投资组合信用风险的测度和优化——基于Copula理论，本文主要内容关键词为：投资组合论文,信用风险论文,理论论文,Copula论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
金融衍生工具的一项重要作用就是以创新的方式管理金融风险中最重要的风险——信用风险。信用风险与一般金融风险不同：它的损益分布具有不对称性，金融领域通常称之为“尖峰厚尾”。厚尾意味着极端事件、尤其是投资组合违约的概率比正态分布时要高出许多。除此之外，信用资产间往往表现为非线性相关，所以传统的皮尔森线性相关系数不足以准确描述信用风险的特点。另外信用风险属于非系统风险，难以量化，数据也较难获取。因此，它的度量远比市场风险的度量困难得多，针对这一问题的研究也就显得尤为珍贵，引得众多学者纷纷投身信用风险的量化研究。
考虑到信用资产损益分布的这些经验特点以及多违约事件模型，越来越多的国外学者都将Copula函数引入到信用风险管理中。Copula这个术语最早由Sklar(1956)提出，用来衡量变量间的非对称、非线性相关，标准描述可以参考Joe(1997)和Nelsen(1998)，Embrechts等(2002)，Frees和Valdez(1998)的专题论文。Cherubini等(20041)综合概括了Copula函数在金融领域的应用[13]。Li(2000)首次将Copula函数应用于信用风险分析，指出：信用度量术(Credit Metrics)通过资产相关性来表示违约相关性的方法和使用Gaussian copula的结果相同，将Copula函数引入组合的信用风险管理，可以更加准确地反映资产间的相关结构，提高模型预测的准确性[4]。Mashal和Zeevi(2002)、Mashal和Naldi(2002)扩展了Li的模型，采用除Gaussian copula之外的其他Copula函数来描述联合违约相关[11]。Meneguzzo和Vecchiato(2002)调查了两个椭圆copula(Gaussian and Student's t-copula)和两个阿基米德copula(Frank and Clayton)在CDOs(collateralized debt obligations)定价方面的能力，发现Gaussian和Student's t-copula在捕捉多元相关时比阿基米德copula更灵活，尤其是Student's t-copula给出的结果更加近似于在实际市场上发现的结果[1]。Mashal、Zeevi(2002)和Breymann等(2003)也得出Student's t-copula能更好地捕捉到相关极值现象，具有双尾相关——上尾和下尾同时相关（Embrechts等，2002），而Gaussian copula在相关系数不等于1时，不存在尾部相关。因此，t-copula能比Gaussian copula生成更多的联合极端事件，较Gaussian copula有更好的拟合能力[11,12,14]。Daul等(2003)证实了groupedt-copula的拟合效果，它是标准t-copula的一种扩展，能更精确地描述风险因素间的相关性p1。Daul等(2003)的研究以及Demarta和McNeil(2004)最近的研究都表明在大量历史风险因素数据下，尤其在风险因素属于不同类型的情况下，grouped t-copula在描述尾部相关方面具有很强的优势[3,15]。
在投资组合的优化方面，传统的方法是使用均值一方差技术和风险值(VaR)。Markowitz的均值—方差模型只描述了收益偏离期望值的程度，没有描述偏离的方向以及证券组合的损失到底有多大。Artzner P.等(1999)的研究表明，VaR数学特性较差，不能体现尾部事件发生时所遭受的平均损失的程度，不满足一致性风险度量，出现尾部损失测量的非充分性[16]。VaR的计算揭示了损失超过它的可能性，但是不能算出具体超过的损失数量。更为重要的是，VaR不能描述风险的分散化特征。针对以上问题，近年来出现了一种新的风险度量方法，即条件风险值CVaR(conditional value at risk)，指组合损失超过VaR的条件均值，反映超额损失的平均水平，易处理且能捕捉到损失分布的关键特点，近似于ES，具有一致性，克服了VaR的不足[17,20]。Mausser和Rosen(1999)已经证明，CVaR的最小化可以很好地降低难以测度的风险指标VaR，节省银行的监管资本田。
本文采用从公开渠道收集到的债券构建投资组合，利用蒙特卡洛模拟生成投资组合的信用损失分布，分别运用四种Copula函数描述信用资产之间的相关结构或者隐含的违约相关结构。鉴于损失情景是每个债务人信用状态的模拟，因此必须生成每个成员直到违约时间的信用状态。在此，本文仅仅考虑两种状态：违约和不违约，忽略信用转移事件发生的可能。在这个二元情景下，为投资组合中所有债务人的违约时间生成蒙特卡洛情景，检验不同Copula函数对投资组合信用风险测度和有效投资组合构成的影响。本文拟估计样本信贷投资组合的几种风险测度，如最大损失(ML)、信用风险值(Credit VaR)和预期短缺ES(expected shortfall)。在投资组合优化方面，采用CVaR，使用由Andersson等(2001)在信用风险背景下所提出的基于情景的模型，通过解决简单的线性规划问题，求出投资组合的最优构成及对应的CVaR[2]。
2 测度投资组合信用风险的指标
以情景为基础，估计信贷投资组合信用风险的程序为：首先用基于Copula的方法，通过蒙特卡洛模拟生成损失分布；然后模拟出每个交易对手方在到期日的信用状态。
3 Copula函数[6,10]
Copula函数可以理解为“相依函数”或者“连接函数”，它是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。传统上我们是在变量呈现正态分布的假设下，考察变量之间的线性相关。而金融时间序列的条件分布多呈现时变、偏斜、尖峰、厚尾等特性，Copula函数恰恰满足了这种需要，不仅可以很好地衡量变量之间不对称、非线性的相关性，而且还可以捕捉到极端事件的尾部相关。
关于Copula函数的一个最重要的定理就是Sklar's Theorem（证明见Sklar，1996）。他指出Copula函数本身也是一个联合分布函数，具有联合分布函数的性质，如果边际分布函数是连续的，那么相应的Copula函数是唯一的，即：
Clayton n-copula仅仅取决于一个参数α，描述的是整个相关结构，不能描述负相关。由于它表现出较强的左尾相关和相对较弱的右尾相关，因此，常被用来研究相关风险问题。当两个事件之间的相关性表现出较强的左尾相关时，Clayton copula是比较合理的选择。
4 最小化CVaR的线性规划法法[8]
CVaR以VaR为基础，度量损失超过VaR的尾部损失的平均值，代表了超额损失的平均水平。只有将所有大于VaR的尾部损失估计到才能够计算CVaR，但通过样本分位数估计等方法，其计算可以不依赖于VaR。在大多数文献中计算CVaR都使用线性规划法，具体算法如下③：
目标函数为：
5 实证研究
5.1数据的选取与处理
构建一个由6个债务人构成的投资组合，基本信息见表1：第2列分别是各债务人7月16日的外部信用评级；第3列是相应的追踪评级机构；第4列假设每个债务人的筹资数额相等，
=100000元，总数额为600000元；第5列为挽回率风，由于单个企业的挽回率数据非常难找，因此本文选择行业平均挽回率。来代替；第6列是每个债务人的税后到期收益率
⑤，根据每个债务人在投资组合所占权重可以计算出这个投资组合的预期收益率为3.26%。假设研究期限为1年，而且风险率函数具有平稳性，与时间无关，则最后一列是根据式(10)计算出的风险率(hazard rate)。
选择各债务人债券从上市发行到2009年6月30日的日收盘价数据为样本，中间剔除了不同交易日的数据，只取在相同日期交易的各债务人的收盘价，共136个数据。在金融领域，收益率一般采用对数收益率，因此计算出的对数收益率共135个观测值。由于金融时间序列的收益率一般呈非对称分布，具有“杠杆效应”，而正态分布和t分布假设与此特征不符，不能预测金融资产收益率的极端变化情况。因此，通过非参数估计方法分别估计出六种资产135个收益率的边际分布，将历史数据转换成均匀分布。
表1 投资组合基本信息
5.2 参数估计
四种不同的Copula参数由对数收益率估计出来。Gaussion copula的相关系数矩阵R，见表2。对于Student's t-copula，我们已经估计出其自由度为6，相关系数矩阵为R，见表3。Groupedt-copula的相关系数矩阵与Student's t-copula估计是一样的。根据每个债务人信用评级的不同，将投资组合中的6个债务人分成三组：(1)08昆建债(AA+)和08钒钛债(AA+)；(2)08万科G2(AA+)和08西基投(AA)；(3)08保利债(AA)和08金发债(AA-)。三组估计出的自由度分别为
⑥。可以看出，评级高的自由度也高，评级低的自由度也低。Clayton copula的参数α的估计值为0.5466。
表2 Gaussion copula的相关系数矩阵R
表3 Student's t-copula的相关系数矩阵R
估计出copula的参数后，将各相关系数矩阵分别进行Cholesky分解，用四种不同的Copula函数，使用蒙特卡洛模拟方法，模拟出每个债务人直到违约时间
的1000种时间情景，这些时间服从(11)的多元分布。多元分布的相关结构由各自选择的Copula计算出来，边际分布由式(9)表示。
在情景j，如果债务人i在违约时的时间
，债务人i就违约。用这种方法，我们为投资组合损失(3)获得1000种蒙特卡罗模拟时间情景。
最后计算了投资组合的预期损失，95%的ML，95%的CreditVaR以及95%的ES。由不同的Copula所计算出的这些不同的指标被概括在表4。
由表4可以看出，在95%的置信水平下，Student's t-copula,Grouped t-copula以及Claytonn-copula计算出的尾部风险指标
都比Gaussion copula要大。这是因为t-copula考虑了双尾相关，描述了尾部相关对风险测度的影响，尤其是Grouped t-copula，它的风险测度值更大。Clayton n-copula只有一个参数α，描述的是整体的相关结构。而Gaussion copula没有考虑尾部相关，忽略了极端事件对相关性的影响，因此，风险测度比较小。这与第三部分copula函数的理论分析是相符的。
5.3 投资组合优化
在式(24)、式(25)和式(26)的限定条件下，运用线性归化法最小化95%置信水平下的CVaR。需要注意的是：首先假设
，1单位就代表10万元，那么
，所以后面估计出的每个债务人的权重都大于0小于6，且R=3.26%。四种copula的计算结果⑦见下页表5。
表4 四种不同的copula对于投资组合信用风险的测度
从表5可以看到：对于四种copula来说，投资债务人4是不明智的选择。在Gaussion copula,Student's t-copula和Groupedt-copula的情况下，应该按相应的权重投资于债务人1,2,3,6（即08保利债，08昆建债，08西基投，08万科G2），可以使得在95%的置信度下条件风险值最小。尤其是Student's t-copula和Grouped t-copula的结果几乎一样。而Clayton n-copula应该按相应权重投资于债务人1,2,3,5,6（即08保利债，08昆建债，08西基投，08钒钛债，08万科G2），使得在95%的置信度下条件风险值最小。这与其他3种copula情况下的选择不同。另外还可以看出，在95%的置信水平下，Student's t-copula、Groupedt-copula以及Claytonn-copula所计算出来的CVaR都比Gaussion copula的要大，这与前面计算风险测度指标时得出的结论一致。
表5 四种copula计算出的95%CVaR与投资组合的构成
6 结论
根据投资组合信用风险的特点，利用copula函数来衡量信用资产间联合违约事件的非对称、非线性相关。结果发现：(1)在计算投资组合的风险测度和条件风险值方面，由于t-copula具有双尾相关，Claytonn-copula具有较强的左尾相关和弱的右尾相关，而Gaussian copula缺乏尾部相关，因此Student's t-copula、Grouped t-copula以及Clayton n-copula所计算出的值都大于Gaussion copula计算出的结果。(2)由于grouped t-copula有很多的参数，能够更好地描述资产间的尾部相关性，因此grouped t-copula对数据的拟和能力最好，其计算结果更接近于实际。但它没有Gaussian copula和Student'st-copula灵活。(3)在投资组合的优化方面，Claytonn-copula得出了不同的投资决策，这是因为Clayton copula参数的缺乏，唯一的参数仅仅描述的是整体的相关结构。
注释：
①ES的具体推导过程见Yan Chunning,Yu Pang,Huang Yangxin(2005):Calculation of Expected Shortfall for Measuring Risk and Its Applications(English Edition).
②关于Copula函数的具体推导证明过程见Pravin K.Trivedi and David M.Zimmer(2005).Copula Modeling:An Introduaion for Practitioners.
③具体推导证明过程见Fredrik Andemson·Helmut Mausser·Dan Rosen·Stanislav Uryasev(2001):Credit risk optimization with Conditional Value-at-Risk criterion，
④来源于2003年12月Moody's Special Comment.
⑤来源于和讯债券2009年7月10日计算的税后到期收益率。
⑥具体估计程序参见Annalisa Di clemente-Claudio Romano(2004):Measuring and Optimizing Portfolio Credit Risk:A Copula-based Approach的附录部分。
⑦具体程序参见Fredrik Andersson·Helmut Mausser·Dan Rosen·Stanislav Uryasev(2001):Credit risk optimization with Conditional Value-at-Risk criterion.