随风潜入夜 润物细无声——从新课程视角管窥高中数学隐性课程及其开发，本文主要内容关键词为：课程论文,隐性论文,随风论文,视角论文,高中数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
高中数学的教学已经发生了质的变化，数学教学已经不是机械化的解题教学，而是通过“随风潜入夜，润物细无声”式的教学模式让学生畅游在数学浩瀚的海洋中的同时，了解数学知识产生的背景，数学知识产生的整个来龙去脉，数学知识中隐含着的火热的思考，数学中重要而又神奇的思维方式，以及数学学习为学生带来的观念上的改变、精神上的享受等等。诸如此类的这些我们可以将其归入到高中数学隐性课程的范畴。一般来讲，隐性课程是学校通过教育环境（包括物质的、文化的和社会关系结构的）有意或者无意地传递给学生的非公开性教育经验。就数学学科而言，既有学术性又有非学术性的隐性课程因素，两者对数学教学均有非常重要的意义。
一、学术性隐性课程因素对数学教学的影响
学生从学校隐性文化中所感受、习得的涉及认知领域的知识性的内容，具有学术的性质，这在数学教学中得到充分的体现。数学教学中学术性隐性课程因素一般涉及数学知识内容，涉及对于数学及其学习的认知，包括对数学本质的认识、数学思维的方式等。
1.增进学生对数学本质的认识
对于数学本质的认识，反映一个人的数学观念，它属于世界观的一部分，也体现了学生的数学认知结构特点。不同的数学观其实反映了数学不同侧面的本质特点。由于教师教学形式、内容处理、组织方式的不同，学生在对数学本质的认识方面，受到了教师的深刻影响，而这些影响往往是潜移默化的、隐蔽的和间接的。
“合情推理”是高中数学中新增加的内容，为什么要新增加这块内容，笔者认为其中的原因之一应该是，正确的数学观对于数学研究方法，对于培养具有创新思想的学生将起到重要的作用。数学观与方法论具有一致性，也就是说，凡是主张数学是一门演绎科学的人（即数学演绎论者），在数学的研究和教育上总是重公理化方法或演绎方法而轻合情推理方法。同样，凡是主张数学是一门经验科学的人（即数学经验论者），在数学的研究和教育上总是重合情推理方法而轻公理化方法。只有认为数学是一门经验性与演绎性辩证统一的科学的人，才有可能正确认识和处理演绎推理方法和合情推理方法的辩证关系。美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚关于数学方法论的著作备受称赞和广泛影响，就是他认识到数学性质的经验性与演绎性的辩证关系，并且正确地处理了与其数学观之相应的论证推理与合情推理的关系。波利亚曾说过：“数学被人看做是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料。然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的。在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是认证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。有两种推理：论证推理和合情推理，它们相互之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的。”这段话充分表达了波利亚的辩证唯物主义的数学观及其方法论，即数学不仅是一门论证科学，具有演绎性，而且从数学的创造过程来看，它与任何科学知识的创造过程一样，需要通过观察、类比、归纳形成猜想，所以又具有经验性；数学研究的这种二重性质是辩证统一的关系，这种统一性是通过其对应的两种推理方法（论证推理和合情推理）表现出来的。教师在针对“合情推理”这块内容进行教学时，必须既教证明又教猜想，数学教学中必须有猜想的地位。
2.培养学生独特的数学思维方式
数学具有独特的思维方式。在数学教学中，不可否认的是，学生经常能够透过教师讲授的具体数学知识，领会到教师的某种思维方式，这种领悟常常是隐含的、间接的，而且学生需要通过较长时间才能达到。
在数学概念的教学过程中，学生可以透过概念的生成，领悟到形式化数学的魅力。在高中阶段有诸如“函数”“映射”等抽象的形式化定义，让学生在理解的基础上掌握形式化抽象的数学概念还是必要的，毕竟数学是一门讲究形式严谨的学科，但又不可否认的是，我们的教学一定要建立在形式化与非形式化有机结合的基础之上。恩格斯基于对思维领域的共性分析，非常强调数学的极度抽象关于数学需要极度抽象的原因，恩格斯是这样阐述的：“为了对这些形式和关系能够从它们的纯粹状态来进行感觉，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边。”事实也正是如此，如果不从两匹马中抽象出2，不从三头牛中抽象出3，就不会有2+3=5的运算。没有了加法运算，还会有代数吗？关于空间形式也是如此，欧几里得在《几何原本》中定义：“点是没有部分的那种东西，线是没有宽度的长度，面是只有长度和宽度的那种东西。”真是不可理喻：“没有部分的那种东西”是什么东西？这个世界存在“没有宽度的长度”吗？有谁见过“只有长度和宽度的那种东西”吗？但是，没有这种来源于“现实世界空间形式”的极度抽象，还会有几何学吗？我们必须尊重这样的事实，正是依赖于这种极度抽象，才可能产生脱离了内容的数学概念和符号，而这些概念和符号恰恰是进行数学运算和推理的基础，也正是有了这些概念和符号才使得数学的结论具有一般性和应用性，才使得数学有可能成为科学。
在解题教学中，教师通过适当的方式展示、流露形成解题思路和实施解题的整个过程，许多学生就能够从中悟出数学解题的思维活动方式，学会如何寻找数学解题方法。学音乐的人需要有乐感，学语言的人需要有语感，打球的人需要有球感。任何技艺的精湛，其实都离不开实践的感悟。学习数学同样需要有良好的数学感觉。所谓数学感觉，“主要指对数量的大小、图形的对称……一般地，指对研究对象的内在规律或内在联系的掌握程度”。解题时的“题感”，也是数学感觉的一个反映。我们要重视“题感”在解题实践中的重要性。“思路，其实是说不清的。你必须亲自解题才能体会到这一点，解题时迈进的每一步，不完全靠逻辑，更多的是靠你的感觉。”经过反复的探索，题目做得越纯熟，“题感”就越好。有了良好的“题感”，那么你便可以“大胆地跟着感觉走”。事实上，解题大师的权威性，并不一定在于他们占有多少可以传递的知识，更主要地在于他们拥有难以言表的良好“题感”。通常我们所说的解题经验，其实多半指的就是一种直觉性的“题感”。依照迈克尔·波兰尼的个人知识理论，通过长久的学习和实践，可以生成大量的默会知识，这些知识带有较强的个人色彩，难以清晰地表述。这里所谓的“默会知识”，就主要包含了感觉的成分。在数学解题领域，波利亚曾指出：“天才能在不知道有规则的情况下按照规则行事。专家能在不想到规则时按照规则行事，但只要需要，他就能讲出应用于该情况的规则。”实际上，包括“题感”在内的默会知识，更多的默会知识也许仅仅是一种“感觉”，很难通过传递被人掌握，主要在于解题行动中用心去体悟。如同学骑自行车，如何拐弯、如何用力捏闸，只能通过具体实践去揣摩。
二、非学术性隐性课程因素对数学教学的影响
隐性课程的概念更多地出自人文因素的产生而备受关注，国内外学者均有倾向于隐性课程具有非学术性的观点，认为学生在隐性课程中所习得的是“价值、态度、信仰等非学术性的学识”。新课程改革将数学课程的目标细化为知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。这里的“情感态度和价值观”就是以间接的、内隐的方式呈现在学生学习数学过程中的隐性课程，是隐性课程中的非学术性成分，在数学新课改中，得到了前所未有的重视，它被认为是“关系到了数学课堂中素质教育全面落实的重大问题”。情感态度和价值观在数学教学中主要是对数学科学精神的追求、对学习数学过程中非智力因素的重视以及培养学生的爱国主义精神和辩证唯物主义思想等。
1.内化学生的数学科学精神
数学的产生、发展与成熟，经历了很长的过程，其中有许许多多故事，这些故事是人写就的，也是人的种种精神写就的，这就是数学精神，它具有丰富的内容。我们知道，在数学研究过程中，经常会遇到许多意想不到的问题与困难，数学科学精神就体现为人们面对这些问题和困难所表现出来的心理特征，面对的问题与困难不同，表现的心理也有所不同，在这个过程中，需要对自然和社会现象中数量关系与空间形式形成特有的好奇心，需要为追求（数学）真理不怕困难、刻苦钻研、锲而不舍、独立思考的精神，需要实事求是的科学态度和理性精神，还需要相互之间团结合作以及打破常规、勇于创新的精神。对于学生学习而言，这些科学精神的方方面面可以通过数学教学活动体现出来，但显然，数学科学精神的培养不是通过“说教”或者“灌输”，而是学生在一定的教学环境中以间接、内隐甚至可能是在无明确意识状态下获得，因而它是非学术性数学隐性课程的一个方面。
匈牙利数学家波约尔号称“悲情数学家”，大约在1820年左右还在大学就读的波约尔开始对欧几里得《几何原本》的第五公设进行研究。第五公设也叫平行公设，它的内容是：若一直线与另外两条直线相交且使一侧的内角和小于两个直角，则两条直线在该侧延长后必相交。这个公设不象其他公设那样简单明了。因此，自《几何原本》诞生之日起，人们就开始了对第五公设的争议和研究。波约尔于1823年写成了著名论文《空间绝对几何学》，时年21岁，他兴奋的给父亲发出信函：“我已从乌有创造了另一个全新的世界。”但波约尔的一腔热情换来的却是父亲的冷淡，因为波约尔突破传统的异端想法让保守的父亲难以接受。后来父亲将波约尔的工作寄给了大数学家高斯，不料高斯的回信也是一瓢凉水，原因是，高斯在青年时代也研究过平行公设问题，但是高斯没有勇气把它公之于众，害怕遭受到嘲弄与打击，所以他在给波约尔父亲的回信中说：“称赞他就等于称赞我自己。整篇文章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30到35年前的思考不谋而合。”波约尔思想深邃，又不囿于传统，是个不可限量的年轻人，然而一系列打击让这个充满活力的年轻人变得极为消沉。从此之后，波约尔再没做非欧几何方面的进一步研究，他不再发表数学论文。这对数学界来说，不能不说是一个损失。然而与他几乎同时创立非欧几何的俄国数学家罗巴切夫斯基，在备受讥笑、漫骂的情况下，还依然坚守真理，为完善和发展非欧几何贡献了他的一生。非欧几何的三位创造者生前都没有享受到这项成果给他们带来的荣誉，因为非欧几何最终被人们所承认是其创立者死后的事情。我们可以看到，在对待非欧几何发现的态度上，高斯、波约尔、罗巴切夫斯基三人风格迥然不同——保守、消极、积极。
2.积极调动学生数学学习中的一些非认知因素
非认知因素对于学生成长具有至关重要的影响，一方面，它可以促进学生学习科学文化知识，提高学习的效率，另一方面，它本身是学生综合素质的重要组成部分，也是各学科教学（包括数学教学）的重要目标。无数事实证明，良好的非认知因素对人一生的意义极其深远，在某些情况下它甚至成为决定人能否取得成功的关键因素。数学学习的非认知因素主要包括数学学习动机、学习兴趣、学习情感、学习意志、学习态度、学习习惯等，实践证明，这些因素的培养，教师直接的“教导”“要求”是很难奏效的，需要教师通过适当的教学方式让学生自己去领会才有实际效果。
笔者曾经开设“分形几何”的研究性学习课程，在学习过程中，学生数学学习的非认知因素被良好的调动了起来。分形几何给学生带来的是一种全新的几何观念。让学生学习分形几何的初步知识，帮助他们实现从欧氏几何领域向分形几何领域的认知的初步跨越，创新思维必将得到很好的培养。下面是学习中的一部分内容展示。
(1)画分形树（如图1所示）
①画树干；②画两个树枝，注意与树干的角度是120°，长度是树干的
；③继续在树枝上画小树枝，要求同上，直到树枝太短无法继续为止。
这样我们就得到了一棵分形树。从这棵树我们可以看到分形结构的特点：每一个树枝都和整棵树相似，整棵树可以看做是另一棵更大的树的一个树枝；分形树的各个部分之间只有大小的区别，并没有形状上的区别。
引导学生讨论下列问题：①新的树枝的数量
；②全部树枝的数量
；③新的树枝的长度
；④全部树枝的长度(n+1)，这里n是实施的次数；⑤设计你自己的分形树。
(2)画雪花曲线（如图2所示）
引导学生讨论下列问题：①等边三角形的边长
；②雪花的边的数量
；③雪花的周长
；④当n→∞时，雪花曲线的周长和面积将如何变化？这里n同上。事实上，当n→∞时，雪花曲线的周长也趋于无穷大，但是雪花曲线的面积是有限的，我们可以用一个正方形将雪花曲线完全围住，尽管雪花曲线的周长趋于无穷大，但雪花曲线永远也不会超出这个正方形。⑤改变雪花曲线的种子，设计一条你自己的曲线。
形形色色、千姿百态的分形问题，透溢出一种美的情趣，使学生在学习过程中感受到美的熏陶。一旦领悟了数学美，数学再也不是枯燥无味的了，它能愉悦人的身心，陶冶人的情趣。当我们画出一个美的图形，构造出一个美的方程，制作出一个美的几何体时，难道数学不是一门艺术吗？如果教师在教学中能引导学生走进数学美的大花园，教给他们赏析数学美的能力，他们一定会在数学的花园里流连忘返的。
3.深化学生的爱国主义精神和辩证唯物主义思想
教学永远具有教育性，这是教学论中的一个基本假设，这里的“教育性”主要表现为隐性课程的力量。《普通高中数学课程标准（实验）》对“算法部分”进行说明时，突出强调“需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想”。吴文俊先生曾经说过“我们崇拜中国传统数学，决非泥古迷古、为古而古。复古是没有出路的。我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌，也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识，我们主要的也是真正的目的，是在于古为今用。”算法教学中蕴涵着丰富的数学史教育价值，作为新时代的高中数学教师是有必要了解这一点的。
笔者建议我们要以《普通高中数学课程标准（实验）》中“算法初步”的内容与要求为指导，对中国古代数学的优秀算法传统进行介绍、分析，比如著名的求最大公约数的算法（更相减损术）和求一元n次多项式值的算法（秦九韶算法）；通过中国古代优秀的算法案例，反映中国古代数学对世界数学发展的贡献，扭转一些对中国古代数学的错误认识和偏见，帮助学生正确认识、正确评价中国古代数学在数学发展史上的作用；通过中国古代数学优秀的算法思想，开阔思路、启迪思维，汲取古代算法中对数学教学的有益经验。与西方相比，中算理论具有高度概括与精炼的特征，中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算的步骤之中，起到“不言而喻，不证自明”的作用，可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精巧的理论建筑物。因此，中算理论可以说是一种“纲目结构”：目是组成理论之网的眼孔；纲是联结细目的总绳。以术为目，以率为纲，即是依算法划分理论单元，而用基本的数量关系把它们连接成一个整体。纲举目张，只有抓住贯串其中的基本理论与原理，才能看清算法的来龙去脉。
三、结束语
隐性课程的影响是无时无处不在的，其内容极其丰富，而隐性课程的接受机制往往又是无意识心理，学生是通过观察（更多的是无意观察）、感悟、体验而习得，因此，隐性课程建设需要具备一些条件，那就是：“整体性条件、互容性条件、情感性条件、知识性条件和个性鲜明性条件”，数学教学中的隐性课程开发，就是要求教师立足数学课堂，结合数学学科特点，积极创造各种条件，使数学教学产生更大的隐性教育作用。
作为新一代的数学教师应该努力开发隐性课程，做到转变教学观念，增强隐性课程意识；构建良好氛围，营造和谐情感；加强数学教学的启发性和探究性及创新性；追求数学教学的艺术性；让数学思想和数学思维贯穿整个教学过程。此外，教学环境、教学组织、教学方法的选择和运用、师生互动关系、教学效果的测评等都隐藏着无数的教育影响因素，润物无声地陶冶着学生的心灵，像一只无形的手操纵着学生的言行和思维，同时影响着学生的情感态度和价值观念，对此，我们应该有深入的认识，并在数学教学实践中尽量加以开发，从而促进素质教育在数学教学中得以真正体现。
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