一道解析几何题解法优化的过程，本文主要内容关键词为：解析几何论文,题解论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的缘起
在解解析几何综合问题时，方法是否得当，常常是问题能否解决的主要原因。在解题时学生常常顺题而解，采用思路易得、运算较繁的方法，在繁杂的“死算”中越陷越深，无果而终。如果进行有效的引导，教会学生自己优化解法呢？笔者在教学中发现，顺题而解并不是无可作为，对学生已有解决的分析和改善可以引导学生快速找到优化的切入口实现解法优化。以下笔者摘录教学的片段和大家共同探讨。
图1
本题难度接近高考，考察的是解析几何中的典型方法和基本技能，入口宽，方法多，教学过程如下。
二、课堂教学片段
1.经历运算的苦恼，对方法进行反思
教师出示问题，请同学快速作答，因为题意很清楚，学生下手很快，但是表情不是很轻松，教师巡视。
师：（十五分钟以后）大部分同学都有了自己的想法，但是并不是都有结果，（同学点头），现在请你谈一谈自己的想法并展示你的做法。
生1：（实物投影展示自己的解答过程）我的解法如下：
这种办法引起了很多同学的赞同。不少人都在点头，更多的人在感叹运算太繁，不容易做到底。
师：大多数同学都采用了上述方法展开运算，我们已经深有感触，有思路，但是算不下去。现在请反思一下解题过程，看看什么地方导致了运算复杂？如何改进。
经过一段时间的讨论，同学们总体上形成了以下三种意见，运算繁杂的第一个原因是参数过多，容易引起消参不易，与其在运算中不断地消参，不如减少设元的个数。其次是运算过程中点在双曲线上的条件可以整体代入，再次是重要条件OA⊥OB没有转化使用好，方法太被动，造成运算繁杂。
2.解法优化的过程
师：以上同学们经历了运算的苦恼，感受到了优化解法的必要，通过对自己解法的分析，我们看到了希望和方向，现在请你对上述解法进行优化。
(1)运用减元思想简化运算
生3：（十几分钟以后）上述求解过程中涉及A、B两点的坐标共四个参数，参数太多，不利于运算。所以我考虑一开始就把参数的个数减少到最少，设直线OA的斜率是k，结合OA⊥OB，则直线OB的斜率是
，用参数K表示动点A、B的坐标，达到简化运算的目的。
我的解法如下（并展示投影）：
师：解析几何中运算的繁简很大程度上取决于参数的个数，往往参数的个数越少，越利于运算的展开和简化，“好的开头是成功的一半”所以合理设参是合理运算的关键一步。
(2)运用设而不求，整体代入方法优化运算
生4：我觉得分别表达A、B两点的坐标太复杂，可以整体代入，考虑到点在双曲线上，满足曲线的方程
，用设而不求，整体代入，可以简化运算。
我的解法如下（并展示投影）：
师：在解答解析几何问题的时候，常常涉及到曲线和曲线的交点，若要求交点，则解答较繁，若能设而不求，利用变量之间满足的关系整体代入，则能使运算简捷很多。
(3)运用平面几何的知识转化运算
生5：我是看到OA⊥OB没有用好，想用平面几何转化，本题中由OA⊥OB可以联想直角三角形的性质，由直角三角形的面积相等把求
转化成求OP的长。
我的解法如下（并展示投影）：
师：平面几何是解析几何的基础，利用平面几何的知识寻找几何量之间的关系实现形对数的作用，往往能简化运算。
(4)运用三角换元协助运算
生6：我也觉得OA⊥OB是这个题目的关键，考虑到直线OA、OB都过原点，又OA⊥OB，得∠AOB=90°联想到圆的参数方程，利用三角换元把题中的参数用三角函数表示，结合三角函数之间的关系简化运算。
我的解法如下（并展示投影）：
师：在解析几何中，遇到过原点的直线与曲线相交的问题时，适当的选择三角参数可以使解题过程和运算得到简化，三角换元经常与圆、椭圆、双曲线、抛物线等的参数方程结合使用，可以大大简化运算。
三、教学反思、启示
面对具体问题，当学生的思路执行不下去时，教师要灵活选择教学方式帮助其分析原因，从不同的角度去研究问题，发现原来思维模式中的不足，探索出新的解题途径。
问题的每一种解法都是一个思维的结果，然而教师往往忽视思维形成的过程，把解题过程直接抛给学生，学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者，离开了老师学生还是不知道该如何做。在教学中，教师可以引导学生自己比较与评价不同的思路，并进一步想一想是如何想到的？这种解法是否还可以优化？不同解法中哪一种更体现本质？有没有一般的结论？在评价和借鉴中形成想法，学会思考。