高公共债务一贯扼杀经济增长吗？——对莱因哈特和罗格夫的批判，本文主要内容关键词为：莱因哈特论文,经济增长论文,债务论文,罗格论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、导言 在名为《债务中的增长》的文章中，①莱因哈特和罗格夫给出了一系列关于公共债务与GDP增长问关系的“典型事实”。莱因哈特和罗格夫主要的结论是：“与‘正常’债务水平下增长和债务间的联系似乎相当微弱相反，那些公共债务与GDP之比超过90％左右的国家的中值增长率，低于其他国家一个百分点，(平均)增长率低好几个百分点”。② 为了把这一情况构建成典型事实，莱因哈特和罗格夫强调这一情况适应一系列时间和地点，在适当调整计量方法和分类方法时也表现出稳健性。莱因哈特和罗格夫的方法没有参数，其直截了当的特征是吸引人的。莱因哈特和罗格夫依照公共债务与GDP之比，把国家—年份分为4组，③0～30％、30％～60％、60％～90％、大于90％。这种直白的无参数方法突出了公共债务与GDP之比在90％左右时GDP增长率的突然下降。我们在表1展示了莱因哈特和罗格夫在《美国经济评论：会议论文》的文章中的表2与美国经济分析局工作论文的附录表1中关于平均实际GDP增长率的关键结果。
虽然莱因哈特和罗格夫的上述两篇文章中的数据实际上并非完全一样，但它们确实传递了一个有关债务情况下增长的一致信息，即在公共债务与GDP之比达到90％之前，实际GDP增长一直相对稳定在3％～4％左右。在那个点以及之后，平均GDP增长会迅速降至0或轻微负数。 典型事实的一个必要条件是准确。我们重做莱因哈特和罗格夫的研究发现编码错误、选择性排除可得数据、对加总统计量进行非常规赋权，导致了他们在描绘20个发达经济体“二战”后公共债务与GDP增长之间关系时犯了严重错误。我们的发现是：当正确计算的时候，公共债务与GDP之比大于90％的国家的平均GDP增长率实际是2.2％，而不是莱因哈特和罗格夫所说的-0.1％。也即与莱因哈特和罗格夫的结论相反，与公共债务与GDP之比较低的情况相比，公共债务与GDP之比大于90％时，平均GDP的增长并不会明显下降。我们还展示了公共债务与GDP增长之间的关系怎样随时期和国家的不同而发生明显的变化。 我们还要反驳莱因哈特和罗格夫用来证明公共债务与GDP之比在90％附近存在一个“历史性界线”的证据——他们认为，公共债务与GDP之比高于该值时，GDP增长率会出现实质性的和非线性的下降。事实上，在公共债务与GDP之比和GDP增长率之间确实存在一个非线性关系，但这种关系出现在公共债务与GDP最低的两组(0～30％和30％～60％)，而这是一个与当前政策争论无关的范围区间。 出于本文讨论的目的，我们遵循莱因哈特和罗格夫的假设，即因果关系是从公共债务到GDP增长。莱因哈特和罗格夫的结论是，“这至少说明传统的债务管理问题应该是公共政策考虑的首要问题”。④在其他著作中，莱因哈特和罗格夫承认存在着反向因果关系的可能性，即微弱的经济增长可能会通过税收下降和公共支出增加而增加债务。⑤但在2010年的两篇文章中，莱因哈特和罗格夫明确表示，暗含的因果关系的方向是从公共债务指向GDP增长的。 关于莱因哈特和罗格夫的两篇文章的发表、引用、公共影响和政策相关性的情况如下：根据莱因哈特和罗格夫的网站，⑥2010年的两篇文章的发现，形成美国参议院预算委员会证词以及《金融时报》一篇名为“为什么我们应该预料到债务中的低增长”的文章中观点的基础；关键图表还在莱因哈特和罗格夫在经济政策研究中心和彼得森国际经济研究所的发表物和演示报告中出现；用谷歌学术进行的排除作者本人出版物的搜索发现了500多条结果。⑦ 关键结果也被流行媒体广泛引用。莱因哈特和罗格夫的网站列出了76个高知名度的特别报道，包括《经济学家》、《华尔街日报》、《纽约时报》、《华盛顿邮报》、福克斯新闻、国家公共广播电台、微软国家广播公司，以及许多国际出版物和广播电台。 而且，莱因哈特和罗格夫的文章是“保罗·瑞恩预算案”论及公共债务给经济增长带来的后果时引用的唯一证据。众议员瑞恩在“通往繁荣之路”中写道：“由经济学家肯·罗格夫和卡门·莱因哈特所完成的著名的研究确认了这个常识性结论。这项研究发现结论性的经验证据：超过经济90％的总债务(指政府拥有的所有债务，包括以政府信托基金方式持有的债务)对经济增长有显著的负面效果。”⑧ 显然，莱因哈特和罗格夫对近年关于政府债务管理——更广泛地说，关于财政政策的争论——起了重大作用。他们的发现为2010年以来在欧洲和美国占支配地位的财政紧缩议程提供了重大支持。 二、重做莱因哈特和罗格夫的研究 莱因哈特和罗格夫考察了三组数据样本：20个发达经济体1946～2009年的数据；同样的20个经济体约200年的数据；以及20个新兴国家1970～2009年的数据。我们只重做了来自第一个样本的结果，因为这与当前美国和欧洲的政策争论关系最大，而且它们所需要的对多来源数据的拼接最少。我们仅仅关注与均值有关的结论，因为这最为引人关注。在莱因哈特和罗格夫的网站，他们用带着完整来源文件的数据表向公众提供了国家公共债务和GDP增长率的历史数据。⑨但数据表不包含他们所用的确切数据系列、年份和方法的说明。 虽然我们从公开可得数据得出的最初结果与我们最终展示的正确结果类似，但我们没能从公开可得的数据表重复做出莱因哈特和罗格夫的结果。莱因哈特和罗格夫好心地给我们提供了他们的数据表。利用这个数据表，我们能得出很接近莱因哈特和罗格夫所发表的结果。正是在使用莱因哈特和罗格夫的数据表的过程中，我们识别出编码错误、选择性排除可得数据和对加总统计量进行非常规赋权这些问题。 1.选择性排除可得数据与数据缺口 莱因哈特和罗格夫选定1946～2009年为战后发达经济的分析时期，用表格注释标出了缺口或其他不可得数据。一般说来，如果在数据表中数据是可得的，那么莱因哈特和罗格夫就都用到了。就时间范围而言，各国之间最大的差异在于数据的起始年份。例如，美国的数据序列向前延展到1946年。除美国之外，某些国家的序列到20世纪50年代都没有开始，希腊1970年之前的都没有，9个国家从1946年开始，17个国家从1951年开始，所有的国家除了希腊之外，从1957年起都进入了数据集。数据中有一些缺口和奇异值。例如，法国没有1973～1978年的债务与GDP之比，西班牙没有1959～1980年的GDP增长率，奥地利1948年和1949年(这两年都在公共债务较低的组)的实际GDP增长为27.3％和18.9％，葡萄牙的数据序列在1999～2000年国家货币和货币面额由埃斯库多变为欧元后，公共债务与GDP之比跃升了25个百分点。在很大的程度上，我们接受了莱因哈特和罗格夫关于公共债务与GDP之比和实际GDP增长率的数据，把它们作为给定值，没有追究数据缺口意味着什么。 重要的是，莱因哈特和罗格夫的数据排除了以下3个国家：澳大利亚(1946～1950年)、新西兰(1946～1949年)和加拿大(1946～1950年)。⑩对新西兰的排除特别重要，因为被排除的4个年份全都在公共债务与GDP之比大于90％的最高分类中，那些年的实际GDP增长率分别是7.7％、11.9％、-9.9％和10.8％。排除这些年份之后，新西兰只剩下一个年份——实际GDP增长率为-7.6％的1951年——对公共债务与GDP之比的最高分类起作用。仅仅因为排除漏掉的年份就造成用公共债务与GDP之比最高分类估算的实际GDP增长下降了0.3个百分点。而且，在接下来将要说明的非常规赋权方法扩大了新西兰被排除年份的影响，因此漏掉年份对莱因哈特和罗格夫的结果产生了很大影响。 莱因哈特和罗格夫在公共债务与GDP之比最高的分类中公布了96个国家—年份观测值。我们的正确分析发现，在公共债务与GDP之比最高(大于90％)的分类中，有110个国家—年份观测值。差别就在于被莱因哈特和罗格夫排除的年份：澳大利亚5年、加拿大5年和新西兰4年。莱因哈特和罗格夫实际上只用了数据中的75个国家—年份观测值估算公共债务与GDP之比最高分类的GDP增长率，除了已解释过的被莱因哈特和罗格夫排斥在外的14个年份之外，还有25个比利时的年份被漏掉，这是下面将讨论到的数据表编码错误的结果。 2.数据表编码错误 莱因哈特和罗格夫的数据表的一个编码错误将澳大利亚、奥地利、比利时、加拿大和丹麦5个国家完全排除在分析之外。(11)被漏掉的国家是按字母顺序选择的，因此，就经济关系而言，很可能是随机的。这个数据表错误与其他错误连在一起，对莱因哈特和罗格夫公布的公共债务与GDP之比最高分类平均实际GDP增长率造成负的0.3个百分点的错误。这些错误还使公共债务与GDP之比最低分类(0～30％)的GDP增长率高估了0.1个百分点，使公共债务与GDP之比分类(30％～60％)的GDP增长率低估了0.2百分点。 3.对加总统计量进行非常规赋权 在公共债务与GDP之比的4个分类中，莱因哈特和罗格夫使用了非标准赋权方法测算平均实际GDP增长率。在把每一个国家—年份观测值按照公共债务与GDP之比分配到4个组之后，莱因哈特和罗格夫计算了组内每个国家的平均实际GDP增长率，即对在该分类出现的国家的所有年份计算一个简单平均值。例如，英国在公共债务与GDP之比最高分类中出现19个年份，这19年的平均实际GDP增长率为2.4％，美国在公共债务与GDP之比最高分类中出现过4个年份，这4年平均每年的实际GDP增长为-2.0％。然后，每个组内的国家平均值按照每个国家平等赋权的方式被再次加以平均，从而计算出每组组内的平均实际GDP增长率。 莱因哈特和罗格夫没有指出或讨论按国家平等赋权而不是按国家—年份赋权的做法。事实上，可能存在的一国观测值之间的序列相关性可以产生这样做的理由：不是每个追加的国家—年份观测值都成比例地提供新信息。但是，对每个国家的平均值赋予平等权重完全忽视了一国经历较高公共债务与GDP之比的年份的数量。因此，序列相关性的存在可能意味着希腊和英国的19个公共债务水平超过90％且GDP平均增长率分别为2.9％和2.4％的年份所被赋予的权重，并不保证希腊和英国观测值的权重是新西兰的一个具有-7.6％GDP增长率的观测值的权重的19倍，或者是美国平均-2.0％的GDP增长率的观测值的权重的5倍。但是，按国家平等赋权就在公共债务与GDP之比高于90％的归类中给1年和近20年给予了同样的权重。莱因哈特和罗格夫需要细致地证明这种方法的合理性，否则这种方法就是武断和站不住脚的。 表2展示了用替代方法得到的公共债务与GDP之比大于90％的国家分类的平均结果(附录展示了公共债务与GDP之比全部分类的完整结果)。表2的前3栏展示了每个同家在公共债务与GDP之比最高分类中经历的年份数量：“正确”一栏描述的是1946～2009年间能获得的最大数据；“被莱因哈特和罗格夫排除的”一栏排除了澳大利亚(1946～1950年)、新西兰(1946～1949年)和加拿大(1946～1950年)的早年可得数据；“莱因哈特和罗格夫的数据表错误”一栏反映的是将澳大利亚、奥地利、比利时、加拿大和丹麦所有年份遗漏在分析之外的错误。“权重”一栏展示了计算平均实际GDP增长率的替代性赋权方法。“国家—年份权重”一栏展示了公共债务与GDP之比最高分类中按国家—年份观测值的数量赋予的权重；“莱因哈特和罗格夫权重”一栏展示的是莱因哈特和罗格夫使用的按国家赋予的平等权重。“GDP增长率”一栏展示了每个国家出现在公共债务与GDP之比最高分类的年份的平均实际GDP增长率：“正确GDP增长率”一栏显示的是所有可获得的国家—年份观测值的平均实际GDP增长；“莱因哈特和罗格夫的GDP增长率”一栏显示的是莱因哈特和罗格夫使用的排除一些年份、犯数据表错误和誊写错误后的平均实际GDP增长率。
例如，加拿大在公共债务与GDP之比最高分类中有5年(占该分类中110个国家—年份观测值的4.5％)，这5年加拿大平均GDP增长率为每年3％。但莱因哈特和罗格夫的数据表错误和年份排除导致加拿大对公共债务与GDP之比最高分类平均值的计算不提供任何数据。 就新西兰的情况而言，在莱因哈特和罗格夫估算的公共债务与GDP之比大于90％的分组中，新西兰的平均GDP增长率不是2.6％，而是-7.9％，对该组的平均GDP增长率贡献了整整14.3％(1/7)的作用。(12) 有110个国家年份观测值，但在公共债务与GDP之比最高的分类中只有10个国家。它们中的3个——奥地利、比利时和加拿大——由于数据表错误被排除在分析之外，因此在莱因哈特和罗格夫的最高分类中留下了7个国家。这些国家包含：希腊(在最高分类中有19年，年均实际GDP增长率是2.9％)、爱尔兰(有7年，年均实际GDP增长率为2.4％)、意大利(有10年，年均实际GDP增长率为1.0％)、日本(有11年，年均实际GDP增长率为0.7％)、新西兰(有1年，实际GDP增长率为-7.6％)、英国(有19年，年均实际GDP增长率为2.4％)和美国(有4年，年均实际GDP增长率为-2.0％)。 正如我们在上文指出的，对新西兰4个年份的排除(在公共债务与GDP之比最高分类中丢失的仅仅是4.5％的观测值)，对计算公共债务与GDP之比最高分类的GDP增长率的平均值产生了重大影响，它把新西兰在公共债务与GDP之比最高分类中的平均增长率从每年2.6％降低到-7.6％。排除新西兰的年份和按国家平等赋权(而不是按国家—年份赋权)联合起来的效果是，在公共债务与GDP之比最高分类中所测算的平均实际GDP增长实质性降低了1.9个百分点。 4.总结：年份、工作表、权重和誊写错误 表3总结了莱因哈特和罗格夫的错误和它们对每一类公共债务与GDP之比平均实际GDP增长率估算值的影响，一些错误有很强的交互效应。表3展示了数据表错误、选择性排除年份以及按国家赋权之间每种可能的相互作用所产生的影响。 对公共债务与GDP之比较低的3个分类而言，这些错误对平均实际GDP增长率的影响相对较小。修改或不修改这些错误，GDP增长率在公共债务与GDP之比最低的分类中都是每年4％左右，在紧挨着的另外2个分类中都是3％左右。
但对公共债务与GDP之比大于90％的分类来说，错误产生的影响是实质性的。例如，当国家平等赋予，把平均14.3％(1/7)的权重分配给公共债务与GDP之比大于90％分类中的新西兰单独一年的观测值的时候，被排除年份对新西兰的影响就被大大扩大了。新西兰在这一年的GDP增长是-7.6％，仅仅与按国家而不是国家—年份赋权相结合的年份排除这一项，就使GDP增长率低估了2个百分点。电子数据表和誊写错误则解释了另外低估的0.4个百分点。总而言之，在公共债务的最高分类中，对比莱因哈特和罗格夫所发布的-0.1％的年均实际GDP增长，实际的数值是2.2％。在公共债务与GDP之比的最高和次高分类之间，实际的差别是1个百分点(即3.2％减2.2％)。换句话说，在把公共债务与GDP之比大于90％分类的平均GDP增长率估算为-0.1％的情况下，莱因哈特和罗格夫夸大了近2.3个百分点或2.5倍的差别。 图1展示了用所有国家—年份数据按公共债务与GDP之比进行分类绘制的连续实际GDP增长率。在该图中，莱因哈特和罗格夫估算的实际GDP增长中值的错误，在公共债务与GDP之比三个较低分类里的相对无关紧要，而在大于90％分类中则有实质性的不同。这幅图还显示出在公共债务与GDP之比的每一个分类中，实际GDP增长的变化性很大。最后，这幅图包含了一个空白正方形，那是新西兰1951年的数据点，仅此一点就解释了莱因哈特和罗格夫在公共债务与GDP之比最高分类中1/7的结果。
图1 根据公共债务与GDP之比，不同类别的实际GDP增长率(数据点为国家—年份，时期为1946～2009年) 注释：对每一类别来说，右边数字是我们重新计算的莱因哈特和罗格夫公布的实际GDP增长率的均值，左边数字是纠正了的实际GDP增长率均值。 三、处于“历史性界限”上的非线性反应 我们修正的结果也为重新考察公共债务与增长之间的非线性关系提供了一个机会。莱因哈特和罗格夫断言：“当债务增长趋于历史性界线的时候，增长对债务的非线性反应(nonlinear response)令人想起一篇论文所展示的‘债务难耐(debt intolerance)’现象。”(13) 我们改正后的公共债务与GDP之比每一分类的中值，对非线性反应的辨识问题——这是莱因哈特和罗格夫发现的一个重要组成部分——提出了质疑。我们用了多个方法探究这个问题。首先，我们又增加了一个额外的公共债务与GDP之比的分类——将公共债务与GDP之比扩展了30个百分点，即增加了90％～120％和大于120％这2个分类。图2显示了扩展的结果。对公共债务与GDP之比为90％～120％的分类而言，平均实际GDP的增长完全不是一个转折，而是2.4％，合理地接近公共债务与GDP之比为60％～90％分类的3.2％的GDP增长。在新的120％和150％两种分类之间，GDP增长都低于1.6％，但不存在非线性的陡峭下跌。同样重要的是，正如图2所示，在公共债务与GDP之比的每一个分类中，实际GDP增长的变化都是巨大的。
图2 根据公共债务与GDP之比，经过扩展的不同类别的实际GDP增长率(数据点为国家—年份，时期为1946～2099年) 注：图中每一类别黑点旁的数字是实际GDP增长率的均值。 数据来源：作者根据莱因哈特和罗格夫的数据表计算。 在图3中，我们展示了一个按公共债务与GDP之比绘制的所有国家年份的连续实际GDP增长散点图，还包含一个局部拟合回归函数。(14)显然，在公共债务与GDP之比为90％附近的任何一个维度上，都没有特别的分界线或非线性。正如从散点图中的分布点和渐宽至90％的增长均值的置信区间所看到的，在70％～120％之间，数据渐渐稀少。更一般的，在公共债务的各个水平上，GDP增长的宽广范围都是显而易见的。
图3 实际GDP增长率与公共债务和GDP之比(所有国家—年份的观测值,时期是1946～2009年) 注：关于回归线请参见脚注。阴影部分是实际GDP增长的95％置信区间。 数据来源：作者根据莱因哈特和罗格夫的数据表计算。 最后，散点图确实暗示了在这个关系中存在着一个非线性，但它发生在公共债务与GDP之比从0～30％的变化上。这与莱因哈特和罗格夫所宣称的“显然，在公共债务达到90％的临界值之前，债务与增长之间没有明显的联系”是矛盾的。(15)当债务与GDP之比为0时，平均增长几乎是5％；到30％的时候，它已经下降到稍高于3％。在债务与GDP之比的一个很宽的值域内，平均GDP增长和公共债务与GDP之比的关系相对平缓。当公共债务与GDP之比在38％～117％区间时，我们无法拒绝平均实际GDP增长率为3％的原假设。 我们在表4展示了按公共债务与GDP之比的分类对实际GDP增长进行的回归分析。两个栏目的第1行都显著且实质地证实，与公共债务与GDP之比的其他分类相比，公共债务与GDP之比最低的0～30％分类都有更高的增长率。(16)结果显示在其他分类间存在着适度差别。
在第1栏，公共债务与GDP之比大于90％分类的平均GDP增长比公共债务与GDP之比为30％～60％和60％～90％的分类低1个百分点。在第2栏，公共债务与GDP之比大于120％分类的平均GDP的增长，大大低于公共债务与GDP之比为30％～60％和60％～90％分类的GDP增长。但在第2栏，包括新增的公共债务与GDP之比大于120％的分类在内，30％～60％、60％～90％和90％～120％分类的平均GDP增长都没有统计学上的差别。对该假设——即相对于30％～60％的分类，60％～90％以及90％～120％分类的差异都为0——进行的F检验不能被拒绝(p值为0.11)。简言之，回归结果显示，在GDP增长与公共债务之间确实存在着一个非线性关系——它处在公共债务水平0～30％之间的GDP增长率上。结果还显示，当公共债务与GDP之比增加趋于120％时，平均GDP增长在某种程度上逐渐降低，但没有显著的转折点。 因此，公共债务水平和GDP增长率之间的非线性关系不在莱因哈特和罗格夫所确定的公共债务与GDP之比为90％的附近，即非线性不在当前美国和欧洲政策争论所关注的公共债务与GDP之比的数值范围之内。 我们对数据时期进行二次取样，根据公共债务分类检查平均实际GDP增长，以进一步探讨结果的历史特殊性。表5展示了1950～2009年、1960～2009年、1970～2009年、1980～2009年、1990～2009年和2000～2009年的结果。我们看到，就公共债务与GDP之比最低的分类而言，较高的GDP增长率在最近的更短时期大受侵蚀。因此，在最低的、公共债务与GDP之比为0～30％的分类中，GDP增长从1950～2009年样本的年均4.1％下降到1980～2009年样本的年均2.5％。中间两个公共债务与GDP之比分类的增长也显著恶化。对近年的有限样本而言，平均下降了1个百分点还多。相反，在公共债务与GDP之比的最高分类中，平均增速在所有的样本年份都相当稳定，自始至终保持在每年2％的0.3个百分点之内。在最近年份中，公共债务与GDP之比最高的大于90％分类的实际GDP增长已优于紧挨着的最高分类的GDP增长。
这些模式提示我们两点结论：第一，即使在最低债务国家—年份和较高债务国家—年份间存在着明显的非线性，但它也只是一种特殊的历史模式，而不是一个适用于所有时期的稳健结果；第二，公共债务和GDP增长间的联系与早些年的样本相比，在最近年份弱化了。 四、结论 莱因哈特和罗格夫的发现的影响力来自它直截了当地以直观方式使用数据，构建一种描绘一系列国家经济体公共债务与GDP增长之间关系的典型事实。这种值得赞赏的努力尽管清晰明了，但莱因哈特和罗格夫却在得出公共债务与GDP之比超过90％的国家将会在GDP增长上经历严重衰退的结论性问题上犯了严重错误。(17)已确认的莱因哈特和罗格夫所犯的关键性错误包括电子数据表错误、遗漏可得数据、赋权和誊写，它们降低了公共债务较高分类中这些国家被估算的平均GDP增长。那些错误的全面展开，将公共债务水平较高国家的平均GDP增长率适度下降的事实转化成了一幅较高公共债务率必然导致GDP增长剧烈下降的错误图景。而且，正如我们所展示的，在莱因哈特和罗格夫所考察的20个发达经济体中，在公共债务的每一水平上，GDP增长的绩效都存在着一个很宽的范围。 莱因哈特和罗格夫不正确的典型事实，是导致他们确信“传统债务管理问题应是公共政策考虑的首要问题”的本质原因。特别地，莱因哈特和罗格夫的发现已成为支持紧缩政治的知识堡垒。因此，莱因哈特和罗格夫的发现是错误的这一事实，应该引领我们重新评价美国和欧洲的紧缩政策议程本身。
本文作者感谢Arindrajit Dube和Stephen A.Marglin为本文提出了宝贵意见。本文是马萨诸塞大学阿默斯特分校政治经济学研究中心的工作论文。本文翻译经过了作者授权。本文译者感谢刘涛雄教授在计量经济学相关译文中提供的宝贵建议和帮助。 注释： ①以下莱因哈特和罗格夫的文章均指这两篇：Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"Growth in a Time of Debt",American Economic Review:Papers & Praceedings,no.100(2010); Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"Growth in a Time of Debt",Working Paper 15639,2010,National Bureau of Economic Research. ②Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"Growth in a Time of Debt",American Economic Review:Papers & Proceedings,no.100(2010),p.573. ③“国家—年份”的意思是某一年的某一个国家构成一个观测值——译者注。 ④Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"Growth in a Time of Debt",American Econmic Review:Papers & Proceedings,no.100(2010),p.578. ⑤Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"A Decade of Debt",CEPR Discussion Papers 8310,2011,C.E.P.R.Discussion Papers. ⑥http://www.reinhartandrogoff.com/related-research/growth-in-time-of-debt-featured-in(visited7 April 2013. ⑦一项对莱因哈特和罗格夫“债务中的增长”所做的研究在2013年4月7日以“author：rogoff-author：reinhart”为检索项在“谷歌学者”得到538条结果。 ⑧Ryan,P.,"The Path to Prosperity:A Blueprint for American Renewal",Fiscal Year 2013 Budget Resolution,2013,House Budget Committee,http://budget.house.gov/uploadedfiles/pathtoprosperity2013.pdf,p.78. ⑨见http://www.reinhartandrogoff.com/data/browse-by-topic/topics/9/和http://www.reinhartandrogoff.com/data/browse-by-topic/topics/16/。 ⑩所有这些个案都会对公共债务与GDP之比最高分类的观察结果起作用。与这些被排除的数据相反，美国所有的这些较早年份的数据都被包括在内，它们对公共债务与GDP之比最高分类的4个观察值都起了作用。美国的数据序列包括Irons and Bivens(2010)细致讨论过的与“二战”后军人复员相关的GDP剧烈下降。1946年，美国的公共债务与GDP之比是121.3％，经济收缩达到10.9％。在1946～2009年的被研究时段中，美国正好有4年——1946～1949年——的公共债务与GDP之比高于90％。这些年的增长分别为-10.9、-0.9、4.4和0.5。更细致的讨论见Irons and Bivens(2010)。 (11)莱因哈特和罗格夫对第30～44行而不是第30～49行的单元格求平均值。 (12)存把特定国家数据表中的一国平均值转至求和表格的时候，一个明显的誊写错误将新西兰在公共债务与GDP之比最高分类中的年均增长从每年7.6降到了-7.9。 (13)Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"Growth in a Time of Debt",American Economic Review:Papers & Proceedings,no.100(2010),p.577. (14)局部平滑回归函数用R语言mgcv软件包广义加性模型综合平滑估算法得出，平滑参数用默认的交叉验证法选出，替代性方法如loess和平滑参数法都产生了本质类似的结果。 (15)Reinhart,C.M.and Rogoff,K.S.,"Growth in a Time of Debt",American Economic Review:Papers & Proceedings,no.100(2010),p.575. (16)1946～2009年间，美国和英国都不曾在债务与GDP之比为0～30％的范围出现。426个国家—年份中的121个公共债务与GDP之比最低的类别中，其构成是德国(48)、日本(22)、以及挪威(51)。它们是一些特殊的案例(2个特定历史条件下的“增长奇迹”和一个石油生产国)，因而，对公共债务管理及欧、美今天的增长所能提供的经验教训是有限的。 (17)对计量经济学家而言，从莱因哈特和罗格夫问题得到的一个教训是可重复代码相对于工作表单的优点。我们感谢莱因哈特和罗格夫分享他们的工作数据表，我们将在自己的网站制作我们自己简化版的、重做莱因哈特和罗格夫工作所需的电子数据表和R代码，并公布改正了的结果。
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