漫谈中学物理中的“叠加原理”，本文主要内容关键词为：原理论文,中学物理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
叠加原理是联系简单运动和复杂运动的纽带，是把复杂运动的研究等效转化为研究简单运动的科学方法，是物理学中普遍原理之一。从科学方法角度看，叠加原理是等效方法的重要组成部分，它揭示了描述复杂运动特征（或物质属性）的物理量与描述几个简单运动特征（或物质属性）的同种物理量共同作用时的等效关系。作为普遍原理和科学方法，叠加原理渗透在高中物理的有关章节中，如“力的合成”“运动的合成和分解”“波的干涉”“电场 电场强度”“无线电波的发射和接收”等。但是，教科书中除了提到“电场叠加原理”和“波的叠加（原理）”外，对其他内容采用分别渗透的方法，只做简单的描述而没有明确提出“叠加原理”名称，学生对叠加原理的认识是分散的、割裂的，常常会出现一些模糊的、片面的，有些甚至是错误的理解，本文针对学生学习以及教学研究中反映出来的问题（有的是深层次的），谈谈笔者对叠加原理的理解，供读者参考。
一、力的合成与分解是叠加原理的力学基础
1.力的合成与分解（力的叠加原理）（注：北京教育学院.高中物理上册教学参考书.北京：人民教育出版社，1979）
大家知道，当物体受到几个力共同作用的时候，我们常常可以求出这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，那几个力就叫做这个力的分力，合力与分力是等效代替的关系。求几个力的合力叫做力的合成（也叫做力的叠加），反之，求一个已知力的分力叫做力的分解，力的合成与分解要遵守平行四边形定则。这里谈到的合力与分力、力的合成与分解的。概念及平行四边形定则，实际上渗透着力的叠加原理（也叫做力的独立作用原理）内容，只是没有明确提出名称而已。有的学生会提出这样的问题；为什么合力与分力会有这样的关系呢？经过再三思考，笔者是这样回答的：合力与分力的等效代替关系及平行四边形定则，是从大量实验事实中总结出来的客观规律，既然是客观规律就不应该存在为什么的问题。但是，从逻辑思维的角度看，可以这样理解：物体受到几个力共同作用时，每个力各自产生的效果彼此互不影响（力的作用的独立性），这是力可以按照平行四边形定则合成的前提和基础，换句话说，力的作用的独立性是力的合成（力的叠加）的前提条件，而力的叠加是力的作用具有独立性的必然结果。对于老师的回答，学生基本上是满意的。
笔者认为：让个别学有余力的学生知道力的平行四边形定则具体体现了力的叠加原理，知道力的作用的独立性与力的作用的叠加性间的因果关系，对于他们正确理解和掌握平行四边形定则的深刻内涵，进而理解普遍的叠加原理的实质是十分有益的。
为了下面叙述方便，可将平行四边形定则推广运用于多个共点力作用的情况，则合力与分力的等效代替关系可表示为
附图
这个式子就是力的叠加原理的数学表达式。
2.运动的合成与分解（运动的叠加原理）
在“运动的合成和分解”一节中，演示了红蜡块随运动的玻璃管的运动，在“平抛物体的运动”一节中，用频闪照相的方法更精细地研究了平抛运动，这些实验表明：组成复杂运动的任何一个方向的分运动，都不会因为其他方向的分运动是否存在而受到影响，换言之，各个方向的分运动是彼此独立的，这叫做运动的独立性。一个复杂的运动可以看成几个各自独立进行的分运动叠加而成，这个结论叫做运动的叠加原理。运动的合成与分解就是运动的叠加原理的具体表现。物理学用加速度、速度、位移来描述物体的运动，依据力的叠加原理可以简明地推出运动的叠加原理的数学表达式。将①式两边同除以物体的质量m，得
附图
以上②、③、④式就是运动的合成与分解，即运动的叠加原理的数学表达式。
3.波的叠加原理
实验表明，几列波相遇时能够保持各自的运动状态（波的振幅、频率、波长、传播方向）继续向前传播（波传播的独立性），在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和（波的叠加性）。这个结论叫做波的叠加原理。
显然，波的叠加原理是运动的叠加原理在波动问题的具体表现，两列频率相同、振动方向相同、相差恒定的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，而且振动加强的区域和振动减弱的区域相互隔开，形成稳定的干涉图样，可见波的干涉是特殊情况下波的叠加的结果。
4.冲量的叠加原理
将①式两边同乘以时间t，得
附图
上式表明：当物体受到几个力共同作用的时候，合力的冲量等于各个分力单独作用时冲量的矢量和，这个结论叫做冲量的叠加原理。由于冲量表示力在一段时间内的累积效应，可见力对时间的累积效应遵守叠加原理。
5.气体压强的叠加原理
大家知道，气体压强的大小跟两个因素有关：一是分子的平均动能，二是单位体积内的分子数。设某一温度下，气体单位体积内的分子数为 n，分子平均动能为E，则气体压强
。因温度是分子平均动能的标志，即
，式中T为热力学温度，k为玻耳兹曼常量
，故气体的压强可进一步表示为
p=nkT。⑥
当容器内盛有的混合气体处于准静态时，因混合气体单位体积分子数等于组成它的各种成分气体单位体积分子数之和，即
附图
将⑦式代入⑥式，混合气体的压强可表示为
附图
上式表示，处于准静态的混合气体的压强等于各种成分气体单独作用产生的压强之和。⑧式就是气体压强遵循叠加原理的数学表达式。
例1 某氦氖激光管的工作温度为27℃，管内气体压强为p=320Pa，已知氦气跟氖气的压强之比为7:1，求管内氦气和氖气的压强及密度。
解 设氦气与氖气的压强分别为
，密度（单位体积分子数）分别
，根据气体压强的叠加原理，有
附图
6.电场强度的叠加原理
如果有几个点电荷同时存在，它们激发的电场就相互叠加，形成合电场，这时某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和，这叫做电场强度的叠加原理，其数学表达式为
附图
根据场强的定义，E=F/q，将①式两边同除以电荷q，不难推出上述表达式。
知道了点电荷的场强计算公式
，原则上就可以知道任一带电体的场强，因为任何带电体都可以看做是由许多点电荷组成的。
综上所述，力、加速度、速度、位移、冲量、电场强度等物理量都遵循叠加原理，因为这些物理量的叠加原理都可根据相关物理量的定义，由力的叠加原理推出，故可以认为力的叠加原理是普遍的叠加原理的力学基础，它们都遵循矢量合成的平行四边形定则。
基于上述认识，有一种观点认为：叠加原理只适用于矢量，标量是不遵循叠加原理的。果真是这样吗？下面从数学角度进一步分析。
二、叠加原理的数学基础（注：杨仲耆等.大学物理学（振动、波动与光学）.北京：人民教育出版社，1981,45～48）
为了简化问题，下面以单摆做简谐运动为例来分析。如图1所示，设摆球某时刻通过A点时的摆角为θ，摆长为L，其偏离平衡位置的位移为x，在不计空气阻力和摩擦的条件下，回复力是由重力在切线方向的分力
提供的，有
附图
负号表示回复力的方向与位移的方向相反，根据牛顿第二定律，且考虑加速度等于位移对时间的二阶导数，即
，故有
附图
附图
图1
上式就是单摆做简谐运动所遵循的微分方程。
通常，描述运动的齐次微分方程里所包含的因变量和它的一阶导数、二阶导数都只具有一次方幂与常系数项，不含二次或更高次方幂项，这类微分方程叫做常系数齐次线性微分方程，它的一般形式为
附图
式中a、b、c为任意常数。下面以简谐运动为例说明常系数齐次线性微分方程⑩的两个重要特性：
(1)如果方程⑩式有两个独立的解
，那么
也是方程的解。
证明 据题意有
附图
(2)如果x是线性微分方程⑩的一个解，那么ax（a为非零任意常数）也是方程⑩的解。
证明 据题意，有
，将ax代入方程的左边，得
附图
可见，方程左右两边相等，ax也是方程的解。
同理可证明：如果是常系数齐次线性微分方程(11)的两个独立的解，那么
也将是该常系数齐次线性微分方程(11)的解（其中
是两个非零任意常数）。
因此，描写运动的常系数齐次线性微分方程(11)的上述两个重要特性表明：叠加原理只适用于常系数齐次线性微分方程(11)的形式。
科学规律的数学化可揭示科学规律所表示的物理量的内在联系，使我们可以暂时脱离科学规律涉及的物理量的本来意义。
附图
图2
下面来分析LC振荡电路中，电容器极板上的电荷q和振荡电流i遵循的变化规律。如图2所示，设某时刻电容器处于放电状态，不计线圈和导线的电阻，电容器两极板间电势差等于线圈的自感电动势，即
，可得
附图
比较⑩、(12)两式，可以看出电荷q的变化与位移x的变化都遵守常系数齐次线性微分方程，可见，电荷q（或电流i）也遵守叠加原理，与矢量不同的是，它们遵守标量叠加原理（代数的叠加原理）。
三、功遵循叠加原理吗？
课本在“功”一节指出：“当物体在几个力的共同作用下发生一段位移s时，这几个力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做的功的代数和。”同时指出：“可以证明，当物体在几个力的作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于这几个力的合力对物体所做的功。”据此，有人认为“功”应遵守叠加原理，其实，这种认识是不正确的。下面从两个方向加以说明：
(1)从功的角度看，课本中所说的“各个分力分别对物体所做的功”指的是各分力对物体运动的合位移做的功，一般情况下这些功不是各分力分别单独作用时对物体做的功，也就是说这些分力分别做的功与合力做的功不具备叠加原理要求的分力与合力的作用时间相同的特征。为了简化问题，下面以物体在两个共点力（恒力）作用下从静止开始运动为例来说明，如图3所示，因合力的功等于各分力分别对物体所做功的代数和，故有
附图
图3
附图
以分力
单独作用所做的功应为
，可见功不遵循叠加原理。
(2)从动能定理的角度看，合力的功是动能变化的量度，仍以上面的例子来说明：
单独作用时，有
因在两个分力（或两个分位移）不垂直的情况下，末速度的两个分速度也不垂直，故在一般情况下
附图
这意味着描写运动的微分方程中含有
项，属于非线性微分方程，叠加原理不再适用。
有人提出疑问，既然功不遵循叠加原理，为什么在点电荷系产生的静电场中，根据公式
附图
可以推出电势叠加原理呢？对于这个问题，我们仍以两个点电荷产生的简单电场为例来说明。
设A、B两点有两个静止的正电荷
，在电场中P点放一个检验电荷q，它受到的两个分电场力分别为
，合电场力为F，如图4所示。设电荷q在力
共同作用下，从静止开始运动到无穷远（零势点）电场力做的总功为W，分别对q做的功为
，则有
附图
图4
附图
因为孤立的点电荷的电场具有球对称性，可以设想，当点电荷
。于是(14)式可改写成
附图
上式表明：在两个点电荷产生的静电场中，经过上述等效变换，可以证明把电荷q从电场中某点移到零势点电场力做的总功等于各个点电荷单独存在时电场力做功的代数和，这说明静电场力做的功是可叠加的，另一方面，从动能定理的角度分析，也可得出同样的结论。根据动能定理，有
附图
因在两个分速度相互垂直的条件下，有
附图
这意味着描述运动的微分方程中的
项将被消去，是线性微分方程，故静电场力的功是可叠加的。值得特别注意的是，上述得出的结论只是力做功的一种特殊情况，因为库仑力（静电场力）遵循平方反比律，是保守力，保守力做功与路径无关，而非保守力做功是没有这种性质的。这也是物理学中没有功的叠加原理的原因。
回到前面的问题，当多个点电荷同时存在时，可以把第一次合成求得的
作为第二次合成的一个分力，把
作为另一个分力，仿照前述的等效变换方法可求得这三个力做的总功，依此类推直到把全部分力合成完毕为止，于是就可得到(13)式所示的功的关系式。把(13)式两边同除以电荷q，得
附图
根据电势的定义：电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移到无限远（零势点）电场力所做的功，即
，于是(15)式可表示为
附图
该式的物理意义是：在几个点电荷共同产生的静电场中，某点的电势等于各个点电荷单独存在时产生的电势的代数和，这就是静电场的电势叠加原理（注：陈鹏万.电磁学.北京：人民教育出版社，1978）。
四、叠加原理的适用条件
综上所述，不论是矢量还是标量，只要描述运动的（或变化的）物理量的微分方程是线性的，那么它们就遵循叠加原理，矢量遵循矢量的叠加原理（即平行四边形定则）；标量遵循代数的叠加原理，物理学中许多定律、定理、公式多属于线性的，如胡克定律、动量定理、微分形式的欧姆定律以及描述电磁场基本运动规律的麦克斯韦方程组都是线性方程，因此叠加原理具有极其普遍的意义，它是联系复杂运动和简单运动的桥梁或纽带，是物理学中普遍原理之一。
但是，必须注意运用叠加原理时，一定要满足其运动的微分方程是“线性”的这个条件。例如，单摆的摆角较大时，其微分方程为
附图
式中sinθ不能以近似值θ代替，则上式中将包含
、…等高次方项，故不是线性方程，不能用叠加原理来处理这类问题。与此类似，在研究波的叠加时，需满足各列波引起的振动都不十分强烈（振幅不是很大）这一条件（注：姚启钧.光学教程.北京：高等教育出版社， 1981），在研究波的干涉时，除了要求频率相同、振动方向相同及相差恒定的条件外，还需满足振动不十分强烈的条件，否则就不遵循叠加原理了。又如，在流体介质中做高速运动的物体，受到的介质阻力与速度v的高次方幂有关，其运动的微分方程是非线性的，也不能用叠加原理来解决这类问题。