摘 要：对于同一随机现象，可以用不同的模型来表达，只要在计算所有基本事件和事件包含的基本事件总数时，保证都在同一个样本空间内考虑。
关键词：古典概型 样本空间 排列组合
古典概型是高中数学概率统计专题中的一个重点问题。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为概率的后续学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。由古典概型的概率公式P(A)=可知，求事件A发生的概率通常分为两步：（1）选取适当的样本空间，使其满足有限、等可能的要求；（2）确定样本空间中的基本事件总个数和事件包含的基本事件数。
多数学生会认为基本事件总个数是容易确定的，不易出错，其实不然，如若未能选取正确的样本空间，会导致计数基本事件总个数和事件包含的基本事件数同时出错。而在样本空间的选取时有时会遇到“基本事件”的相对性问题。笔者十几年来一直在从事高中数学的教学工作，在2007版新课标高一数学的课本中发现了这样一道例题。在人教A版高中数学必修3教科书第三章【例5】。课本原文如下：
【例5】：某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?
课本解答：我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1,2,3,4，不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品。依次不放回从箱中取出2听饮料，得到的两个标记分别记为x和y，则（x,y）表示一次抽取的结果，即基本事件。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆由于是随机抽取，所以抽取到任何基本事件的概率相等。用A表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”，A1表示“仅第一次抽出的是不合格产品”，A2表示“仅第二次抽出的是不合格产品”， A12表示“两次抽出的都是不合格产品”，则A1，A2，A12是互斥事件，且A=A1∪A2∪A12,从而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12)。因为A1中的基本事件的个数为8，A2中的基本事件的个数为8，A12中的基本事件的个数为2，全部基本事件的总数为30，所以P(A)= ＋ ＋ = 。
若列表看基本事件更为直观：全部基本事件的总数为30，事件A包含的基本事件共18个，所以P(A)＝ = 。
对于本题解答的第一步即对本次试验的基本事件的判断，解答给出的“得到的两个标记分别记为x和y，则（x,y）表示一次抽取的结果”显然是将“随机抽出2听”看作是有顺序的，但是学生光看题目的字面意思可能也会很自然地会将试验看做是无序的（一次取两个，大小外观相同，无先后顺序）。若将试验看做是无序的，则该试验的所有基本事件为：全部基本事件的总数为15, 事件A包含的基本事件共9个。所以P(A)= ＝ 。
可以看出，两种解法过程不同，但最终结果相同。解法一的基本事件是有顺序的，解法二的基本事件是无顺序的。应该说两种解法的基本事件是不同的，但在利用公式计算古典概型概率的时候保证了该试验的全部基本事件和事件A包含的基本事件同时按照有序或无序计数，即在一次试验中必须保证任一基本事件取法的计数原理的一致性。所以说两种做法均无问题。
学生在高一阶段学习古典概型这个模块时，是在随机事件的概率之后、几何概型之前,在尚未学习排列组合的情况下教学的。而在后续学习概率的过程中，不论文科还是理科，判断问题是否重复、是否有序是重点，更是难点，特别是判断问题是否有序时学生经常混淆出错。因此个人认为，在教学中，为避免学生产生混淆，在高一阶段，如必修3课本中【例5】这样的例子应讲细讲透，应抓住题中所给的关键词判断是否有序，尽量不要模棱两可，造成学生认知上的混乱。对于【例5】个人认为应做无序处理更为妥当。在【例5】讲解完后可再补充含有无顺序、会否重复问题的例题，让学生辨析以加深理解。
待学生升入高二阶段后，文科学生在概率部分不再学习新的知识点了，而学习了计数原理的理科学生对【例5】也可以如下解：
解法一：认为取样有序，则P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A12）= = 。
解法二：认为取样无序，则P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A12）= = 。
这两种做法其核心步骤依然都是古典概型的概率计算公式P(A)=。只不过是在计算基本事件个数时采用了不同的方法而已。
两种解法的结果相同，但解法是有区别的，两种解法选取的样本空间是不同的，解法一是有序的，使用了排列；而解法二是无序的，使用了组合，但最后还是得出了相同的答案。与前面的例子相同的是，本题的两种解法在计算古典概型概率的时候保证了该试验的全部基本事件和事件A包含的基本事件同时按照有序或无序计数。
参考文献
[1]概率论基础福建师范大学数计学院统计数学教研室，2003，8。
[2]人教A版高中数学必修3教科书.人民教育出版社，2007，2。
[3]吴普林 人教A版高中数学必修3教材分析。
论文作者:林枫
论文发表刊物:《教育学》2019年10月总第193期
论文发表时间:2019/10/12
标签：事件论文; 解法论文; 概率论文; 两种论文; 不合格论文; 古典论文; 样本论文; 《教育学》2019年10月总第193期论文;