浅谈《几何画板》在初中数学教学中的应用及思考，本文主要内容关键词为：画板论文,浅谈论文,几何论文,初中数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《数学课程标准》指出，数学课程的设计与实施应重视现代信息技术的运用，把现代信息技术作为学生学习知识和解决问题的强有力的工具，进而改变学生的数学学习方式。《几何画板》软件的出现，丰富了传统的教学方法，为数学教学注入了新的活力。《几何画板》能准确地展现几何图形的动态变化过程，揭示图形变化的规律，真正地实现数形结合，不仅能方便学生的理解，还能让学生利用它去进行探索和创新，从而提高数学思维能力。在此，笔者将基于自己的教学实践，来谈一谈《几何画板》在初中数学教学中的应用及思考。
一、利用《几何画板》帮助学生理解函数与其图象之间的关系
函数是从数量关系的角度描述运动变化规律的数学概念，是从数学的角度反映千变万化的世界的一种重要模型。由于初中学生的抽象思维能力相对较弱，让学生把握好函数与其图象之间的关系，从中体会数形结合的思想，是函数教学的重点之一。下面，笔者将基于3个案例来谈如何利用《几何画板》帮助学生理解函数与其图象之间的关系。
案例1 利用《几何画板》帮助学生理解一次函数图象的性质。
初学时，学生往往难以理解函数与其图象之间的关系，例如，函数图象是怎么来的，为什么一次函数的图象是直线，等等。为了更加直观、生动地展示函数与其图象之间的关系，教师可以在用描点法画出函数图象后，利用《几何画板》演示函数图象的生成过程。下面以直线y=2x的生成为例加以说明，教师的演示过程如下。
第一步：打开《几何画板》，利用“图表”菜单下的“定义坐标系”功能建立平面直角坐标系，在x轴上取一点A，度量该点的横坐标。
第二步：利用“度量”菜单下的“计算”功能计算出2x，利用“图表”菜单下的“绘制(x，y)”功能绘出点B(x，2x)。
第三步：将点B设置为“显示”菜单下的“追踪绘制的点”。
（教师沿着x轴慢慢地拖动点A，形成如图1所示的图形，并向学生提出问题。）
图1
师：图中的点B是满足y=2x函数关系的点，大家知道这样的点有多少个吗？
：无数个！
师：请大家仔细观察，这无数个满足y=2x函数关系的点有什么特点呢？
师：请大家注意在这一过程中点B的横、纵坐标的变化，是否仍满足y=2x的函数关系？
：都满足！
师：这些点形成了什么图形？
：（兴奋地）形成了一条直线！
【说明】通过教师在《几何画板》中的动态演示，学生看到了满足函数关系式的点的坐标、位置的变化，无数个这样的点形成了直线。这个演示主要有以下两个作用：
①帮助学生理解一次函数的图象是由无数个满足函数关系的点组成的；
②弥补了描点法画图象只能由有限个点来猜测图象形状的弱点，让学生清楚地看到了直线的形成过程。（如果仅仅是在纸上描点，会有部分学生产生疑问：“为什么这些点连成的图象就是直线呢？还可以有其他的连接方式吗？”）
案例2 利用《几何画板》形象地反映双曲线的特点，加深学生对图象的理解。
学生往往难以理解反比例函数的图象（双曲线）“与坐标轴无限接近，但永不相交”的特点，教学中，教师可以利用《几何画板》来形象地加以展示。下面以双曲线
为例加以说明，教学过程如下。
第一步：建立平面直角坐标系，在x轴上取一点A，并度量该点的横坐标。
第二步：利用“度量”菜单下的“计算”功能计算出
，利用“图表”菜单下的“绘制(x，y)”功能绘出点
。
第三步：依次选中点A、B，利用“构造”菜单下的“轨迹”功能，完成双曲线的绘制（如图2）。
图2
（学生思考并开始小声讨论）
师：（演示沿x轴正半轴慢慢地向右拖动点A）大家观察：当横坐标x的值越来越大，图象上的点有哪些变化？
：图象上的点向右运动，并且与x轴的距离越来越小。
师：图象上的点会与x轴相交吗？为什么？
：不会，因为不可能等于0。
类似地，教师引导学生观察双曲线与y轴的接近关系，并研究当x＜O时的情况。
最后，师生共同总结出双曲线的特点：无限接近坐标轴，但永不相交。
【说明】通过教师在《几何画板》中的动态演示，学生直观地感受到了双曲线的特点，形成了深刻的印象，同时帮助学生进一步地认识了函数与其图象之间的关系。
案例3 利用《几何画板》帮助学生理解函数自变量的取值范围对函数图象的影响。
初学函数时，学生往往无法结合自变量的取值范围去画函数图象，例如，许多学生会将函数y=-x+2(-2≤x≤2)画成直线而不是线段。针对此类易出现的错误，教师可以通过《几何画板》向学生演示。
第一步：打开《几何画板》，建立平面直角坐标系；利用“图表”菜单下的“绘制点”功能，绘制出点(-2，0)和(2，0)；选中这两个点，利用“构造”菜单下的“线段”功能绘出以这两个点为端点的线段，将线段加粗并改为红色。
第二步：选中线段，利用“构造”菜单下的“对象上的点”功能作线段上的一点A，度量点A的横坐标。
第三步：利用“度量”菜单下的“计算”功能计算出-x+2，利用“图表”菜单下的“绘制(x，y)”功能绘出点B(x，-x+2)。
第四步：连接AB，得到过点B到x轴的垂线，并将其改为虚线；同时选中点B和y轴，利用“构造”菜单下的“垂线”功能，由点B向y轴作垂线，作垂线与y轴的交点，然后将垂线隐藏，连接点B和垂足得到线段，并将线段改为虚线。
第五步：利用“显示”菜单下的“追踪绘制的点”功能，将点B设置为追踪对象。
师：（来回拖动图中的点A）请大家观察图中自变量x的取值范围（如下页图3）。
：-2≤x≤2。
师：观察点B所能达到的最左端和最右端分别在哪里？
：最左端到点(-2，4)，最右端到点(2，0)。
师：这些点形成了什么图形？
：一条直线。
：不对！是一条线段。
师：为什么不是直线而是线段呢，这是由什么决定的？
图3
：这是由自变量限制在一定的范围内决定的。
师：（总结）可见，本题中的自变量在一定的范围内取值，导致了点B只能在一定的范围内变化，所以自变量的取值范围对函数的图象有影响。
【说明】教师通过在《几何画板》中的动态演示，将抽象的过程形象地展示出来，让学生从中去寻找规律，进而理解自变量和函数之间的关系，突破了传统教学难以展示点的变化过程的局限，确保了学生知识接受的顺利。
二、利用《几何画板》帮助学生解决与图形变化有关的问题
几何学强调在图形的变化过程中探寻规律，让学生学会从动态、变化的角度思考、理解问题，从而得到新的具有概括性的结论，提高学生的思维能力。下面，笔者就结合两个例子来谈一谈如何通过《几何画板》的演示，来引导学生动态地看待几何问题，从而使学生更全面、准确地把握问题。
案例4 利用《几何画板》在变化中寻求特殊，发现解题的思路。
《几何画板》具有强大的动态功能，可以使数学中与图形变化有关的问题形象地呈现在学生面前，从而帮助学生寻找解决问题的思路，拓展学生的思维。
图4
这是一道具有一定难度的题目，对于此题的讲解，教师可以作如下演示，帮助学生寻找解题的思路。
第一步：打开《几何画板》，作等边△ABC，取AC的中点O；
图5
：也不能。因为这两个三角形的相对位置没有确定。
师：是的，这两个三角形的边长和相对位置都没有确定。但是此题要求的是
的值，说明这两条线段的比值应该是一定的。
接下来，师生共同归纳出此题的3个特点：
(1)两个等边三角形的边长不定；
(2)两个等边三角形的相对位置不定；
(3)线段的比值是一定的。
师：遇到这种情况，一般都可以采用哪些方法呢？
（学生开始讨论。）
：可不可以用特殊值法？
师：很好的想法！那么，可以让这里的哪些量取特殊值，特殊值具体取多少呢？
图6
图7
师：（总结）大家做得非常好！刚才我们利用等边三角形的边长不定、两个等边三角形的相对位置不定这两个“不定”，找到特殊位置解决了问题，还有其他特殊位置吗？
图8
图9
【说明】学生在教师的引导下，通过对问题的分析，抓住了问题的“两个等边三角形的边长不定，相对位置不定，两条线段的比值固定”这3个特点；通过《几何画板》的直观演示，探索了图形的特殊位置，从而解决了问题，经历了观察、分析、猜想、验证的过程，提高了数学思维能力。
案例5 利用《几何画板》形象地展示图形变化的过程，帮助学生思考。
《几何画板》可以帮助学生在图形不断变化的过程中，研究其中不变的规律。因此，对于一些有一定难度的问题，可以利用《几何画板》形象地展示图形变化的过程，帮助学生思考，培养学生的形象思维能力和想象力。
例如，对于2008年天津市中考数学试卷的第25题：
已知在Rt△BCA中，∠BCA=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°、半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N。
图10
图11
分析：这是一道考查图形变换的几何证明题，在“思路点拨”的启发下，学生一般都可以顺利地添加辅助线完成问题(1)（如图12）。
图12
对于问题(2)的解决，学生普遍会感到有些困难。这时，可以引导学生联系问题(1)的解决去思考问题(2)，其基本思路是分别以扇形的两条半径所在的直线为轴，翻折△AMC和△CNB，构造全等三角形，从而将线段AM、BN、MN集中到Rt△NGM中（如图13）。
图13
在完成了此题的讲解后，教师可以对题目进行拓展，利用《几何画板》帮助学生分析在扇形旋转的过程中都有哪些情况，从而加深学生对题目的理解。
第一步：打开《几何画板》，作等腰Rt△ABC，依次选中点C、A，利用“构造”菜单下的“以圆心和圆周上点绘圆”功能绘出圆C。
第二步：在圆C上任取一点E，双击点C，选中点E，利用“变换”菜单下的“旋转”功能，将点E旋转45°得点F，连接CE、CF。依次选中点C、E、F，利用“构造”菜单下的“圆上的弧”功能绘出弧EF，并将圆C隐藏。
第三步：分别作直线AB、CE、CF，作直线AB、CE的交点M，作直线AB、CF的交点N。
师：如果将扇形绕点C继续旋转，是否仍有这一结论成立呢？你们能分析出在扇形旋转的过程中都有哪些情况吗？
（学生沉默，陷入思考中。）
师：（在图13中继续慢慢地旋转扇形）请大家仔细观察，发现了新的位置我们就停下来。
当扇形旋转到图14的位置时，学生齐喊：停！
图14
师：这个位置有哪些特殊性？
：此时扇形的一条半径和直角边重合，∠_ECF=∠CAB=45°，所以EC∥AB，直线EC与直线AB没有交点，点M不存在。
师：很好！我们继续观察。
（教师继续旋转扇形，当扇形旋转到图15（下页）的位置，教师停下来。）
师：请大家观察：这个位置有哪些特殊性？结论是否仍然成立？
教师继续旋转扇形，学生找到了新的特殊位置（如下页图17）。
图15
图16
师：这个位置有哪些特殊性？
：此时，半径EC与直角边BC共线，FC∥AB，直线FC与直线AB没有交点，点N不存在。
（教师继续旋转扇形，学生找到了新的位置，如图18所示）。
师：这个位置有哪些特殊性？关系式
是否仍然成立？
学生类比问题(2)加以证明，其基本思路是：
以直线CE为轴，翻折△AMC，得△CMG，连接GN，然后证明GN=BN，∠MGN=90°，即可证得结论仍然成立（如图19）。
图18
图19
（教师继续旋转扇形，学生找到了新的特殊位置，如图20所示）。
图20
：此时，FC与BC共线，∠FCE=∠MCB=45°，则EM⊥AB，AM=BM，BN=0，结论成立。
（教师继续旋转扇形，学生找到了新的位置，如下页图21所示。）
学生类比前面的思路添加辅助线加以证明，发现式子仍然成立（如下页图22）。
师：（继续旋转扇形）还有其他的情况吗？
（学生思考并小声讨论。）
：没有。
图21
图22
师：为什么？
：因为等腰直角三角形和扇形都是轴对称图形，接下来的图形旋转过程是与前面相对称的。
最后，师生共同归纳出扇形旋转180°，图12～22的各种情况，总结出8种不同的图形，其中图14、17、20是特殊位置，其解决的基本方法都是以CE、CF所在直线为轴翻折△ACM和△BCN，构造全等三角形，从而将线段AM、BN、MN集中到Rt△NCM中。
【说明】借助于《几何画板》的演示，学生在图形变化的过程中去观察、比较、归纳、总结图形的规律，既增强了学生学习几何的兴趣，同时也锻炼了学生在复杂变化的图形中抓住本质规律的能力，提升了学生的数学思维品质。
三、反思
课程改革强调学生在学习过程中的主体作用和教师的主导作用，注重知识的形成过程，在教师利用《几何画板》进行演示的过程中，改变图形的形状、位置，让学生去观察、猜测、归纳、验证从而得到正确的结论，教师不再是简单的知识“灌输者”，而是学生获取知识的引导者，学生也不再是简单的知识接受者，而是获取知识的探索者。在这里，学生主动参与到数学活动中，自主探索，亲自去体验、尝试，从而激发了学习兴趣。
例如，在案例1中，通过《几何画板》的使用，学生更好地理解了“点动成线”，在案例2中，将以前在黑板上难以体现的双曲线的“无限接近坐标轴，但永不相交”的特点形象直观地展示出来，使学生对函数图象的印象更加深刻，同时，有趣又漂亮的几何动画让学生在感到新鲜之余体会到数学之美，发现数学不再是一些枯燥的推理和计算，而是优美的图形，精彩的结论。在利用《几何画板》进行教学时，学生往往会感叹于数学的神奇，软件的奇妙。又如，在案例5中，当学生完成题目以后，教师提出问题：“如果将扇形绕点C继续旋转，是否仍有这一结论成立呢？你们能分析出在扇形旋转的过程中都有哪些情况吗？”从而让学生主动参与到数学活动中，再利用《几何画板》让学生自主探索，亲自去体验，使抽象、枯燥的数学变得直观、形象，使学生喜爱数学并乐意学习数学。
但是，《几何画板》只能作为辅助教学的工具，在运用《几何画板》软件辅助教学时，应该以为数学教学服务为原则，以辅助教师解决难点教学问题为宗旨，而不能用《几何画板》完全代替教师的板书，特别是教师在黑板上的作图示范，对学生来说是不可缺少的。例如，在案例1中，虽然通过《几何画板》能直观地反映出函数图象，但它不能代替基础的描点法，教师在完成演示后，还应该让学生回到纸上去画图，不能因为有了计算机软件而忽视了对学生作图能力的训练。
“在什么时候用《几何画板》辅助教学，怎么辅助，要达到什么目的？”这是教师应着重考虑的问题。一般来说，在教学实践中用传统教学方式很难讲清楚的内容用计算机辅助教学比较合适。值得注意的是，并不是在学生学习的每一个阶段都适合用《几何画板》去辅助学生思考的。例如，对于案例5，在学生初次接触这类问题时，应用《几何画板》软件辅助教学，可以起到降低难度、提高教学效率、辅助学生思维的作用，但在对学生进行了一定的抽象思维训练后，就要让学生脱离《几何画板》软件的“拐杖”，培养学生的想象能力和图形理解能力，真正让图形在学生的头脑中“动”起来。因此，教学中，不能用《几何画板》完全、从始至终地替代学生的思维训练。