论投资组合的“风险”_投资组合论文

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内容提要：作者认为传统“风险”定义不能有效地显示投资风险的真实水平，与人们对“风险”的直观理解也不一致，因此有必要对投资组合理论的“风险”定义进行重新认识。文章对“风险”给出了一个新的定义，并就此对现代投资组合理论进行了新的探索，得出了一些有益的结论。

关键词：投资组合标准差风险平均损失风险

一、问题的提出

一般词典中将风险定义为遭受损失的可能性。而在现实经济生活中，我们对风险的认识有两方面的考虑：一是某种经济行为遭受损失的数额的大小；二是这个行为遭受损失的可能性大小。马科维兹的投资学说中，将投资组合的风险定义为预期收益率的标准差，这个定义至少在两方面不能令人满意。

1.方差作为风险的定义与人们对风险的直观理解不一致。人们习惯上只把实际收益小于预期收益的可能性和可能值看作是投资的风险。也就是说，如果当真实的收益超出人们的预期收益时，对任何投资者来讲，都是令人高兴的，不会有人把这看作风险。而方差作为度量随机变量偏离其平均值离散程度的一个指标，既包括了超过平均（预期收益率）的部分，也包括了低于预期收益率的部分。这种混合显然与人们的习惯不符。虽然，在投资的收益率服从正态分布时，方差作为风险的定义是可以作出合理解释的，但一般情况下很难再给出令人满意的解释。

2.方差有时难以显示投资风险的真实水平。我们举例来说明这个问题。假设有两种投资组合，其收益率分布如下：

投资Ⅰ投资Ⅱ

收益率 0.3 0 0 收益率 0.20.1 －0.2

概率1/31/3

1/3

概率

1/21/31/6

容易计算得：收益率Ⅰ＝收益率 Ⅱ＝0.1；方差Ⅰ＝方差 Ⅱ＝0.02

从上面的计算可看出，这两种投资的预期收益率和方差都相同，分别为0.1和0.02，这表示在马科维兹投资学说中，它们是等效的，是无差异的。针对风险的概念来讲，它表示如果我们将方差作为度量风险的标准，这两种投资的风险水平是相同的。然而我们知道人们衡量投资的风险时，有两点必须加以考虑：一是投资收益率低于预期收益率的可能性；二是当投资收益率低于预期收益率时其差额有多大。从表上我们可以看到，投资Ⅰ的收益率低于预期收益率0.1的可能性为2/3，而投资Ⅱ的收益率低于预期收益率0.1的可能性为1/6；当收益率低于预期收益率时，投资Ⅰ的收益率与预期收益率的差为0.1，投资Ⅱ的收益率与预期收益率的差为0.3。这些数字说明，在通常人们对风险的认识下，这两种投资的风险不应相同，而用标准差为度量却是相同的。

二、对投资组合风险的重新定义

从上面的分析我们知道，在考虑投资的风险时，不但应该关心投资遭受损失的可能性，还要关心可能造成损失的数量大小。下面我们在这种考虑之下，给出风险定义，并在这种新的定义下探讨投资决策问题。

定义：设投资组合A的预期收益率R是一个随机变量，期望值U[，a]，概率密度函数为F[，a]（X），投资组合A的平均损失风险为：

这个定义的意义是十分明显的，它表示投资的风险有两个因素构成：一是投资组合的收益率低于预期收益率的概率；二是投资组合的收益率低于预期收益率的数值。其值表示一项投资可能发生的平均损失。相对于风险的标准差定义来说，它与我们对风险的直观理解是一致的，并且使风险与期望收益的形式更接近、更直观。

根据上述定义我们可计算出前例中两组投资的风险如下：

TⅠ＝1/3*0.1+1/3*0.1＝2/3*0.1

TⅡ＝1/6*0.3＝1/2*0.1

从计算结果看，在这个新的风险定义下，两种投资组合的风险是不同的。这一结果与我们开始的分析结果相同，从这个例子可看出平均损失作为投资风险的定义比方差更接近我们对风险的直观理解。下面我们引用一个实例来说明[①]。

设想的两个投资组合的期末财富水平比较低于该期末财富水平的百分比（%）

期末财富水平资产组合A资产组合B

70000 0%

80000 0%

90000 4% 14%

10000021% 27%

11000057% 46%

12000088% 66%

13000099% 82%

资产组合A年期望收益率为8%，B为12%。投资者期初财富为100000美元，持有期为一年。这就意味着投资组合A与B的期末预期财富水平分别为108000美元和112000美元，投资组合A和B的标准差分别为10%和20%。如上表所示，购买投资组合B的投资者有2%的机会使其期末收益小于或等于70000美元，而购买投资组合A的投资者则没有这种可能。类似地，投资组合B有5%的可能性使期末财富水平小于或等于80000美元，而投资组合A没有。如果继续下去，投资组合B有14%的机会使其期末收益水平小于或等于90000美元，而投资组合A仅有4%的机会；投资组合B有27%的机会使期末收益小于或等于100000美元，而投资组合A有21%的机会……投资组合B有40%的可能性使其期末财富水平低于预期水平112000，而投资组合A只有21%的可能性低于预期期末财富水平100000美元。上述分析从直观上告诉我们，投资组合B所冒损失风险大于投资组合A。结合我们的定义可计算出：

T[，b]＞T[，a]

这一结果与我们分析相同，这再一次说明我们的定义具有直观、明确、数学形式简单的特点。

三、在正态假定下两种风险定义的一致性以及相关结论的比较

当投资组合的收益服从正态分布时，由于超出期望收益与低于期望收益的部分是对称的，此时，两种风险应具有某种程度的一致性。结论一将从理论上给出确切回答。

结论一：当投资组合的收益服从正态分布N（U，σ）时，平均损失风险与标准差风险关系

证明：（从略）

从这个结论我们可以看出，在正态假设之下，投资的平均损失风险实际上与风险的标准差定义是具有同一性的，只不过标准差比平均损失风险扩大了倍，或者说标准差作为投资的风险度量夸大了投资风险的证实性。这与我们的直观感觉是一致的，因为标准差不但包含了低于期望收益的损失部分，而且还包含了超过期望收益的超额盈余部分。

不仅在正态假设之下，平均损失风险与标准差风险有这种简明的关系，而且在一些常见分布之下，也有一些简单的对应关系。例如，R服从指数分布时，

接下来，我们用马科维兹模型中的理论准则（期望—方差准则）来考虑平均损失风险意义下的可行集与有效集。我们将所有投资组合的期望收益E（R）与平均损失风险T形成的点（E（R），T）的全体称为可行集，类似地我们可给出如下准则：（1）对于相同的平均损失风险T，我们将选择期望收益较大的证券组合；（2）对于相同的期望收益，我们将选择平均损失风险较小的证券组合。我们把同时满足上述两个条件的投资组合称为ET有效投资，这些有效投资组成的集合称为ET有效集。