小学数学“变式教学”，本文主要内容关键词为：小学数学论文,式教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、“变式教学”概述
1.“变式教学”的概念界定
变式教学是“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。即在教学中用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于让学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念”①。
目前，“变式教学”已经不再局限于帮助学生掌握概念。由于变式教学的最主要目的是为了突出事物的本质特征，舍弃非本质因素；又由于“变式”的本意是变化呈现形式，这就诱发人们很自然地将其迁移至数学知识的过程性教学中，用以突出数学的规律，或者把复杂问题转化为简单问题，然后通过概括使认识达到新的高度。如果说概念性变式旨在廓清数学学习对象静态的、相对稳定的内涵与外延特征，那么过程性变式关注的就是数学学习对象动态的、层次性递进的发生过程。因此，对于数学概念、命题推演和问题解决等每一类数学学习对象，均存在着概念性变式和过程性变式。
更一般的，取其“变化”“变换”的词义，广大教师又不约而同地想到了“变式训练（练习）”，从而进一步增添了变式教学的内涵。
在本文的讨论中，变式教学的内涵仅指小学数学的概念性变式、过程性变式、训练性变式及其教学。
2.“变式教学”研究的意义
“概念性变式”对于数学概念教学的作用，早已被理论与实践所证实。“过程性变式”出现在新一轮课程改革进程中，其主要意义是通过变式教学，在课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程，有利于促进学生对知识的理解与数学思维的发展，有利于培养学生探索问题、解决问题的能力。“训练性变式”作为教师自发生成的教学手段，有利于让学生摆脱枯燥无味、收效欠佳的题海战，提高练习的实效。研究变式教学有利于切实提高数学教学的有效性。
3.“变式教学”研究的已有进展
变式教学的有效性使变式在数学教学中的使用似乎比其他学科更为频繁，对变式教学的认知心理学研究也逐渐引起人们的关注。但在实际教学中，多数教师仅把变式练习看做是变式教学的主要形式，很少有教师从数学课程教学改革理念的落实、从教材教法、从学科教学心理等视角，综合地、深入地分析变式教学，有关变式教学较为系统的理论梳理与实证研究则更为少见。因此，在小学数学教学中研究“变式教学”有着深刻的现实意义。
二、概念性变式
数学概念教学中的变式主要包括两类：一类是改变概念外延的呈现，即概念外在形式的变化，属于概念外延集合的变式，有学者称之为概念变式；另一类是改变概念的内涵，即呈现与原概念有某些相同非本质属性的反例，它不属于原概念的外延集合，因此有学者称之为非概念变式。两者不妨统称为概念性变式。概念性变式是小学数学概念教学中的重要手段，其作用主要是帮助学生“去伪存真”，获得对概念的多角度理解即较全面的认识。
图1
1.变化概念的非本质属性
所谓概念的非本质属性，是指对该概念不具有决定意义的属性。变化概念的非本质属性是小学数学概念教学中采用最多的概念性变式。它的心理学依据是，概念变式在转换事物非本质特征时呈现了事物表象的多样性，丰富学生的感性经验，使他们认识概念外延集合的各种典型代表。最常见的例子如教学“梯形的认识”，通常教师都会给出一些“非标准”的梯形让学生识别（图1），以帮助学生排除标准图形所带来的负面干扰，避免出现误将“上底长、下底短，腰反向（腰相等）、无直角”等非本质属性当作梯形本质特征的片面认识。
那么，这一行之有效的教学方式如何在新课改背景下“与时俱进”呢？我们认为可以尽可能地创造条件，变“教师演，学生看”为学生自己动手操作。仍以“梯形的认识”教学为例，我们尝试了两种方式。
一是让学生把平行四边形沿直线剪成两个四边形，使它们都不是平行四边形（图2）：
图2
二是让学生用半透明的长方形与三角形纸片重叠出四边形（图3）：
图3
同样是观察变化非本质属性的变式图形，但观察对象不是教师提供的，而是学生自己动手构造的，两种方式都能使学生在生成性的操作与观察活动中动态地认识发现梯形的共同特征，取得了较好的效果。这也说明变式直观的教学效果，在一定程度上取决于学生的主动性及独立性的发挥。
2.变化概念的本质属性
所谓本质属性，是指该类事物独有的、必然具有的，因而也是能与其他事物加以区分的属性。教学中适当地变化概念的本质属性，让学生通过辨析，从反例、错误中体会概念的本质属性，促进理解。
以教学“平行”为例，两条直线永远“不相交”是概念本质属性的“强成分”，而“同一平面”则是该概念本质属性的“弱成分”，学生比较容易忽视。对此，教师一般都会列举生活中的实例，如交错的电线、轨道加以说明。我们在教学实践中设计并自制了这样的教具：将画有两条醒目平行线的木板沿中间锯开，上半部分不动，旋转下半部分，使木板错开，让学生看到两条直线仍然“永不相交”（图4），但却不平行了，因为它们不在同一平面内。我们还曾经采用折纸的办法让学生通过操作实验，感悟不同平面内的两条直线不相交，也不平行（图5）。实践表明，这样的教具演示与折纸实验，能使学生清楚地看到两条直线所在的平面，在演示和实验过程中体会“同一平面”与“不同平面”的区别，其直观效果比举实际例子或者用两根小棒比划要好得多。
图4
图5
在实际教学中，上述两种概念变式也可以结合使用。例如“垂直”的概念辨析，图6中①是标准图形，②、③是本质属性的改变，④、⑤则是非本质属性的改变，它们从正、反两方面揭示了垂直概念的本质特征。让学生看图作出正确的判断，从而达到多角度理解概念，确切地把握概念本质特征的教学目标。
图6
3.概念变式的教学探讨
(1)概念变式的表现手段
概念变式可以通过图形、图片或实物及其模型表现，也可以通过语言表现。前面列举了很多图形的变式，语言变式的常见例子如：教学两数相差多少的实际问题，问题的陈述除了“多多少”“少多少”“相差多少”之外，还有“添上（或去掉）多少就同样多”等。
图形概念也可以采用语言变式加以呈现。例如“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”“有一个角是90°的三角形叫做直角三角形”“有两个角的和等于90°的三角形叫做直角三角形”，教师将三种关于直角三角形概念的描述，设计成“判断正误”的问题，让学生讨论。由于学生已有直角等于90°的知识，所以前两种描述一般没有困难，第三种描述则直接引发学生对直角三角形中两个锐角关系的讨论，得出结论“有两个角的和等于90°的三角形，它的第三个角一定是直角”。可见三种不同语言变式的呈现，诱导学生从不同角度加深对“直角三角形”概念的理解，同时也有效地拓展了学生的思维空间。
这些都是变化概念非本质属性的语言变式。
变化概念本质属性的语言变式如：“增加多少”与“增加到多少”，“增加几倍”与“增加到几倍”，等等。
数学概念具有抽象性，学生对概念的获得往往又直接来自具体的感性经验。因此，概念引入教学应当充分体现感性经验与概念抽象性之间的联系，选用适当的直观手段帮助学生形成正确、鲜明的概念。
(2)概念变式的出现时机
我们的教学实践表明：
首先，在初次引入概念时，采用概念的“标准形式”并尽量减少非本质属性的干扰，是适宜的。
其次，变式出现在对概念作出描述前或描述后，都是可以的。变式出现的时机不能一概而论，它受制于概念本身的特点、学生的已有认知水平和教师的教学艺术。
三、过程性变式
学生的数学学习过程是一个自主构建对数学知识理解的过程。在小学数学教学中实施过程性变式，旨在优化学生的学习过程，通过变式铺垫，建立学习对象与学习者已有知识的内在、合理的联系，使学生逐步获取知识或解决问题。这也是数学课程改革理念在课堂教学中得到具体落实的体现。
顾泠沅教授关于过程性变式的研究告诉我们：数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。基于这一分析，我们在小学数学的教学中进行了一些相关的行动研究。
1.意义建构的过程变式
意义构建的过程是新信息与长时记忆进行试验性联系的过程，其中伴随着一个随时对构建结果进行检验的过程。为达成所学数学知识的有意义建构，教师就应关注学生的“最近发展区”。教师在教学中实施意义构建的变式教学，就是强调教师通过适当的、动态的变式，引发、促进学生最近发展区的形成，最终实现潜在的发展水平。教学中，教师们常用的过程性变式教学策略“铺垫”就是一种形成数学知识意义构建的有效教学方式。
例如，为了展现“速度”概念的生成过程，根据以往的教学经验，直接给出两个物体运动的不同路程和不同时间，要求学生比较两个物体运动的快慢，效果不佳。因为解决这一快慢比较问题，只有计算单位时间内两个物体的路程一条路径，学生较难体会速度是由路程和时间两个量共同决定的。鉴于此，我们利用上海市“二期课改”教材提供的问题情境，将概念形成过程予以充分展开。
首先，放映运动场上三个小动物赛跑的动画课件，让学生凭借生活经验，说出比赛结果与判断理由，得出：路程相同，先到终点的快。（铺垫，激活已有经验）
然后出示课本插图（图7），引导学生复述、理解题意后，提出问题：三个小动物不在同一起点、同一时刻跑，怎样比较它们的快慢呢？（给出变式，激活认知冲突）
图7
组织学生进行小组讨论，各小组派代表全班交流：
(1)小牛和小熊比，它们跑的路程相同，小牛用了6分钟，小熊用了8分钟，小牛跑得快，即路程相同，比时间。（过程性变式1）
(2)小象和小熊比，它们用相同的时间，小象跑了544米，小熊跑了432米，小象跑得快，即时间相同，比路程。（过程性变式2）
(3)小象和小牛比，它们跑的路程、用的时间都不相同，不能直接比较，需要算出它们1分钟跑了多少米，再比（过程性变式3）
在此基础上引出速度概念，显得水到渠成，更主要的是让学生初步感受到了引入一个新的量来表示快慢的必要性。可见意义建构的过程性变式反映了概念形成的知识生成过程和认知活动过程，是二者的和谐统一。
后来，区里组织的学习质量调研中有这样一道题：小巧家到学校的路程有680米，她用8分钟走到，小胖家到学校的路程有1280米，他用16分钟走到。
(1)小巧和小胖谁走得快些？（用算式并计算说明）
(2)你还能用其他的方法比较吗？（用算式并计算说明）
我校学生第(2)个问题的得分率远高于区平均水平。他们有的用680×2，比较小巧、小胖16分钟里走的路程；有的用1280÷2，比较8分钟里走的路程。这一测试结果从一个侧面反映了意义建构过程变式的教学效果。
2.规律探究的过程变式
小学数学中有一些比较适合让学生进行探究学习的内容，比如关于物体面与体的很多计算公式，它们既具有相对的独立性，又有互相渗透、互相联系的层次性。以梯形面积公式的推导为例，在此之前学生已经掌握了长方形（包括正方形）、平行四边形、三角形面积的计算公式，对图形的转换以及对转换的思路“将面积计算公式未知的图形转换成面积计算公式已知的图形”也有了一定的认识。这些都是探究梯形面积公式时可供利用的基础。
教学时先复习长方形、平行四边形、三角形的面积计算公式，并让学生叙述平行四边形、三角形的面积计算公式的导出过程。
接着提出探究目标：找出梯形的面积计算公式。（定向）
启发学生思考：（搭建脚手架）
(1)你打算把梯形转化为什么面积公式已知的图形？
(2)怎样转化，是拼，还是割补，还是划分？
(3)你会计算转化后图形的面积吗？
(4)转化后图形的面积与原来梯形的面积是什么关系？
(5)试一试，总结梯形面积计算公式。
每个学生都备有两张形状、大小完全相同的梯形纸片以及剪刀、尺、笔等工具，同桌两人或前后四人可以商量，教师巡视给予适当的点拨。然后组织交流，让学生说出自己的探究结果，允许相互补充。学生想到的转化方法有很多，教师按照转化成长方形、平行四边形、三角形、平行四边形+三角形加以梳理。也有转化错误、失败的，如：划分成直角三角形和直角梯形，直角梯形的面积计算方法仍然是未知的；尝试将直角三角形剪下，试图拼成长方形，发现拼不成；划分成两个直角三角形和长方形，但没想到两个直角三角形可以拼成一个三角形，以致半途而废。
在探究、交流的过程中，各种转化变式的出现是随机的，一节课内学生想到的变式种数也有较大的差异。我们的对策是，学生能得出几种就出示、交流几种，不求全。如果转化为平行四边形、长方形、三角形的三条基本思路和拼、割补、划分的三种基本方法有缺失，就启发感兴趣的学生课后继续探究。同样，学生采用不同方法得到的不同算法，如：(a+b)÷2×6;(a+b)×(h÷2);a×h+(b-a)×h÷2;a×h÷2+b×h÷2等，也不强求统一成梯形面积计算公式的标准形式。因为多样化的算法有利于开拓学生的思路，这也是实施过程性变式的目的之一。事实上学生最终都会认同梯形面积计算公式的标准形式：S=(a+b)×h÷2。
我们认为不同学生数学学习的差异是客观存在的，规律探究的过程性变式关注的是学生的探索与体验，教师构建适当的变异空间，铺设适当的潜在距离，不同学生经历的过程、获得的结果与感悟有所差异是自然的、正常的。
此外，我们已有的数学问题解决的变式教学的研究成果主要是数学问题本身的变换及其策略，所以归入“训练性变式”一并讨论。
四、训练性变式
训练性变式包括训练题目的变式、解题方法的变式与训练实施的变式。数学的训练性变式由来已久，很多教师都在自觉或不自觉地设计、实施变式训练，但在以往的教学实践中多数数学教师最为关注的是解题方法的变式，追求解题方法的多样性。这里着重从习题设计的视角讨论训练题的变式。
1.扩缩性变式
扩缩性变式就是依据数学知识之间内在的联系，在习题设计时采用改变条件或改变问题的方式，使数学问题的结构由简单到复杂（扩）或由复杂到简单（缩）地发生变化，以帮助学生“拾级而上”。“扩”反映了认知与训练逐步递进的发展、变化与深入，是一种“由薄到厚”的学习、训练过程；“缩”则体现了数学的“化归”思想，是一种“由厚到薄”的学习、训练过程。
例如，“解方程”的综合性练习可设计如下变式题组：
这是由简到繁的设计，意在凸显方程求解过程就是运用等式性质不断化简方程的过程，最终得到最简方程x=2，从而帮助学生明确解方程的思路，掌握解方程的方法。实践表明，学生通过练习，确能有所感悟。
扩缩性变式在小学数学实际问题解决的教学与训练中有着比较广泛的应用，通常表现为把一个只需一步或两步计算的实际问题改变成需要两步、三步计算才能解决的实际问题，或者相反。这是问题解决复习课最常用的教学与训练方式之一，它能让学生看到实际问题发展变化的来龙去脉，有利于帮助学生形成“以简驭繁”的思路。
2.可逆性变式
心理学认为，思维具有可逆性，指思维活动既可以向一个方向运行，也可以返回，向另一个方向运行，简言之即思维过程的反演。思维的可逆性是一种积极的心理活动，也是数学思维的重要特征之一。
可逆性变式是指数学题目中的条件与问题互相置换的变化。它要求教师在对学生进行正向思维训练的同时关注逆向思维的训练，从而有效地培养学生思维的变通性。
例如，约分概念的逆向思维训练题：化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得
。原来的分数是多少？②
又如，三角形面积计算的逆向思维训练题：一张直角三角形的纸片，沿着两边中点的连线剪下，拼成了一个长方形（图8）。已知长方形长18厘米，面积是90平方厘米，原来直角三角形的两条直角边各是多少厘米？
图8
这里，学生的思维需要依据“剪下”“拼成”进行反演，即在头脑里通过“拆开”“拼上”恢复原来的直角三角形，然后才能算出所求。
可逆性变式也是实际问题解决的常用教学手段。例如，要求学生将求路程的题目改编成求时间或求速度的题目。实践表明，经常进行这种实际问题改编的口头练习，有助于学生掌握相关问题的结构，多侧面地掌握数量关系。
3.情境性变式
情境性变式主要用于实际问题解决的教学，通常是保留问题的数学模型，改变问题情境的内容。情境性变式不仅有利于学生“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心”③，还有助于提高学生运用所学数学知识分析、解决实际问题的能力。
例如，以“鸡兔同笼”问题为原型，我们设计了一组情境性变式：
(1)拼装9辆三轮车和自行车，共用了22个车轮。三轮车和自行车各装了几辆？
(2)18个同学同时在6张乒乓球桌上进行单打、双打比赛。有几个同学在单打？
通过练习，使学生透过不同的问题情境看到相同的数学实质，如果列成方程，这些方程具有相同的结构形式：
(1)设三轮车装了x辆，依题意，得方程
3x+2(9-x)=22
(2)设有x张球桌在单打，依题意，得方程
2x+4(6-x)=18
显然，这对发展学生的抽象概括能力、培养学生初步的数学建模能力都是非常有益的。
4.开放性变式
开放性变式是指改变题目的条件或者问题，使答案或解题策略具有多样性。它能突破思维定势的束缚，促进发散性思维的生成，是培养学生数学思维灵活性的一种有效途径。
开放性变式可以分为条件开放、结论开放、策略开放三种类型。
条件开放如“白兔有36只，＿＿，白兔和灰兔共有几只”这种传统的补条件练习，实际上是在训练学生根据问题，自己去寻找、补充解决问题所必需的信息，也是一种“执果索因”的问题解决思路训练。又如“在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5000米”。这里去掉了两人的运动方向，导致出现相向、背向、同向（小明在前或小刚在前）等多种情况。
结论开放如“把正方形划分成四个形状、大小都相同的图形，你能想到几种分法”。
策略开放最常见的就是所谓“一题多解”的训练，这里就不再举例了。
其实，有时只要改变问题的叙述方式就能达到策略开放的练习效果。例如：
原型：小丁丁看一本童话书，5天看了60页，照这样计算，9天能看多少页？
变式：小丁丁看一本童话书，5天看了60页，照这样计算，9天能看110页吗？
学生可以通过计算9天能看多少页(60÷5×9=108)，把得数与110比大小；也可以通过计算看110页需要几天(110÷(60÷5)=9……2)，说明9天看的比110页少了2页；还可以运用推算，5天看了60页，10天可看120页，9天比10天少1天，少看12页，120-12＜110，作出判断。
一般来说，开放性变式训练应当在一定的基础性、收敛性练习之后，根据教与学的需要设计并酌情进行。恰到好处的条件开放、结论开放、策略开放的变式训练，能够激发学生参与数学练习的兴趣，在达成知识技能学习目标的同时，也有利于学生发散思维、求异思维、直觉思维的培养。
此外，上面分别讨论的几种变式训练方式也可以综合使用，即形成“综合性变式”。
例如，上面扩缩性变式给出的方程，其方程的解都是x=2，反过来，要求学生“写出解是x=2的方程”，这就是比较典型的可逆性变式与开放性变式相结合的变式训练。
五、变式教学的基本原则
1.目的性原则
在教学设计中教师首先要明确教学目标，即明确教什么，达到什么目的，学生在学习过程中“会”什么、“懂”什么、“悟”什么，都应心中有数。在此基础上紧扣教学目标，发挥教师的创意，设计变式教学。要克服变式教学中的随意性，避免盲目地变、为变而变。可以说，变式教学也是以目标为导向的教学的组成部分，围绕着教学目标展开变式教学，才有可能充分发挥其效果、效率和效能。
2.针对性原则
变式教学应在目的明确的基础上加强针对性，即抓住概念、问题的本质特征，遵循学生认知心理发展的特点，根据实际需要有针对性地设计与施行。一般来说，可针对教与学的重点、难点与关键，针对学生易错、易混、易忘的知识与技能，实施有意义的变式。
3.适度性原则
适度性原则在变式教学中主要体现在两个方面，一是因材施教，对不同层次的学生设计有难度区别的变式，或者提出有难度区别的训练要求。二是原式与变式、变式与变式之间的难度变化要有坡度，体现层次性。不然，过于追求高难度的教学，容易给学生造成过重的学习心理负担，使他们产生逆反心理。这样教学效果就会适得其反。
4.主动性原则
认知心理学认为，学习是学生主动地在头脑内部构造认知结构。学生的知识构建过程是无人能替代的，也不是他人能硬输入其脑中的。因此，教师在教学中必须引导学生，调动其认知结构中的已有知识经验，主动参与探究新知的过程，从而发现新知的本质属性以及变式与本质属性之间的实质联系，有效构建知识网络，加深对知识的了解。
5.反思性原则
数学教学需要学生在学习过程中通过及时地、不断地反思，总结经验教训，完善认知结构。这对提高变式教学的有效性尤为重要。
如前所述，变式有可能是形式不同但本质属性相同；也可能是形式有所相似而本质属性不同；还可能是形式与本质属性既有相似又有不同。变式与原式之间多样性的变化，决定了学习者必须在不断的反思中发现规律、发现它们的本质联系。否则，不仅影响效果，甚至有可能导致认知上的混乱。
注释：
①顾明远主编.教育大辞典.上海教育出版社，1999年，第186页.
②卢江，杨刚.义务教育课程标准实验教科书·数学.五年级上册.人民教育出版社，2005年，第87页.
③中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001年，第6页.