2010年高考数学试题评价_数学论文

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2010年，全国有15个省（市、自治区）使用了新课标试卷。我们将依托部分试题，对今年的高考数学试题进行评价。欢迎更多的老师参与讨论。

一、好的高考数学试题的特点分析

好的数学高考试题应符合《课程标准》和《考试大纲》，对日常教学有正面引导的作用，利于考查与区分考生的数学学习水平和继续学习、发展的能力。

（一）试题与《课程标准》及《考试大纲》相一致

《课程标准》是日常教学、《考试大纲》制定和高考命题的基本依据。好的高考试题应该与《课程标准》和《考试大纲》保持一致性。

1.知识层面：课程内容的更新在高考试题中得到体现

依托《课程标准》设计的高中数学课程，在教学内容和教学方式等方面都有显著变化。大多数新课标高考试卷，都能严格遵循《普通高中数学课程标准（实验）》和《全国统一考试数学考试大纲（课标实验版）》的要求，将新增内容和传统内容相结合，试题更加科学、规范。

以数列为例，往年高考一般将数列作为压轴题的主要内容，由于《课程标准》对数列的递推公式降低了要求，北京、辽宁、陕西今年将数列内容的考查放在了第16题，海南放在了第17题，并且仅对等差、等比数列的通项、前n项和等基础知识进行了考查。北京、福建、江苏、陕西、浙江、安徽、广东、湖南、辽宁、山东、陕西、天津、海南、上海等各省（市），均没有一道题考查数列的递推关系。

新增内容，如三视图、算法框图、统计、空间直角坐标系的考查有逐步深入的趋势。福建、江苏选考题中有矩阵与变换的内容。同时，对传统核心内容的考查也没有削弱，如函数、导数、三角、立体几何、解析几何、概率等内容依然是考查的重点。

2.理念层面：体现《课程标准》提出的教学理念

《课程标准》对学生的学习方式给出了详细的描述：学生的数学学习活动不应只限于接收、记忆、模仿和练习，提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时，促进学生形成科学合理的学习方式，帮助学生养成独立思考、积极探索的习惯。

2010年的很多高考数学试题摒弃单纯的记忆与模仿，没有固定的模式，没有现成的方法和套路可以套用，仅依靠死记硬背、“题海战术”、猜题压题等解题策略难以解答。

例1 （2010年辽宁理11）

解答本题需要正确理解方法及方程解的概念、二次函数的图像和性质、数量间的不等关系。同时，需要掌握配方法、识别符号语言表示的数学命题的意义。这样的试题，把相关知识相互融合，要求学生进行整体思考，或动笔算一算，或画图想一想。题型记忆解答不了这道问题。

总体看，2010年的很多数学考题注意把握传统与创新、知识与能力、基础与提高、逻辑与直觉的关系，重视考查数学科学价值、应用价值、文化价值，增强了对发现问题和提出问题、分析问题和解决问题能力的考查力度，达到了落实《课程标准》、推进课程改革的目的。

3.深度层面：核心内容稳中求新，注重对数学本质的理解

《课程标准》提出：要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

高中数学的核心内容：函数、导数、几何、概率始终是高考数学的考查重点，常考常新。但是无论怎样变化，强调对数学本质理解的考查原则没有改变。

例2 （2010年北京理19）

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于。

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

本题是解析几何综合题，主要考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题，并对代数运算结果给予几何解释。考生首先需要利用曲线与方程的概念求出轨迹方程，再来讨论与椭圆、直线相关的几何性质。特别是第（Ⅱ）问，需要对解析几何的研究方法有深刻的认识，深入分析图形中元素的几何特征，灵活运用坐标法，把主要的数量关系用坐标或方程表示，抓住不变量，引进参数，并明确参数和步步变形或运算的意义，清楚过程中每一步的道理。本题突出了对解析法本质的考查，与平面几何结合紧密，突出图形的分析，关注了考生的思维能力、运算能力、空间想象（图形分析与处理）能力的综合考查。那些只依赖练习册、记题型、形成思维定式的考生，几乎不能答出该问。

当前，记忆型知识的教与学在课堂上还占有重要的地位。本题的出现，对缺乏理性的思考与点拨、满足于大量的习题训练的课堂教学敲起了警钟。让学生领悟到，学习数学不是靠记忆，而是要理解数学的本质，学会科学地思考数学问题。

例3 （2010年安徽文21）

本题的明线是对等比数列的概念及数列求和方法的考查，暗线是对数形结合及解析法的深层次考查。要求考生自觉地融合相关知识方法，分析题意，找出解决问题的路径，进行正确的推理与运算，简洁明了地表述解题的过程与结果。

考题注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识的考查点，又能促使学生从学科整体的高度考虑问题，使对基础知识的考查达到必要的深度。

4.思想方法层面：强化思想方法，深化能力立意

数学思想方法是数学的精髓。学生在掌握基本的数学知识的同时，还必须掌握基本的数学思想方法，这样才能领会数学的本质，提高数学素养。

《课程标准》明确提出数学课程的培养目标：提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

2010年高考数学试题坚持能力立意的命题指导思想，把富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量学生的发展性学力和创造性学力着手，突出能力考查。

例4 （2010年山东理11）

解答本题用特值法、导数法都不好“使”。但是，如果在同一坐标系内绘制二次函数和指数函数的图像，注意到在第一象限有两个支点、第二象限内有一个交点，想象两个图像合成后的变化趋势，就容易找到答案。本题很好地考查了学生灵活运用所学的函数模型分析问题、解决问题的能力和图形处理的空间想象能力。

例5 （2010年浙江理16）

已知平面向量α，β（α≠0，β≠0，α≠β）满足｜β｜=1，且α与β－α的夹角为120°，则｜α｜的取值范围是______。

本题解法多样，例如可以利用向量及其运算的几何意义，由题设分析出α，β构成三角形，将问题转化为求圆中弦｜β｜长为1，β对角为60°，动弦α的取值范围。

解答本题，需要考生具有灵活熟练地运用知识和方法的综合能力、理性思维的抽象力、对数学本质的深刻理解，以及熟练地运用数学工具。该题不仅为学生自主探究问题、寻找合适的解题方法、思考题目的数学意义、展示自己的数学素养提供了广阔空间，而且可测量学生在不同背景下挖掘问题内涵、解决问题的潜能。

例6 （2010年陕西理21）

本题是以幂函数和对数函数为背景，设计的函数、导数、方程及不等式的综合题。该题蕴含了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化的数学思想，并在一定高度和深度上考查了考生的思维能力、运算能力、进入高校的发展潜力，体现了命题人的数学功力。

（二）试题对日常教学发挥正面的导向作用

当前，数学高考考什么、怎样考，成为每位高中数学教师最关注的问题，指挥着教师的教与学生的学。好的试题应该对日常的教与学有正面的导向作用，能够促进学生学习能力、素养的培养。

1.重视对概念的理解和把握

数学概念是数学思想的集中反映，没有数学概念就没有系统的数学思想。针对当前数学教学忽视概念教学的倾向，很多高考试题在这方面发挥了好的引导作用。

例7 （2010年安徽理8）

A.[0，1] B.[1，7]

C.[7，12]D.[0，1]和[7，12]

本题在圆周运动的背景下，考查了正弦函数的概念。学生只要画出单位圆，分析动点A的运动规律，再应用正弦函数的定义，不用过多的运算，就能找出函数的单调递增区间。试题告诉我们，学习三角函数，不仅要记住定义，还要灵活运用，要知道哪些实际问题可以转化为三角函数模型。

例8 （2010年全国课标卷理11）

A.(1，10) B.(5，6)

C.(10，12)D.(20，24)

画出图，由｜1ga｜=｜1gb｜，a≠b，推出ab=1且10＜c＜12，立即得出正确选项C。本题考查了函数的概念、图像和性质。学生只要平日重视对概念的理解，重视掌握函数模型，遇到类似的问题，就可以正确解答。

解答数学题时，有些学生只注意定理、公理、法则、方法的运用，往往忽视对概念的灵活运用。其实，让学生有自觉应用有关概念的强烈意识，灵活用好概念的内涵和外延；全面准确把握好所用概念的前提条件；对表示有关概念的字符、记号能熟练掌握；对容易混淆的概念，留意其细微的差别，提防误用或错用。这些都是我们在教学中应教给学生的重要内容。

2.强调数学的基本方法

2010年好的高考数学试题都注意淡化特殊技巧，强调通性通法。配方法、待定系数法、消元法、换元法等常用的数学方法在各省试卷中都有考查。

所有课标卷的立体几何试题，注重通性通法的考查。由于《课程标准》对立体几何的教学要求有很大变化，文理科的教学要求也有很大的不同。从总体情况看，试题能够遵循《课程标准》和《考试说明》，文理科差距明显，文科只考查必修内容，理科增加了必选内容：用空间向量度量空间角与距离。

例9 （2010年全国课标卷理18）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点。

（Ⅰ）证明：PE⊥BC；

（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。

试题充分考查了立体几何的基本知识与方法。要求学生通过对图形的观察分析，引入辅助线，选择解题方法，反映了立体几何考查中“论证”和“计算”并举的解题要求，对中学立体几何教学有积极的导向作用。

当前，一些省市存在使用不同版本教材的情况，如安徽、北京。这些省、市针对这一实际情况，较好地处理了“教材”与“标准”的关系，试卷获得广大高中数学教师和考生的认可。

例10 （2010年北京理18）

已知函数，(k≥0)。

（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间。

函数与导数的综合运用是《课程标准》要求的重要内容。《课程标准》强调对导数概念本质的理解，提高了应用性要求，突出了导数作为一种数学方法的工具作用。

本题遵循了《课程标准》的要求，可以说它源于课本，但又不同于课本，高于课本。考查了导数的概念、运算及利用导数研究函数的性质，是一道典型的函数与导数结合的综合题。在解题过程中，还要与二次函数、二次方程、反比例函数、有理不等式等内容结合。又因函数表达式中含有字母参数，使得本题还涉及分类讨论的思想方法，体现出基础知识的重要性。

3.加强了对应用意识的考查

对应用意识的考查体现了数学的价值。一些拥有命题自主权的省（市）命制出了一些好的应用问题。它们贴近现实生活实际，强调运用数学思想分析和解决问题，强调数学阅读理解，逐步改变应用问题以“生硬”概率试题为主的倾向。当然，2010年也出现了一些很好的以概率为考查内容的高考题，如浙江理科卷第19题、安徽理科卷第21题、江西理科卷第18题等。这些试题的背景新颖，有的与促销活动有关，有的以品酒师接受酒味鉴别功能测试为背景，有的是讨论走出迷宫的概率。考生喜闻乐见，在愉悦的心情中完成考题，体现了试卷的人文关怀。

2010年继续出现了一批非概率背景的应用题，这些应用题设计精心、范围广泛，如航海问题、解析几何的应用、简单的线性规划、三角测量、函数和导数应用等……引导考生自觉地置身于现实生活的情境中，在解决问题的过程中展示才能。

4.注重学习、探究能力的考查

《课程标准》提出，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展学生的创新意识。

例11 （2010年山东理12）

定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a⊙b=mq-np。下面说法错误的是

A.若a与b共线，则a⊙b=0

B.a⊙b=b⊙a

C.对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ(a⊙b)

例12 （2010年湖南理工农医15）

若数列满足：对任意的，只有有限

可以推测，m-n+p=______。

例14 （2010年北京理14）

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为______。

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。

这些试题，为考生提供了一个主动探究的学习环境。或让考生发挥学习的主观能动性，阅读自学一些概念和法则，探索解决问题的思路；或要求考生通过自主的研究给出命题的规律，由特殊到一般进行联想，寻找相应的结论；或分析题目给出的信息，通过分析、加工、组合，找到记忆系统中存储的信息的衔接点；或要求考生读懂试题，再动动手，画一画，探究、想象、分析。

高考试题对学生实践能力和创新意识的考查，其意义已超出了数学学习本身，对提高学生的学习和工作能力，对于学生今后的人生发展都有重要的意义

（三）考题具有创新性和发展性

今年数学高考中出现了要求学生在学习高中数学课程的基础上，不需要用到课标以外的公式、定理，基于原有的知识和认知能力，解决数学和现实生活中比较新颖的、又是将来需要学习的基础性的好题。这样的数学问题可以而且应该成为选拔优秀学生的试题。这样的试题具有创新性，符合课标的基本理念。

例15 （2010年上海理22）

若实数x、y、m满足｜x-m｜＞｜y-m｜，则称x比y远离m。

这些题是在高等数学背景下衍变出的创新性试题，非常规，有很强的探索性。考查了绝对值概念、不等式求解与证明、函数的性质等基础知识，对数学思维能力、理解能力、阅读能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力要求都极高。这些题是任何参考书上看不到的，也是任何考生事先准备不了的，考生只能在考场上凭真本事回答。能解答此题，甚至完全答对此题，学生真得有数学的真才实学，很高的学习与研究数学的水平。

我们不赞成命制靠补充课标以外的公式、定理（特别是课标已经明确不再要求的公式、定理）才能解答的高考试题，这些试题属于超标范围。但是，一些用以选拔优秀考生，有着深刻的背景，考生靠已有的基础知识、基本方法、基本思想和数学学习经验，经过研究分析可以解决的试题，我们认为是好题。

总之，2010年有很多好的试题，发挥着对日常教学的正面指导作用，对当前数学教育存在的顽疾提出了挑战。我们希望，这种导向能坚持下去，使我们的数学教学改革尽早结出硕果。

二、2010年数学考题中的一些问题分析

我们认为，目前高考数学试题中有些题目还可以出得更好。例如，广东理科考卷的第21题和北京理科考卷的第20题。两题的立意都很好，各给出了一种距离的定义，如果能再给出定义对象的背景或要求学生给出其背景，并尽量用图来分析问题，而不是纯形式的推演，就更好了。

另外，有些题目的立意不够清楚。如浙江2010理科第二大题的(14)：

这个题目如果是要求学生通过计算得到结果，难度很大。因为的表达式比较复杂，通过它的单调性来研究不等关系，不是一般学生能做到的。如果是考查学生类比、归纳的能力，就不应该简单地把的表达式给出，而一定要让学生对前面的表达式予以确认，然后再做猜想。否则，不能真正达到考查学生类比、归纳能力的目的。

当然，也确有少量题目编制得不够好，对中学的教学会起到负面影响。

（一）个别题目生编硬造痕迹严重，不是真正的数学问题

例1 （2010年浙江理7）

A.-2B.-1C.1D.2

这个题目把一个线性规划的问题颠倒了过来，即：已知目标函数的最大值，要求出其区域边界的参数。这不是真正的数学问题。如果不能给出这种问题的背景，就变成了没有意义的游戏。这类问题一出现，势必导致高中教学中出现大量的类似练习，造成不好的影响。

（二）有些题目思路不自然，学生很难想到

例2 （2010江苏第12题）

（三）个别题目超出了高中数学课程标准的要求

例3 （2010江苏第23题）

已知△ABC的三边长为有理数。

(1)求证cos A是有理数；

(2)对任意正整数n，求证cos nA也是有理数。

这题的第2问，要用到三角函数的积化和差公式。（当然，也可以有其它方法。例如，对cosnA与sinnA同时用数学归纳法，证明它们是有理数，但这个要求太高了）而这个公式在课标中是不要求的。由于知道这个公式的学生能证明其结果，而不知道公式的学生可能就不会做，这势必引导高中数学教师在教学中大量补充已经被课标认定不要求掌握的公式、定理等，必然加重学生的负担。

（四）有些题目偏难，往数学竞赛题方面靠，而且解法也不自然

例4 （2010江西理科第22题）

证明以下命题：