解排列组合问题的利器之一:“隔板法”论文_赵善辉

解排列组合问题的利器之一:“隔板法”论文_赵善辉

赵善辉(山东省齐河县职业中专 山东 德州 251114)

排列、组合是历年对口高考必考内容之一,它联系实际,生动有趣,题型多样,思路灵活。教材中出现的解决这类问题常见的方法有插空法、捆绑法、排除法等,本文在这里介绍教材里没有出现的一种方法——隔板法。

隔板法可解决相同元素的分配问题,在相同元素之间插入隔板来达到分配的目的,它强调的是分配之后每组元素的个数,而与每一组包含哪几个元素无关。

【例1】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校,每所学校至少一个,有多少种不同的分法?

解析:可把8个相同的篮球排成一列,8个篮球中间有7个空隙(不包括两端),用3个隔板分别插在7个空隙中,把8个篮球分成4组,例如OOIOOOIOIOO依次分配给甲乙丙丁四所学校的篮球数为2、3、1、2,所以每一种分隔法都对应了一种分法,于是分法种数为C73=35。

上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数,方程的一组解(x1,x2,x3,x4)对应一种分配方案,有8个1排成一列,中间有7个空隙(不包括两端),7个空隙中选出3个分别插入3个“+”,8个1被分成4组,每种插入方法对应着方程的一个解,此方程正整数解的个数为 C73=35。

【例2】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校,有多少种不同的分法?

解析:设分给甲乙丙丁四所学校的篮球数分别为x1、x2、x3、x4,方程x1+x2+x3+x4=8(x1∈N,x2∈N, x3∈N,x4∈N)解的个数即为分配方案的种数,(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=8+1+1+1+1=12。

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设x1+1=y1,x2+1=y2,x3+1=y3,x4+1=y4,

y1+y2+y3+y4=12 (y1∈N,y2∈N,y3∈N,y4∈N)

两个方程解的个数相同,由【例1】中的方法知,第二年方程的解有C113=165个,方程x1+x2+x3+x4=8(x1∈N,x2∈N,x3∈N,x4∈N)解的个数为C113=165,所以有165种分法。

可用借球法这样解释:本题中有的学校可能没分到球,先借4个球分别给4个学校,以上问题变成了:12个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校,每所学校至少一个,有多少种不同的分法?用隔板法可得有C113=165种分配方案。

隔板法在解题过程中带有一定的格式化、程序化,可使解题过程简单明了、快捷准确,但任何一种方法都不是包治百病的灵药,在解决具体问题时还应灵活掌握,各种方法综合运用。

以下几题,同学们可小试牛刀。

练习:(1)把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?

A.190B.171C.153D.19

(2)(a+b+c+d)10的展开式中共有多少项?

(3)在所有的三位数中,各位数字之和是19的数共有多少个?

答案:(1)B(2)C143=364(3)C102=45

【分析】三位数的数字和等于19,这个三位数的三个数字不可能有0。可以想象成19个1排成一排,中间插2个木板,分成三部分,这三部分的和肯定等于19。第一部分是百位上的数字,第二部分是十位上的数字,第三部分是个位上的数字。但是每一部分有可能大于9,不能作为一个三位数的某一个位上的数字,找一个新的三位数,新三位数的每一位加原来三位数的对应位的数字都等于10(百位数字加百位数字,十位数字加十位数字,个位数字加个位数字)。新三位数和老三位数是一一对应的,有多少个这样的新三位数就有多少个这样的老三位数。新三位数的数字和等于30-19=11,可以用“隔板法”,就不会出现上面的问题了。

论文作者:赵善辉

论文发表刊物:《职业技术教育》2013年第10期供稿

论文发表时间:2014-1-20

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