董业平 山东省枣庄市市中区永安镇中学 277116
摘 要：为了迅速清点“完成一件事情”所有的不同方法总数，科学的方法就是分类加法计数原理和分步乘法计数原理。分类计数原理与“分类”有关，类与类之间互不相容，用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“步骤”有关，只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事。
关键词：整体把握 理解 区分 步骤
一、整体把握两个计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理共同之处：回答的都是“完成一件事情”所有的不同方法总数问题。两个计数原理的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，类与类之间互不相容，用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“步骤”有关，只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事。
下面从集合运算的角度来认识两个计数原理的内涵。
设：完成一件事的方法的集合是Ｕ，且card（U）=N。
如果完成这件事的方法可区分为互不相同的A、B两类，即A∪B=U, A∩B=φ。若记card（A）=m，card（B）=n，那么N=card（U）=card（A∪B）=card（A）+card（B）=m+n。
如果完成这件事的方法需要分成A、B两个步骤，即U=A×B=｛（a,b）｜a∈A,b∈B｝。
若记card（A）=m，card（B）=n，那么N=card（U）=card（A×B）=card（A）·card（B）=m×n。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
二、如何理解“分类”与“分步”
1.分类：
“完成一件事有两（或n）类不同的方案”，这是对完成这件事的所有方法的一个分类；分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准。一般地，标准不同，分类的结果也不同；一个合理的分类要满足：
（1）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类。
（2）分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。
只有这样，应用分类加法计数原理才能做到“不重不漏”。
2.分步：
“完成一件事需要两（或n）个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法都要分成要两（或n）个步骤。分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准，标准不同，分成的步骤数也不相同。一个合理的分步应当满足：
（1）完成这件事情必需且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各个步骤方法依次串联在一起就得到完成这件事情的一种方法。
（2）做完任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤所选用的方法无关。简而言之，应用分步乘法计数原理才能做到“步骤完整”。
三、如何区分是“分类”还是“分步”
运用两个计数原理时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析计数原则——是“分类”还是“分步”？要明确这一点，只有准确理解什么叫“完成一件事情”。“完成一件事情”是一个比较抽象的概念，它比应用题里的“完成一件工作”“完成一项工程”含义要广泛。排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”“确定一个满足条件的组合”就是这里的“完成一件事情”。
在实际应用中，初学者容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同。例如，在分析问题“从1～9这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数”，人们常常错误地理解为“求满足条件的两位数”。
对于一个具体计数问题，只有把握“完成一件事情”的内涵，才能进一步分析用什么方法完成，是否需要分类与分步完成，这样才能确定到底应该用哪一个计数原理。因此，弄清题意，把握“完成一件事情”，合理地区分“分类”和“分步”，是应用计数原理的关键。
四、运用两个计数原理解题的基本步骤
1.认真审题，弄清题意，把握“完成一件事”含义及基本程序（或环节）。
2.根据“完成一件事”的基本程序（或环节），区分计数原则是“分类”还是“分步”。
3.确定分类的标准及分类的类数，或确定分步的标准及分步的步数。
4.选用相应的计数原理进行计算。
论文作者:董业平
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第305期
论文发表时间:2018/1/16
标签：原理论文; 方法论文; 步骤论文; 这件事论文; 一件事情论文; 两个论文; 一件事论文; 《中小学教育》2018年第305期论文;