从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制，本文主要内容关键词为：考题论文,中考论文,初中数学论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者多次参加绍兴市数学中考的命题工作，深刻体会到一份优秀试卷的形成凝聚了所有命题组教师的心血，而压轴题的命制又是试卷命制的核心.本文以2012年绍兴市数学中考压轴题的磨制过程为例谈谈试题的命制历程，让大家对压轴题的命题要求和步骤有大致的了解，能引发大家对自己的教学方式方法的一些思考，希望大家在平时的教学中能更关注学生能力的培养，而莫把学生的时间浪费在一味地猜测和操练上.
一、回归课本找题源
试题的改编、创作离不开“题源”，而课本却是最好的“题源”地.一道好的试题应该“源于课本”而又“高于课本”.找好“题源”，确定好改编的方向，沿某个角度进行挖掘，是试题编制时常采用的方法.根据压轴题的考查范围，我们在寻找“题源”时，重点关注知识面尽可能丰富的，包含特殊三角形和特殊四边形，可塑性强，有挖掘价值的题目.在分头翻看课本例习题的过程中，我们注意到了浙教版八年级下册P143例2，原题如下：
如图1，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
此题题干简洁，主要考查特殊四边形的性质和判定，涉及矩形、菱形、全等、直线位置关系、中垂线性质等知识.作为新课例题，原题知识面比较单一，但让我们眼前一亮的是，题目图形中却包含着丰富的信息，既有特殊四边形，也有特殊三角形，既有三角形的全等关系，又有直线的特殊位置关系，具有很大的可塑性.若让E，F两点运动起来，就可以编成一个动态问题，点的移动必然产生线位置关系的变化，位置关系又可用数量关系去衡量，可以很好的渗透方程、函数、数形结合等思想.有了这道具有挖掘潜质的“题源”，我们就着手进行改编.
二、确定基调塑题型
改编之前，得首先定好压轴题的基调：二次函数背景，有特殊三角形或四边形，能考查方程、函数、数形结合、分类讨论等思想，兼顾基础性和区分度，能压得住卷的.我们确定试题格局为“2+2”型，既试题共分两小题，第（2）小题又分两小题.第一轮改编目标是试题题干、第（1）小题和第（2）小题的①，要求第（1）小题尽可能简单，绝大多数学生都能解决，第（2）小题的①中等以上学生都能解决.我们产生了如下两种原始方案：
方案一：如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，连结AC.抛物线y=
-2x-3经过A、B两点.
（1）求A点坐标及线段AC的长；
（2）如果点P由点O出发以每秒2个单位的速度沿OC边向点C移动，同时点Q由点B出发以每秒1个单位的速度沿BC边向点C移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，移动时间为t.
①当PQ⊥AC时，求t的值；
方案二：如下页图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，AB=4cm，OA=2cm，抛物线y=0.4+bx+c经过A、B两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P从O点出发以3cm/s的速度沿OA，AB边向B点运动，同时点Q从点B出发以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，移动时间为t.
①连结BO，PQ，当t为何值时，BO分线段PQ为1∶2两部分？
评析 第（1）题，方案一能较迅速地得到结果，方案二需用待定系数法计算，要稍作转换，从命题意图看，方案一可取.第（2）题的第①小题，方案一根据位置关系求数量关系，较好地利用了“题源”中的“垂直”关系，但深度不够，方案二虽考查了分类讨论思想，但仍是由数量关系到数量关系，没有很好利用“题源”中的主要关系，动态问题和数形结合思想的本质渗透不够.综合两者，可以方案一为蓝本，把第（2）题的第①小题，设计成垂直背景下的分类讨论题.在此基础上得到了方案三.
方案三：如图4，矩形OABC的两边在坐标轴上，连结AC，抛物线
经过A、B两点.
(1)求A点坐标及线段AC的长；
(2)点Q由点B出发沿BC边以每秒1个单位的速度向点C移动，1秒后点P也由点B出发沿BA，AO，OC边以每秒4个单位的速度向点C移动，当其中一点到达终点时另一点也停止移动.移动时间为t秒.
①当PQ⊥AC时，求t的值；
评析 为了使第（2）题的第①小题产生多种情形，我们把横向矩形改成了纵向矩形，并延迟了P点出发时间，从而使P点在不同的移动路径上都需考虑是否存在PQ⊥AC的情况，而且求得的两个t值又需验证是否符合要求，达到了命题的基本意图.第一轮的改编暂告段落，第二轮改编目标是第（2）题的第②小题.
三、延续格局编题眼
最后一小题往往是压轴题的题眼，是“压点”所在.以等腰三角形、相似三角形、平行四边形等为对象的存在性分类讨论问题，是近年来各地中考压轴题中比较常见的一种题型，根据压轴题命题的原则，对于这种在平时的中考复习中反复操练、讲解的题型，一般尽可能回避，以引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难.我们先作了如下的尝试：
方案一：②当PQ=AB时，点R在抛物线上，以P，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求此平行四边形的两条对角线长之比.
评析 当P点在AO或OC上时，都存在PQ=AB的情形，所以此时能达到分类讨论的目的，但问题在于，此时在抛物线上是否存在点R，使以P，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形呢？通过计算，答案是否定的.此方案显然不可行.
方案二：②当PQ//AC时，点R在抛物线上，以P，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求此平行四边形的两条对角线长之比.
评析 首先，PQ//AC这个条件大家都认为很好，与第①小题PQ上AC呼应，都属于动态过程中的特殊位置关系.通过计算，当
时，PQ//AC，而此时，在抛物线上仍不存在点R，使以P，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形.平行四边形这条路是走不通了，但方案二仍是个有效地尝试，延续第①小题的格局，我们确定把PQ//AC作为第②题的条件.
方案三：②当PQ//Ac时，试在抛物线对称轴上找一点M，x轴上找一点N，使得五边形BPMNQ的周长最小并求出周长最小值.
评析 方案三摆脱了常规思路，提出了五边形周长的最小值，让我们眼前一亮，但细细一推敲，此方案无非考查点的对称性，如图5，只要作出P、Q点分别关于抛物线对称轴和x轴的对称点P'、Q'，连结P'Q'即可找到M、N点，思维含量低，思想方法单一.随即也就排除了该方案.考虑过了特殊图形（平行四边形）、图形边长（周长），自然想到了角的关系，于是有了方案四.
四、探寻通解定题型
第三轮改编在第二轮方案四的基础上，即在确定题①当PQ⊥AC时，求t的值；题②当PQ//AC时，若H是抛物线对称轴上的一点，使得∠HOQ＞∠POQ，求点H纵坐标的取值范围的情况下，通过调整动点移动的速度，以使计算简洁.两种不同的思路产生了如下两种方案：
方案一：如图7，抛物线为
，点P从点B出发点沿鲋的方向以0.8个单位长度/s的速度向点A移动，2秒后点Q从点B出发，以8个单位长度/s的速度沿BC，CD，OA的方向向点A移动，其中一点到达终点后，另一点也随之停止移动.点P移动的时间为t秒.
评析 此方案通过调整动点移动的方向和速度，使当PQ//AC时，点P、Q处在一个非常特殊的位置，如图8，即有PQ⊥OQ，从而有△DEQ≌△PBQ，能较方便的求出点P关于OQ的对称点D的坐标，点H2的坐标自然可得.但在成功的片刻喜悦之后，不免也觉得，此种情形的特殊性，人为编造的痕迹太明显，反而缺失了命题的信度.而且此方案仍没有解决通法问题.
方案二：如图9，抛物线为y=-4x-2，点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB方向向点B移动，当一点到达终点时另一点也停止移动，点A的移动时间为t秒.
评析 此方案也设置了一个特殊的环境，如图10，使PQ//AC时，点P恰好在第四象限的角平分线上，从而有∠AOE=∠COQ，根据相似很容易可得E点坐标，OQ关于OP的对称直线OE的解析式也就轻松可求.此方案虽然解决了“可求”的问题，但跟方案一一样，还是没有解决通法问题，且此时解题的思维含量低，考查面狭窄，所用数学思想也较单一.现在问题的关键是如何在坐标系中求一个点关于某条直线的对称点坐标，根据我们的直觉，一定存在解决这个问题的通法，于是我们把重点放在通法的寻求上，最终的试题也就应运而生了.
题目：如图11，矩形OABC的两边在坐标轴上，连结AC，抛物线y=-4x-2经过A，B两点.
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒.
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ//AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围.
评析 经过改编后，试题很好地融合了四边形、三角形、直线的位置关系、三角形全等、三角形相似、对称变换及函数、方程等初中阶段核心知识，涉及函数思想、方程思想、分类讨论思想，较有效地考查了学生运用抽象思维解决较为复杂的数学问题的能力.尤其是第（2）题的第②小题的解答（如图12），需通过作对称点构造全等三角形和相似三角形，融合了几何的核心知识，而要找出其中的相等量，对学生的探究能力要求较高，有较好的区分度，压轴意味明显，与我们的设计目标符合.经过多次的改编、反思、再改编，最后出来的成题已与课本题源有较大变化，更突出对探究能力的考查，要解答好这个题目，并不是靠一味地操练所能做到的.
