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在初中的数学课中，我们用“度”数来表示两条直线之间夹角的大小，比如，360度表示圆周角，180度表示平角，90度表示直角，诸如此类。后来到了高中时，我们把角的单位，由“度”换成了“弧度”。这时，圆周角表示为2π，平角表示为π，直角表示为π/2。为什么要引入弧度呢？
在现有的教材中或实际教学中，很少对此做出必要的说明或解释，只是让学生记着由“度”换成“弧度”的公式就成了。这样，学生们往往对于引入弧度的必要性深感迷惑不解，不明白为什么一定要把90度换成一个无理数π/2。这样的问题不仅中学生存在，即使是对于部分学过高等数学的大学生同样存在，或者说没有认真思考过这个问题。
本文打算对于为什么要引入弧度以及它给我们带来的益处作一个说明，以便使我们的中学教师首先从道理上明白其中的缘由。至于在中学教学中如何讲授这一部分内容，则是另一个问题，那是一个教学改革的问题，需要根据情况进行试验。文中对此也提供了一点建议。
一、谈谈角的度量问题
首先，让我们谈谈角的度量问题，特别是，要回顾一下两种度量角的大小的方式：普通角度制(degree)与弧度制(radian)。
设有两条相交的射线（有方向的半直线），那么它们之间便形成一个夹角。我们如何来度量这个夹角的大小呢？无论从理论上，还是从历史事实上，度量角的办法的都有很多。
最常见的一种办法就是我们所熟知的角度制：以两相交射线的交点为中心、以任意的长度r为半径，做一个圆周；然后，把该圆周用射线等分成360个等份，并把其中的每一份称1“度”，记为10°。1°的大小大致可以视作以一个成年人的胳膊作半径、并以其小拇指作弧长所对应的中心角。“度”下面又设有“分”与“秒”的单位，60分为1度，而60秒为1分。
由于360这个数能被8整除，所以在这种制度下，平角、直角以及半个直角，这些典型的角的度数都是整数。另外，由于圆周角的度数360选取大小较为适当，不过大，也不过小，恰好使得最常见到的角——锐角，其度数介于0与90度之间，也就是说，其度数的整数部分是一个两位数，用起来较为方便。此外，又由于360有多个因子，这使得多种正多边形的内角恰为整数，如正三角形，正方形，正六边形，等等。由于种种原因，这种角度制，在日常生活中以及在天文、航海、测绘、地图绘制等方面，有着广泛的应用，也是人们所熟知的。
弧度制是度量角度大小的另一种方式。它的办法是以两条相交直线的交点为中心，以单位长度1为半径作一个圆周（数学上称之为单位圆），然后把两条相交直线所夹的单位圆的弧长，作为度量两直线的夹角的值。就像前面说的那样，圆周角为2π弧度，平角为π弧度，直角为π/2弧度，等等。
显然，上述两种办法在本质上没有差别，只不过是角度单位作了一次更换而已。两种角度的度量制度之间有下述关系：
360度=2π弧度，也就是说，原来的1度等于2π/360个弧度，而1弧度等于360/2π(=180/π)度，它约等于57.2958度（见图1）。可见，从度到弧度，角度的单位放大了57倍多。
图1
“弧度”的英文缩写为“rad”，比如1.234弧度可以表示为1.234 rad。此外，过去也曾经有人用小写英文字母“c”表示1个弧度，比如1.234弧度，写成
（这里的“c”表示“circular length”）。但现在已经很少有人这样用了。这是因为在现代的数学书籍与文献中，角一律用弧度为单位，无须用符号加以特别标注。
采用弧度作为角的单位有许多好处，一个直接的、显而易见的好处是为计算扇形的面积与弧长提供了方便。
假如我们有一个扇形，其直线边的长度为r，两个直线边之夹角为θ（弧度），所夹的圆弧的长度是s，又假定扇形的面积为A，则显然我们有
s=rθ(1)
及
总之，如果使用弧度来表示扇形的两直线边的夹角，那么扇形的面积与曲边的长度有很简便的公式。比如，一个夹角为π/8（相当于45°角的一半）而直线边的边长为8的扇形的弧长与面积分别是s=π与A=4π。此外，人们还可以利用弧度简便地计算弓形的面积。
但是，引入弧度的概念的好处不只这一点，而且这些也不是引入弧度的最重要的理由。
二、引入弧度的基本缘由
简单地说，弧度的引进的主要原因是为了适应微积分创立之后科学计算上的需要。更具体地说，弧度的引入使得微积分中的关于三角函数的各种公式，如微分公式、积分公式和泰勒公式等等，与普通的角度制相比，都得到了大大的简化。因此，在高等数学中，如不特别说明，有关三角函数的自变量一律认为以弧度为其单位。
从历史过程来看，弧度作为度量角度的一种方式，大约是在18世纪初提出的。根据已有的资料，它是在1714年由Roger Cotes首先提出来的。当时他已经完全认识到这种度量角度的方式的自然性以及采用它所带来的好处。因此，弧度的提出应当归功于他。但是，弧度的名字——radian不是他给的。
弧度的名字radian首次出现在正式印刷物上是在1873年，是在Roger Cotes提出这一概念之后的50多年之后。该出版物是Queen's College的James Thomason教授编著的一本考试问题集。但他实际上非正式地使用这个名字早在1871年就开始了。此外，在1874年Andrews University的Thomas Muir在1869年就使用着这种角的度量制，但他使用的名字却是在rad，radial以及radian之间不断更换。1874年经过与James Thomason磋商之后，Thomas Muir决定使用radian这个名字。后来，用这个名字的人逐渐多了起来，最终学术界普遍采用了它。
现在我们来详细讨论为什么要引进弧度以及它所给我们带来的益处。我们要首先指出一个基本事实：三角函数的求导公式
(sin x)'=cosx;(cosx)'=-sin x(3)
依赖于弧度制；更确切地说，这些公式只有当其中的自变量x用弧度为单位时才成立。
如果其中的变量采用普通的角度制，那么这些公式中应当增加一个常数：
(sin x)'=C cosx;(cos x)'=-C sinx, (4)
其中常数C=π/180。
现在，让我们细细道来个中的原委。为此，我们需要回顾现代教科书关于公式(sin x)'=cos x的证明：
仔细检查这个证明，立刻发现，在这个证明中，除去用到了余弦的连续性
之外，最关键之处是用到了下列重要极限等式
（在等式(5)中取h/2为θ）。可是，这个极限之所以成立完全基于其中的变量θ是以弧度作为单位的缘故。
事实上，只要从图2中就可以理解极限公式(6)。在弧度制之下，图2中的中心角2θ的值就等于它所对应的弧AE的弧长。直观地看，很容易得到下列结论：当中心角趋于零时，它所对应的弧AE的长度(2θ)与弦AE的长度(2sinθ)之比就趋于1。
图2
读者如果对于直观不放心的话，那么还可以由图2得到较为严格的证明。事实上，我们有下列不等式：
sinθ＜θ＜tanθ,
(7)
这里的sinθ＜θ是因为由于弦AE长度小于弧AE的长度的缘故，而θ＜tanθ是由于扇形OAD的面积小于三角形ODC的面积的缘故。由(7)式，我们得到
cosθ＜sinθ/θ＜1,
(8)
令θ→0，并对此不等式两端取极限，立即得到极限公式(6)。
这些论证在任何一本微积分的教科书中都能找到。这里我们之所以详细回顾它，是为了让读者从这个证明中看清(6)的成立与弧度制的联系。事实上，在这个论证中，我们认为弧AE的弧长为2θ，而认为扇形OAD的面积等于θ（注意这时半径r=1），其原因都是由于弧度制的缘故。如果使用我们熟悉的普通角度制，那么等式(6)与不等式(7)都不成立了；确切地说，这时需要更换成其他形式，比如(6)应该换成：
而与此有关的其他公式也便随之更改。
由于这些基本三角函数在微积分中的基本性，弧度制与普通的角度制在上述公式中所引起的差异，就会产生巨大的影响。例如，它会影响到与三角函数有关的一切积分公式，也会影响到三角函数的泰勒展开式。
在微积分学中，正弦函数与余弦函数有下列的泰勒展开式：
这个公式无论在理论上，还是数值计算上，都有重要的意义。我们必须指出，这些展开式同样要求其中自变量x采用弧度才成立。
如果在普通角度制之下，这两个公式就变成
及
其中C=180/π。
后面这两个公式不仅在形式上显得罗嗦麻烦，而且在实际计算上大大增加了计算的工作量。
这样，我们就看清了为什么在微积分的发展中会提出使用弧度制来表示角的大小，也就明白了在现代的数学文献中三角函数的自变量一律采用弧度制。
我们还需要指出，在弧度制之后，就出现了表示平面上的点的极坐标，而极坐标的使用简化了某些特定图形的面积或某些曲线的弧长的计算以及某些特定的物理与力学上的问题的计算。
弧度制也为物理学中的某些计算或表述带来方便。许多物理现象，特别是波动现象，需要用三角函数表示，而三角函数的微分与积分的运算用弧度制最为方便。
弧度制有更深远的影响。比如它使得欧拉发展了有关复数的理论，并在复数领域内沟通了三角函数与指数函数的联系。只有在欧拉之后，复数才得到广泛承认与应用，并逐步形成了复变量函数的理论。
三、欧拉公式与弧度制
为了进一步说明弧度制对高等数学的影响的广泛性，现在我们特别举出在复变量函数论中起到重要作用的欧拉公式作为一个例证。
大家知道，下列公式被称为欧拉公式
当θ=π时，我们有
这个仅有6个符号的等式，把数学中三个最重要的常数e,i,π与两个重要的数1和0巧妙联系在一起，不少人曾高度赞美过这个公式。
欧拉公式在复变函数论中有广泛的应用。图3画出了欧拉公式的几何意义。
图3
现在，我们要指出，欧拉公式(13)只有在其中的自变量θ以弧度为单位时才成立。下面我们来说明其理由。
我们知道以e为底的指数函数
有下列展式：
如果我们认为这个公式对复数依然有效，或者说当自变量x换成复数z时，函数的定义就是(15)式的右方将z换成z。这样，当z换成ix时，我们有
将这里的x换成θ就得到欧拉公式(13)。
检查这个证明中可以看出，欧拉公式依赖于公式(9)与(10)，而它们的成立的前提是变量x应以弧度为单位。因此，我们可以断言，欧拉公式只在自变量以弧度为单位时成立。
总之，有了欧拉公式才有复数的指数表示，而复数的指数表示是复变函数论最基本的公式。可见弧度制影响之深远。
四、一点有关教学的建议
在讲解弧度时，我们不应该回避引入弧度的理由，要告诉学生，我们原先所熟悉的角度制适用于初等数学以及各种实用几何，而弧度制则适用于高等数学。这种度量角度的单位，为面积与弧长的计算以及微积分中有关三角函数的计算，带来了很大的方便。正是由于这个原因，在现代数学的文献中，与三角函数有关的量一律采用弧度制。为了今后学好高等数学，在中学阶段要掌握好弧度的概念，并逐步熟悉用弧度来表示角度。
除了从原则上讲，弧度会在微积分中有用之外，也可以出一些简单的练习题，比如已知中心角与半径，计算扇形面积或弧长，或者弓形的面积，使学生直接感受到使用弧度的便利。
在有条件的地方，或者只对部分较好的学生，也可以在讲三角函数的导数，或极限时，顺便把本文前面的一部分内容（比如，公式(3)与(6)中对弧度的依赖性）讲给学生听。这样做并不遇到多大困难。学生会从中理解为什么要引进弧度。
现在，微积分已经放在高中里讲，这就提供了解释这个问题的机会，不妨在教学中试它一试。