各模版的表现，能较好地证明这种序列性。
4.2 儿童对长方形面积问题的表征发展
本研究考察了在长方形面积问题各模版上4～6年级儿童成绩的差异。综合有关结果可以得出，高年级学生通常比低年级学生拥有更高的表征复杂性和知识基础，在难度较高的模版上表现更出色，而低年级学生在难度较低的模版上表现较好，但不善于表征难度大的问题中复杂的集合关系。被试的表征水平随着年级的升高而升高，呈现出发展的趋势。此外，儿童对任务的表征水平不仅受任务本身的关系复杂性的影响，也受主观因素的影响[11]。随着年级的增长，儿童掌握了更多的知识技能，这就为更好表征问题里集合之间的关系奠定了基础，如模板2与模板3的差异仅在于后者用到了周长公式，导致模板3的难度要比模板2高，而高年级儿童熟练地掌握了周长公式，因此在模板3上高年级儿童要优于低年级儿童的表现。
4.3 长方形面积问题表征与流体智力的关系
通过对瑞文标准推理测验总分与长方形面积问题总分、各模版得分关系的考察，证实了小学4～6年级学生对长方形面积问题的表征与其流体智力相关显著。瑞文标准推理测验测量的是儿童的流体智力，流体智力被认为是信息处理和问题解决过程中所表现出来的能力，例如对关系的认识、类比、机械能力、简单推理能力等[9，10]。“对关系的认识”在关系—表征复杂性模型中被定义为“表征”[11]，因此儿童表征水平与流体智力的关系密切。流体智力随着神经系统的成熟而提高，神经系统随着年龄的增长逐渐成熟，因此儿童对关系的认识能力即表征也相应发展。
从瑞文标准推理测验总分与长方形面积问题各模版的相关系数来看，在条件判断测验中，模版4与瑞文标准推理测验总分相关不显著。这可能是由于模版4的难度太高，产生了“地板效应”，即使智力水平发展相对较好的儿童，由于其处于具体运算阶段，对抽象的符号作为已知量的题目不如用数字表示的熟悉，导致很多儿童主要靠猜测进行判断，因而相关不显著。这一结果与辛自强的结果相似[5]。而在面积计算分测验中，模版3与瑞文标准推理测验总分的相关系数最高，且除却模版4，各模版与瑞文标准推理测验总分的相关依次上升；而模版4则由于难度过大，区分度不如模版3高，因此相关系数也相应较低。
4.4 模型的理论与应用价值
综合上述结果可以得出，基于关系—表征复杂性模型所设计的长方形面积问题所测得的儿童表征水平与儿童的流体智力有显著关联，这说明该模型具有关联效度；更重要的是，基于该模型所编制的测验对儿童表征水平的年龄差异非常敏感，适于发展研究。对长方形面积问题表征的研究可以为其他有这种层次组织特点的数学知识的教学提供借鉴，也可以推广到其他学科的教学实践中。
在具体教学实践方面，该模型为教学、考试问题的设计提供了思路[11，12]。模型中的关系复杂性可较好地解释问题难度，因此，在考试题目设计中，可以通过分析问题的关系复杂性以及知识要求，从而事先确定题目的难度水平，使题目设置和题目顺序安排更为合理；在课本编排中，可根据不同年级能达到的不同的表征复杂性程度设计相应的习题、样例，并注意教授各类题目的顺序。郭兆明等[13]认为数学应用题图式层次的研究对于数学教学的设计有重要的意义，图式的层次性实质上刻画了数学应用题的抽象梯度。因此，关系—表征复杂性模型以及本文关于问题模版序列性的研究对于数学课程的设计有启发意义。
此外，该模型有助于对维果茨基“最近发展区”理论操作化[12]。维果茨基认为，教学应该走在发展的前面，所谓“跳一跳，摘个桃”，这样才能引导学生达到更高的可能水平。然而，“最近发展区”理论并没有提供如何确定儿童现有水平和可能水平的操作方法。运用关系—表征复杂性模型则可以确定儿童表征能力的发展水平，这就可以对“最近发展区”思想加以操作应用，即教学中应该选择那些比学生已能表征的关系层级更高一层级的任务进行教授和学习。
5 结论
(1)4～6年级学生对长方形面积问题的表征水平与流体智力有显著相关；(2)其表征复杂性水平随年级的升高而升高；(3)基于关系—表征复杂性模型所设计的材料适于测定随年龄而变化的表征水平。