基于数学史视角的球体积教学设计思考，本文主要内容关键词为：球体论文,教学设计论文,视角论文,数学史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 球体积公式是高中数学基本内容，不同的推导方法常常会达到不同的教育效果.有的教师通过切片求极限的方法得出球体积公式，培养了学生极限思想.有的教师利用球面小锥体结合球表面积公式推得球体积公式，培养了学生近似求和的思想.有的教师借此机会探寻古今中外的方法，向学生展示人类智慧的成果.比如，教师通过截面原理（祖暅原理）的引入，验证得出半球体积等于同底等高圆柱体挖去同底等高圆锥体的体积（公理法）.这种处理方式尽管介绍了中国古代的重要原理，却舍弃了知识生动的发生发展过程，未能充分展现其教学功能和文化功能.若能进一步引入中国古代计算球体积的重要立体——牟合方盖，利用牟合方盖计算球体积，不仅可以让学生经历古人“以方套圆，化圆为方”的求解历程，拓展学生的思维，还是一次增强民族自豪感的文化教育和爱国教育.有教师尝试向学生讲授上述各种推导方法，从课后学生的问卷调查[1]来看，牟合方盖法“太深奥，难以理解，自己根本不可能想到，即使勉强看懂了，也无法掌握”.何以古人一千多年前的推导方法不能为学生接受？学生在理解上遇到哪些困难？只有知道了这些，教师才能更好地进行针对性的教学设计. 二、牟合方盖法计算球体积的教学难点及其对策 有学者将数学史融入数学教学分为四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式.[2]对于“深奥，难以理解”的牟合方盖法，教师首先应该理解史料，并按照学生的数学实际找到教学中的难点，才能进行创造性的教学设计，将数学史料更好地融入教学，最大化地发挥其教育功能. 难点l：构造牟合方盖的缘由 球体积的计算是古代几何学中的一个难题.为了获得球体积的精确公式，东西方都竭尽了好几代人的智慧，利用当时所有的科学成果，创造出许多重要的数学方法和精巧的几何构造物.在西方有古希腊阿基米德的力学方法和17世纪意大利人卡瓦列利的不可分量方法，而在东方则有我国刘徽所构造的牟合方盖.牟合方盖不是自然无形体的摹写，而是为论证的需要构造出来的特殊形状的几何体.因而，它的发明是以深刻的数学思想与方法为指导的，此数学思想即截面原理，就是我们现在所说的“祖暅原理”. 古人对截面原理早有深刻理解.从《九章算术》“商功章”各求积术的编排顺序来看，作者有意将所有圆体安排在相应方体之后，即按方堢壔（方柱体）与圆堢壔（圆柱体）、方亭（方台）与圆亭（圆台）、方锥与圆锥的顺序叙述.古人先计算方体体积，进而利用截面原理，通过“方体体积：圆体体积=截面方形面积：截面圆面积”得出圆体体积. 类似地，在计算球体积时，古人仍试图利用截面原理，只是还缺一个重要的辅助工具，即球的方体“外套”.这个外套的体积较易求得，进而利用截面积之比求得球体积. 刘徽之前的古人使用的球外套为圆柱，“圆困为方率，浑为圆率”，而圆柱的外套则为正方体（如下页图1，d表示球直径）.按照刘徽推测，古人认为球体积:圆柱体积=圆柱体积:正方体体积=π:4（这里π取近似值3），从而推知球体积
（《九章算术》的《少广》章有所谓的“开立圆术”，即已知球体积，求其直径的方法.开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径.以现代公式表达，即
由此推知
，V代表球体积，d表示球直径）.刘徽指出《九章算术》中的该公式是不正确的，并在“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径.他创造了一个新的立体形——牟合方盖（“方”，指截面为正方形；“盖”，原为白茅编成的覆盖物，后用作器物上的盖子；“牟合方盖”一词可谓语意双关，它既指球的四面切合的方外罩，又指它形似上下结合的两把方伞[3]），并利用牟合方盖来求得球体积.
我们不妨来重温刘徽创造牟合方盖的过程.图1中，圆柱与正方体的截面面积比始终为π：4，按照这种思路给球套的外套也应有这种截面性质.刘徽发现以圆柱套球，圆与外方仍有两面不切合（图2（1）），如要达到四面都切合，则按垂直方向再套上一个圆柱即可，经过一番思考，刘徽终于发明了球的牟合方盖（图2（2）为半个牟合方盖）.
刘徽发明牟合方盖，正是古人“以方套圆，化圆为方”的解题思路，而最终能由方求圆则依赖截面原理这一重要公理.如果教师能在呈现牟合方盖前讲以上这些作为铺垫，学生就能对“为什么要引入牟合方盖”有所体会. 难点2：如何理解抽象的牟合方盖 一般的教学材料中呈现的牟合方盖有两种情形（如图3）：通过图3（1）正方体中两垂直圆柱的公共部分，或者图3（2）中两根垂直的相同圆柱的公共部分，来得出图3（3）中的牟合方盖.无论（1）图还是（2）图，要让学生想象出相交公共部分是（3）都不是一件容易的事情.这时学生就会感觉牟合方盖太抽象，不易理解.有些教师可能会求助于3D多媒体，有些教师可能会求助于实物制作.其实，教师不妨沿用刘徽创造出牟合方盖的思想，即截面以正方形外切圆形，让学生想象牟合方盖的外观.让学生想象一刀一刀平行地切球体，得到一个个大小不同的圆，以圆的外切正方形代替圆，保证这些正方形中心重合，对角线叠合，这样就形成了牟合方盖的外形（这里教师也可以让学生画出牟合方盖的三维图来加深理解）.
经历过这番想象与操作后，再向学生介绍图2和图3，学生更能接受牟合方盖的形象.这里教师需要对学生提出更进一步的要求，以便为计算牟合方盖体积做准备.球内切牟合方盖，相切于哪些部分？教师可通过平面的方圆相切图帮助学生理解，相切部分在牟合方盖的面上，正好是球的两个垂直大圆. 难点3：如何计算牟合方盖的体积 刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于π:4，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于π:4.牟合方盖的体积怎么求呢？最终刘徽没有能够解决，他说“敢不阙疑，以俟能言者”，他提出问题，等待后人来解题.尽管刘徽没有推证出球体积公式，但他为后人指出了解决球体积的正确方向. 两百年后，刘徽的问题终于被祖冲之和他的儿子祖暅解决了.我们来简单回顾他们的解决方法，考虑到牟合方盖的对称性，祖暅计算其1/8体积，将其放于小正方体中考虑（下页图4）.祖暅不直接求1/8牟合方盖体积，转而求小正方体中扣除1/8牟合方盖后的剩余体积.常规说来，剩余立体形状不规则，更不易求.但是祖暅利用截面原理，发现剩余部分体积应等于一个“阳马”（一棱垂直于底面，且底面为正方形的棱锥，下页图5（3）中椎体OABCD即为一个倒置的阳马）的体积，而阳马体积又等于小正方体体积的1/3，从而得出1/8牟合方盖的体积为小正方体体积的2/3. 在讲图4的水平截面之前，教师有必要与学生一起对图4作深入观察.学生应能理解弧AE，AG实则为大圆周长的1/4，AF为牟合方盖的棱的一部分.明确这些之后，教师可与学生一起讨论图6立体的水平截面（见图5）.
三、进一步地反思 教学中引入数学史料可以有多种教学功能，不仅可以拓展学生的视野，激发学习兴趣，而且可以让学生在“再发现”和“再创造”的过程中感悟其中的数学思想及精髓，为锻炼学生思维提供绝佳契机.在经历了古人的探索过程后，教师可进一步引导学生进行反思. 思考一：牟合方盖的体积计算还有其他方法吗 祖暅在计算牟合方盖体积时利用了对称性，首先计算1/8的体积.教师可以鼓励学生对此方法作进一步拓展.能不能首先计算1/4或者1/2的体积呢？如何借助截面原理构造新的立体呢？以1/2牟合方盖（图6（1））为例，设球半径为r，则高h处的截面面积为4
.教师可引导学生运用类比思想，得出形如图6（2）的新立体——与1/2牟合方盖同底等高的柱体挖去一个同底等高的倒方锥.显然，两副图中阴影部分面积相同.进而借助新立体求得1/2牟合方盖的体积.
思考二：球体积公式的推导能否简化 中国古人计算球体积利用了其外套“牟合方盖”间接求得.教师可引导学生简化推导过程，如果不利用牟合方盖，是否可以直接利用截面原理得出球体积公式？考虑半个球体，若球半径为r，截面高为h处的水平截面圆面积为π
，这时构造的新立体截面积等于两圆之差，该新立体为与半球同底等高的圆柱内挖掉一个同底等高的圆锥.这就是我们通常在教科书上看到的推导方法. 经过这样一些步骤的改进，学生不仅可以知晓古人的计算方法，赞叹古人的聪明才智；更能通过自己的智慧改进古人的方法，拓展思维，求简求优. 通过上述推导过程得出球体积公式，相信学生对截面原理会有更深刻地理解，对于中国古代计算球体积过程中的重要创造——牟合方盖的产生及体积计算会有更深入的体会.这里我们只是对牟合方盖法教学中可能遇到的难点进行分析，以期对教师的教学设计有借鉴作用.而合适的教学融入方式，则有待教师作进一步的尝试与探究.
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