无疑处生疑，有疑处释疑——国优课“二次函数的概念”教学片断赏析与思考，本文主要内容关键词为：片断论文,函数论文,概念论文,有疑处论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题是数学的心脏.因此，为问题而教，是数学教学的出发点和着眼点.数学是由问题构成的，教学目标需要问题来展现，教学过程需要问题来活化，教学对象需要问题来触动.离开问题，数学教学仅定位于单向的静态的传输系统.可见，问题应是数学教学的逻辑起点，问题和问题解决是数学教学的生长点[1].古人说：“学起于思，思源于疑.”有疑才有问，有问才有思，有思才有得.疑问是思维的火种，思维以疑问为起点.南宋理学家朱熹说：“读书无疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进.”[2]这说明“有疑”和“无疑”是一对矛盾：无疑者，需“教”而有疑，即无疑处生疑；有疑者，又应“教”而无疑，即有疑处释疑. 目前，数学课程改革已进入“后课改时代”，但数学教学中仍普遍存在“缺乏问题意识，重结果轻过程，掐头去尾取中段，在数学对象的背景、引入、形成上着墨不够，导致数学对象的学习过程被浓缩”等“去问题化”现象[3]，这不利于学生创新精神的培养和数学素养的提高.数学课堂如何为“疑”而教，回归数学本质，做到“教有疑”与“教无疑”呢？这不论是过去还是当下，也是未来数学课堂的永恒主题.这里以“国优课”（第八届全国初中青年数学教师优质课评比一等奖课例）参赛选手王文俊老师的“二次函数的概念”为例，对“教有疑”与“教无疑”做些诠释.研究者认为，整堂课以问题为驱动，理性自然，把“疑”贯穿教学全过程，让学生体验数学地建构概念、形成概念、应用概念、延伸概念，逐步学会数学地认识和解决问题. 一、概念链接，学似无疑 1.教学片断呈现 师：八年级我们学习过函数概念，你能说说什么是函数吗？ 先后有3名学生回答并相互补充后得出较完整的函数概念，教师屏幕显示. 追问1：你认为函数概念中有哪些关键词？ 生：两个变量；允许范围内；x与y有对应关系. 追问2：x与y是如何对应的？ 生：对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应. 追问3：我们已经学过了哪些函数？…… 追问4：以一次函数为例，说说主要研究了函数的哪些内容？…… 师总结：我们学习一次函数经历了这样的过程：从实际问题中，找到两个变量，如果它们存在一定的依赖关系，就得到一个函数，画出函数图象后，通过直观观察，总结出函数的性质，最终又回到实际问题.所以数学来源于生活，也必将应用于生活.今天我们还要学习一种新的函数，请看实际问题. 情境一：一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大后的圆面积y与半径x有何关系？ 情境二：用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔： （1）如果长方形的长为y米、宽为x米，那么它们之间有何关系？ （2）如果长方形的面积为y
、宽为x米，那么它们之间有何关系？ 情境三：车辆行驶中，司机观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50 km/h，视野为80°.若视野f（度）与车速v（km/h）的乘积为定值，则f与v有何关系？ 情境四：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=x，BC=4，AC=y，y与x有何关系？ 情境五：边长为x米的正方形房间要铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少？ （本片段主要采用问答式，问题解决顺利，其中情境五有适当点拨，教师板书6个解析式.） 2.评析与思考 李邦河院士认为“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”前苏联教育家克鲁普斯卡娅曾说：“数学是许多概念组成的锁链.”由此可见，数学是思维的体操，数学概念是数学思维的细胞，问题是数学概念的活性酵母[4]，它源自教学目标，成于情境的潜在预设.通过复习，聚焦函数概念中始终不变的属性——“对应”[5]，帮助学生厘清了变量、函数、常量等概念系统，再现一次函数的学习过程；然后基于学生的生活现实，着眼于学生的最近发展区，逐级而上地提出5个情境问题，为学生创设直觉思维场情境[6]，学生顺利完成，没有疑点和错点.尽管学生看似无疑，但教者实属有意：前面的复习既是本章的导学，也为“通过类比探究二次函数”提供了认知基础；后面5个情境问题是执教者对教材的整合，教材的情境问题只有二次函数模型，执教者增加了一次函数、反比例函数、无理函数模型，然后引导学生从众多的模型中抽象出二次函数的特征.如何抽象？其特征是什么？问题亦蕴藏于预设的逻辑情境中. 二、概念建构，贵在生疑 1.教学片断呈现
师：同学们，请观察刚才列出的6个关系式，它们都是函数吗？ 生齐答：是. 师：哪些是我们已经学过的函数呢？ 生1：第（2）个是一次函数，第（4）个是反比例函数. 师：那我们来看看余下的4个函数，它们有什么特点？ 学生思考、交流、讨论. 生2：它们的自变量x次数都是2，我认为它们就是今天我们要学习的二次函数（教师微笑，似乎有点意外，又略带期待地）. 生3：我不同意，（5）与其他3个函数不一样，右边的式子不是二次整式，而是二次根式. 师：生2看出4个函数的x（最高）次数都是2，还知道了本课的学习主题“二次函数”，这一点不错.可是函数f=
中自变量v的次数也是1，我们为什么不说它是一次函数呢？ 生2（有点不好意思）：一次函数的一般式是y=kx+b，它的右边是一次整式，f=
的右边是分式，因此它不是一次函数. 生3（紧接着）：同样的，我们不能把y=
叫二次函数，应该叫根式函数. 师：生3抓住了函数y=
与其他函数的本质区别，但它不叫根式函数，而是高中要学习的无理函数.而（1）（3）（6）为什么可以叫做二次函数呢？它们有什么共同的特点吗？ 生4：它们都是二次整式. 师：是的，它们的右边都是关于自变量x的二次整式，二次整式的一般式是怎样的？ 生5：a
+bx+c. 生6：还要加上条件二次项系数a≠0. 师：非常好！你能类比一次函数的概念，尝试给二次函数下定义吗？ 生7：形如y=a
+bx+c的函数叫做二次函数.（板书） 生8：应该补上常数的说明，形如y=a
+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数. 师：你补充得很好！这就是今天学习的二次函数（板书）.“形如”，即由“形”来定义二次函数，其“形”即：y是关于x的二次整式.强调二次项系数a≠0.其中自变量x的取值范围是什么？函数值的取值呢？…… 师：上述二次函数（1）（3）（6）的常数a、b、c分别是多少？…… 2.评析与思考 北宋哲学家张载说：“在可疑而不疑者，不曾学，学则须疑.”可见，学习要善于提出问题，教学也是如此.尽管学生在复习和列解析式环节顺利完成，没有困惑，但面对丰富的函数模型，教师抓住知识的生长点[7]，对情境问题进行数学加工，巧妙设问，促使学生生疑、质疑、析疑，带着疑问建构概念，感受矛盾（概念）的形成过程.尤其是学生2生成的问题：“y=
中的自变量x次数是2，它是二次函数”，这似乎在执教者的预设之外，可是生3的质疑和教师睿智的反问却让生2豁然开朗，还有生3命名的“根式函数”也颇让课堂“增色”.通过师生间的相互质疑和类比分析，经过综合筛选和甄别，抽象出（1）（3）（6）共同的本质特征：等式的右边都是关于x的二次整式，其本质特征恰与学生已有的数学模型（二次整式a
+bx+c（a≠0））产生链接.可是，如何给二次函数下定义呢？新的疑问又摆在学生面前. 数学的严谨呈现为“冰冷的美丽”，但是数学的发现却是“火热的思考”[8].二次函数概念不是凭空产生的，是源于函数知识本身发展的需要和必然，是基于情境问题解决之需要，这是概念形成的逻辑起点.通过问题驱动，蕴含于问题情境的新旧概念矛盾已经凸显，引发了学生原有的认知冲突，从而诱使新概念的推出，为学生搭建了主动建构的问题支架，学生的思维自然而然地卷入其中，探求新函数的愿望油然而生，二次函数概念的形成亦水到渠成. 三、概念辨析，妙在释疑 1.教学片断呈现 例1 下列函数中哪些是关于x的二次函数？为什么？
本片段采用问答式，课堂气氛活跃，学生发言踊跃，当学生做出判断后，教师及时追问判断理由.完成本例后，师生继续对话. 师：通过这8个函数的辨析，你认为判断二次函数的标准是什么？ 生1：满足两个条件，首先，代数式部分应该整式；其次，自变量最高次是二次. 师：这8个函数中，（1）和（5）确定是二次函数，定义域是一切实数。把它放在实际问题中，如情境一、二中的二次函数，自变量的取值还是一切实数吗？ 生2：不是.情境一是x＞0；情境二应满足0＜x＜8. 师：为什么呢？ 生3：长x＞0，且宽8-x＞0，解得0＜x＜8（师简要板书）. 师：遇到实际问题时，自变量的取值范围还要考虑实际问题是否有意义…… 2.评析与思考 对于二次函数概念的理解，除了清楚概念的内涵，还必须明晰概念的外延.为此，教师根据学生的易错、易漏、易混点，精选了8个函数，设置了两个有价值的问题：为什么是二次函数？又为什么不是？以二次函数的正例和反例为载体，把新的基本概念从正反两方面讲[9]，在每一步“是”或“非”的问题上，小心质疑，让学生“卷入”对概念的辨析、质疑、释疑之中，达到豁然开朗的境地，逐步掌握判断二次函数的标准，形成用概念作判断的“基本规范”，推动学生对二次函数概念的内涵和外延的理解；然后进一步设问，丰富学生对自变量取值范围的认知，为后续学习二次函数的相关知识提供有效保证.正如哲学家陆九渊所说：“学者有疑，小疑则小进，大疑则大进.疑者，觉悟之机也.一番觉悟，一番长进.”[2] 四、概念应用，却要无疑 1.教学片断呈现 例2 如图1，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC边上一动点，以EC为边长在形内作正方形CEFG，点G在CD边上，连接AF、BF.当E在BC边上运动时，探究图中变量之间的函数关系.
师：（启动几何画板，反复拖动点E）请同学们观察图形，在点E的运动过程中，图形中哪些量发生变化？ 生1：线段的长度，如线段BF、AF、EF、DG等. 师：还有其他量发生变化吗？ 生2：周长. 师：哪些周长？……还有吗？ 生2：△ABF、△FEB，还有正方形ECGF，它们的周长都在变. 生3：还有梯形AFGD的周长也在变，它们的面积也在随着变化呢. 生4：角的大小也有发生变化…… 师：随着点E的移动，同学们观察出很多量随之发生变化.现在，如果我们约定变量EC=x，则哪些变量与x是一次函数关系？你能列出这些函数关系式吗？（用y表示函数） 全班练习，学生先后主动板演. 生5：线段BE：y=10-x 生6：线段GD：y=10-x 生7：正方形ECGF的周长：y=4x 生8：线段AF：
师：生8，你能解释一下为什么吗？ 生9：因为∠ECF=∠ECA=45°，所以点A、F、C在同一直线上，AF=AC-FC…… 生10（急不可待地）：也可延长EF交AD于H，△AFH是等腰直角三角形，则FH=10-x，AF=
（10-x）. 师：这些变化的量与x是一次函数关系，还有二次函数关系的吗？ 全班练习，适时交流讨论，学生思维活跃，有答案后主动板演并讲解理由. 生11：梯形ADGF的面积：
生12：正方形ECGF的面积：y=
. 生13：△ABF的面积：y=
×10×（10-x）.（话音刚落，有人发表不同意见.） 生14：这是一次函数，△EBF的面积才是二次函数，
师：这些都是一次函数和二次函数，有没有其他的函数关系呢？ 生15：有.把BF放在Rt△BEF中，根据勾股定理y=
. 巩固练习：某人向上抛物，由物理实验可得：该物体运动时离地面的距离h（米）关于时间t（秒）的函数解析式为h=-5
+20t+25. （1）分别求刚开始抛物与抛出4秒时，物体离地面的高度； （2）抛出的物体经过几秒钟落到地面上？ 教师活动：请生念题.电脑模拟上抛运动.（1）中刚开始抛物是什么时候？ 生16：t=0…… 师：（2）中什么叫落到地面上？ 生17：h=0…… 师：对，h=0时，这个问题就转化为解一元二次方程-5
+20t+25=0了…… 师总结：数学是学习物理和化学的工具…… 2.评析与思考 例2的设置，充分展现了执教者的创新精神和数学素养，也是本课的最大创新和特色所在.该例问题开放，先任意找两个变量，再建立函数关系，其结果可能是一次函数、二次函数，或其他函数.借助几何画板的动画功能，启动学生的几何直觉思维，教师适时提出系列问题：“在点E的运动过程中，图形中哪些量发生变化？”“哪些变量与x是一次函数关系？”“……还有二次函数关系吗？”这系列问题以“理解性提问”和“评价性提问”为主[10]，都富有挑战性，提问的受众覆盖面广，为全体学生营建了平等和谐的思维场景，疑问不断提出，又不断被解决，学生的探究欲望被不断激发，在激疑、生疑、释疑的良性循环中，学生的思维自然发展，对二次函数的概念和与其他函数异同的理解有质的飞跃.然而，问题的解决又是获得真知灼见的开始.当学生沉浸在“无疑”的喜悦中时，教师适切提出“这些都是一次函数和二次函数，有没有其他的函数关系呢？”引发学生新的思考，激起新的思维波澜，学生始终处于上下求索的愤悱状态，有助于学生形成不断质疑、释疑的学习习惯，凸显了数学的理性精神.正如张诗亚先生所说：“一惑刚去，一惑又来，如此循环往复、层层深入，促使学习者思维的发展与知识的增进.”[11]《学记》有说：“善问者如攻坚木，其先易难，后其节目.”讲的也是这个道理. 在巩固练习环节，教师基于数学知识内部蕴含的逻辑关系设置问题：当t=0时，即是知自变量的值求函数值；当h=0时，即知函数值求自变量的值；于物理问题中理解二次函数和一元二次方程的联系，凸显数学的工具性和应用性，也为跨学科发展学生问题意识提供例证. 五、概念延伸，须教有疑 1.教学片断呈现 学生小结后，教师小结：我们学习函数一般要经历概念—图象—性质—应用的学习过程，二次函数的学习也将经历类似的过程.今天学习了它的概念，后续将继续学习其图象、性质和应用.如果从数学知识结构的内部关系来看，形如y=a
+bx+c（a≠0）的二次函数，假如只看函数的右边，就是以前学习的二次整式；但是假如y=0，则a
+bx+c=0（a≠0）就是我们熟悉的一元二次方程；假设把“=”变成“≥”或“≤”等不等号，即是将在高中学习的一元二次不等式.相信同学们能关注到数学知识内在的联系，融会贯通，学得轻松、有效. 2.评析与思考 数学是充满着联系的，不要教孤立的片段，应该教连贯的材料[12].因此，数学概念教学应帮助学生建立与相关概念的联结，使当前概念与上位概念、下位概念结构化、网络化、立体化，实现新旧概念的无缝对接.二次函数与已学函数，与二次整式、一元二次方程、一元二次不等式，彼此间存在着统一的数学关联，通过课堂导学和小结，既能让学生链接旧知，展望未来学习的相关内容，为学生建构与二次函数相关的数学知识系统提供了“机会和可能”，又给予了学生必要的数学学习方法指导，恰到好处地发挥数学的教育性，让学生适时沐浴数学精神、思想与方法，获得理性的数学思维的教育[13].让其带着对“已知”的收获与喜悦、对“未知”的好奇与疑问离开课堂，使学生产生“心求通而未得，口欲言而未能”的愤悱之感，进而达到课内向课外延伸之目的，这正可谓“言有尽而意无穷.”这就是数学的内在力量之所在！ 总之，学生数学学习的过程是一个持续的“无疑—有疑—无疑”的动态循环和提高超越过程.在这个过程中，教师循“在无疑中发现问题—在生疑中提出问题—在质疑中分析问题—在释疑中解决问题—在无疑中发现新的问题”的程式展开教学，其作用是“教有疑”与“教无疑”：当学生“无疑”时，教师要“须教有疑”，制造“山重水复”的窘境；当学生“有疑”时，教师则要“教无疑”，不断开创“柳暗花明”的胜景，这便是关于“有疑”与“无疑”的处理要诀，也是“教有疑”和“教无疑”的理想境界. 在具体的教学实践中，教师一方面要在学生的“思维生惑点”14设问，注重设问的有效性，从能力与方法上设问，从易错易混角度上设问，从成长点和提高点设问，从开发潜能点上设问[13].另一方面，教师要从整体规划提问；有效运用元认知提示语；及时分析统整学生的回答；恰当创设疑境，引导学生提出有意义的问题等方面优化课堂设计，培养学生提出问题的能力[15-19].当然，“疑”有深浅，“问”有大小，教师能否有效地提问和引发学生有效的疑问，源于教师的教学观和学生观，源于教师对课标和教材的理解，源于教师自身的问题意识，源于教师对数学教育的情怀.这也是未来数学教师着力之所在. 【编辑手记】新课改以来，各学科的课程基本都以模块化的形式呈现.然而，就数学学科而言，其内部有着明晰而严谨的结构，人为割裂这种学科内部的体系结构，必然会对教学带来一定的影响.在教学中，教师如果只是简单地照本宣科，容易导致知识的碎片化，因此，教师应该关注数学知识体系的整体，揭示知识间的内部联系，归纳、总结研究各类数学知识的一般方法.
标签：数学论文; 二次函数论文; 一次函数论文; 一次函数的性质论文; 数学素养论文; 教学过程论文; 自变量论文;
毫无疑问，有怀疑，也有怀疑“二次函数”课程“二次函数”教学环节的欣赏与思考_数学论文
下载Doc文档