基于低碳技术转让的寡头企业价格博弈的稳定性分析

司凤山，戴道明，孙玉涛

(安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030)

[摘 要 ]在考虑低碳技术转让的基础上，建立带时滞的动态双寡头价格博弈模型，分析模型Hopf分岔的存在性，给出系统局部渐近稳定性的条件,探究时滞参数、价格调整速度和低碳技术转让程度对系统稳定性的影响。研究表明，时滞参数和价格调整速度必须在合理的范围内变动，否则易使系统失稳；低碳技术转让程度越高，其自身利益受损越严重。

[关键词 ]低碳技术转让；价格博弈；稳定性

1研究背景

为了更好地发展绿色经济和满足消费者的低碳偏好，企业不断加大低碳生产技术的研发力度。但是由于经济实力所限，各企业低碳技术研发水平相差甚远。没有技术研发能力的企业便争取技术转让，以此实现低碳产品的生产。

对于低碳技术方面的问题，慕艳芬等^[1]分析了碳税对制造商选择低碳技术的影响，但是市场大小会制约低碳技术选择的效果。魏守道等^[2]研究了碳税制约下的供应链企业竞争或合作研发低碳技术的博弈模型，分析了低碳技术研发的策略选择问题。刘名武等^[3]在分析低碳技术特征的基础上，在考虑碳交易和消费者低碳偏好的背景下，构建了低碳技术减排投入与合作的微分博弈模型，给出了促进零售商低碳合作的市场条件和实现双赢的低碳技术特征条件。蔡小哩等^[4]通过构建博弈模型研究供应链中的低碳技术与定价问题，对比分析了不同博弈模式下的制造商、零售商和供应链整体利润的差异，实现了供应链节点企业收益的帕累托改进。这些研究成果为企业在政府征收碳税的背景下促进低碳技术研发或低碳技术转让提供了有价值的参考。

关于双寡头博弈问题，张雅慧等^[5]研究了具有溢出效应的双寡头产量博弈模型，给出了最优产量解析式，分析了产量调整速率对模型稳定性的影响。李金溪等^[6]通过建立委托—代理的双寡头博弈模型，分析了节能激励合同对竞争策略和企业利润的影响。王琦玮等^[7]构建了四维的Bertrand离散价格博弈模型，在考虑技术吸收效益的基础上讨论了价格、利润和成本之间的关系，分析了决策参数对系统稳定性的影响，并对失稳系统进行了稳定性控制。Luca Gori等^[8]基于产品差异构建了非线性双寡头价格博弈模型，研究了二维离散系统的局部和全局的系统特性。Yue Xiao等^[9]构建了非线性双寡头Stackelberg博弈模型，分析了异构企业应对产量差异的策略问题，探究了博弈模型复杂的动力学行为。学者普遍对离散的双寡头博弈模型的复杂动力学演化行为进行了分析，探究了决策参数对博弈系统稳定性和复杂性的影响。这为本文研究连续的时滞微分博弈模型的动力学特性奠定了坚实的基础。

通过文献梳理可以发现，在双寡头企业之间考虑低碳技术转让的研究还比较少见。文献[10]考虑了双寡头之间的技术转让问题，但只采用了运筹的方法对比分析了有无技术转让机制下的最优策略，研究方法略显单一。另外，文献[10]中始终假定两个寡头企业单位产品的生产成本相同，这种假设略显不妥：一是假定掌握低碳技术企业的生产成本低于无技术企业的情形才更合理；二是企业在获得低碳技术转让后，单位产品的生产成本应该随着技术转让程度有所下降，这样考虑才更符合实际。

本文针对文献[10]存在的以上不足，在考虑低碳技术转让、延迟决策和生产成本动态变化的基础上，构建带时滞的动态价格博弈模型，采用非线性动力学理论和系统复杂性理论分析双寡头企业价格博弈系统的动力学行为，探究时滞参数、价格调整速度和技术转让程度对价格博弈系统和寡头企业利润的影响，力争为企业决策提供帮助。

2构建博弈模型

市场中存在两个生产同质低碳产品的寡头企业，记为企业1和企业2，二者展开价格竞争。这两个企业都积极追求产品低碳化，努力提高产品的绿色水平,以满足消费者需求。其中，企业1研发出了产品低碳化生产技术，技术水平为L ；研发投入成本为C _L =γL ²/2，γ 为成本系数；单位产品的生产成本为c ₁，零售价为p ₁，市场需求量为q ₁。企业2由于没有研发出低碳生产技术，单位产品的生产成本c ₂较高(c ₂>c ₁)，零售价为p ₂，市场需求量为q ₂。企业1和企业2的产品需求函数为：

q ₁=a -α ₁p ₁+β ₁p ₂.

(1)

q ₂=a -α ₂p ₂+β ₂p ₁.

(2)

其中，a 为产品的潜在最大需求量,a >0；α 为价格敏感系数,α _i >0，β 为交叉价格敏感系数,β _i >0，且α _i >β _i >0，i =1,2。为了便于计算和分析，令α ₁=α ₂=α ，β ₁=β ₂=β ，且α >β >0。

因为企业2没有掌握低碳生产技术，企业1可以向企业2有偿转让相关技术。企业2会根据技术转让程度和产品销量向企业1支付转让费，费用为q ₂φθL 。其中，θ 为技术转让的程度，θ =0表示不转让技术，θ =1表示全部转让；φ 表示企业2销售单位产品应该向企业1缴纳的费用系数。此外，由于企业2获得了转让技术，单位产品的生产成本会降低，成本降低幅度依赖于获得的技术转让程度θ 。此时，企业2单位产品的成本为C ₂=c ₂-ηθ ，其中η 表示转让单位程度的技术时，企业2的成本下降幅度系数。

4.2.3 过期食品销毁制度。过期食品销毁制度应包括但不限于销毁执行人、销毁方式、销毁食品信息、销毁记录、记录保存期限。应对超过保质期的食品进行染色、毁形等处置，记录超过保质期食品处置结果，记录保留不少于2年，并向消费者提供记录。不应将过期食品退回供货者。接监管部门通报等发现存在不安全食品的，经营者应及时落实下架停售、召回等措施，记录下架召回食品的品名、批次、数量、原因、结果等，保留记录2年。

企业1和企业2的利润函数为：

(Ⅱ)当τ >0时，计算可得B -ω ²=-0.886≠0，即满足条件(H₂)。另外，2B -A ²=-2.286<0，B ²=0.882>0且(2B -A ²)²-4B ²=1.698>0，根据理论分析可知系统(20)有两个正根。根据式(16)和式(17)可以得到τ ₀=1.163，ω ₀=1.351。此外，P _R Q _R +P _I Q _I =7.618≠0，即满足条件(H₃)。综上可知定理1成立。

π₁(p ₁,p ₂)=q ₁(p ₁-c ₁)-C _L +q ₂φθL .

(3)

π₂(p ₁,p ₂)=q ₂(p ₂-C ₂-φθL ).

(4)

其中，π₁为企业1的利润；π₂为企业2的利润。另外，企业往往依据自身的边际利润进行价格决策。当边际利润为正时,企业提高价格；当边际利润为负时,企业降低价格。企业1和企业2的边际利润分别为：

(5)

企业1和企业2的动态价格调整过程分别为：

(6)

其中，k ₁和k ₂分别表示企业1和企业2的价格调整速度。因为当前价格难以准确及时掌握，所以企业通常会参照历史价格进行产品定价，也就是把某一历史时期的价格作为当前价格的近似值。假设企业1和企业2都参照相同历史时期的价格进行决策，历史价格分别为p ₁(t -τ )和p ₂(t -τ )。其中，τ ≥0表示时间段，t -τ 意味着距离当前τ 之前的历史时刻。本文将τ 称作时滞参数。

宝清县节水增粮行动项目区论证面积628.61km2，地下水资源量4 042.45万m3，其中大气降水入渗补给量为2 150.8万m3，占总补给量的53.21%，侧向径流量为1 570.15万m3，占总补给量的38.84%，渠系渗漏补给量为9.27万m3，占总补给量的0.23%；田间入渗补给量为48.21万m3，占总补给量的1.19%，河流渗漏补给量为264.06万m3，占总补给量的6.53%。地下水可开采量为41.65万m3。

至此，基于式(6)带双时滞的动态价格博弈模型为：

(7)

3 Hopf分岔的存在性及局部渐近稳定性

Docker 是一种轻量级的虚拟化技术，启动快，资源占用小，它不依赖任何操作系统、开发框架和设计语言，具有将 Web 应用及所需要的应用环境快速打包发布的能力。Docker工作原理：

经计算，模型(7)的均衡点为企业1和企业2的零售价经长期博弈后会趋于该均衡点。其中，

通过数值仿真验证理论分析的正确性，并探究时滞参数τ 、价格调整速度k ₁和技术转让程度θ 对价格博弈系统稳定性的影响，分析利润受影响时的变化趋势。

金融是经济的核心，而银行业作为金融的主导，好似国民经济的“气”和“血”，如果银行业利润高出其他行业太多，则表现为国民经济“气血旺”和“虚火上升”，导致经济的一种病态发展，不利于整个国民经济体系的协调运行。而且在经济下行压力加大的背景下，银行业与实体行业利润的巨大差异，会使一部分实业企业家不愿再埋头踏踏实实从事实体行业的研发、创新、转型和升级，转行加入金融业的“虚拟化经济循环”中，因为短期看，由此获取的收益远比从事实业容易得多、高得多，而这样一来，实体经济与虚拟经济的平衡便难以维持，从而容易吹大经济泡沫。

(8)

模型(8)的特征方程为：

λ ²+Ae ^-λτ λ +Be ^-2λτ =0.

(9)

其中，

(I)当τ =0时，式(9)可简化为：

λ ²+Aλ +B =0.

(10)

根据赫尔维茨定理可知，当满足条件(H₁)：A >0，B >0且AB >0时，模型(7)在均衡点处是局部渐近稳定的。

一方面林下生态养鸡可充分利用林下的各种饲料资源，最大程度节约饲料成本，估算下来一只鸡从出雏到出栏整个饲养周期可以降低饲养成本50%，直接减少饲料成本10元左右；另一方面林下生态养鸡从品种选择、饲料配制、饲养方式、饲养环境到出雏时间都严格遵循林下养鸡模式进行，从而保证了出栏鸡的品质，林下养鸡模式出栏的鸡价格要比一般养殖场饲养的鸡贵，一只鸡增加收入20元。综合计算，林下养鸡模式饲养一只鸡可以比其他养殖增加直接经济效益30元，经济效益显著。

(II)当τ >0时，式(9)两边同时乘以e ^λτ 为：

λ ²e ^λτ +Aλ +Be ^-λτ =0.

(11)

令λ =iω (ω >0)为式(11)的一个根，可得：

(12)

当满足条件(H₂)：B -ω ²≠0时，可求得：

(13)

则有：

ω ⁴+(2B -A ²)ω ²+B ²=0,

(14)

令s =ω ²，式(14)可为：

随着网络技术的发展，网络电视也是人们日常生活必不可少的娱乐方式，因此，利用网络新技术，打造网络电视客户端，不仅可以增加电视台收视率，对于电视台而言也是持续发展的重要网络技术。

s ²+(2B -A ²)s +B ²=0.

(15)

①若满足条件2B -A ²>0且B ²>0时，式(15)没有正根；②由于B ²>0，所以式(15)不存在只有一个正根的情况；③若满足条件2B -A ²<0，B ²>0且(2B -A ²)²-4B ²>0时，式(15)有两个正根。

考虑到一般性，假定式(15)存在两个正根，记为s _n ，那么根据式(13)得到：

(16)

当时，±iω _n 是式(11)的一对纯虚根。

令

(17)

对式(11)两边求λ 关于τ 的导数，可得：

(18)

(19)

定理 1 如果条件(H₁)～(H₃)成立，那么当τ ∈[0,τ ₀)时，模型(7)在均衡点处局部渐近稳定；当τ =τ ₀时，模型(7)产生Hopf分岔；当τ >τ ₀时，模型(7)不稳定。

如果条件(H₃)：P _R Q _R +P _I Q _I ≠0成立，则满足产生Hopf分岔的横截性条件。根据文献[11]可得如下结论。

其中，

(4) 测试采用逐级一次循环法，每级载荷施加完成后每3 min～5 min测读一次变形，当变形达到相对稳定标准后方可施加下一级载荷。

4数值仿真

模型(7)在均衡点处可线性化为：

为了更好地展现系统的动力学演化行为，参数取值如下：a =1.2，α =0.8，β =0.5，L =1，φ =0.01，γ =0.2，η =0.2，c ₁=0.2，c ₂=0.4，θ =0.5，k ₁=0.5，k ₂=0.5。此时，模型(7)为：

(20)

经计算，系统(20)的均衡点为E (1.256,1.295)。

(Ⅰ)当τ =0时，计算可得A =2.041>0，B =0.939>0，AB =1.917>0，所以满足条件(H₁)，系统(20)在均衡点处是局部渐近稳定的。

60年风雨兼程，60载春华秋实。60年来，勤劳勇敢的开磷人砥砺奋进，从一个地处贵州大山深处的单一磷矿石生产企业发展成为一个立足贵州、服务全国、面向世界的现代化大型企业集团。

4.1 时滞参数τ 对系统稳定性的影响

根据定理1可以明确，τ 取值范围的不同将引起系统状态的变化。τ 对系统(20)稳定性的影响如图1所示。

王老鼠要养鱼了（ 下）（龚祥根等） ............................................................................................................ 8-60

图1 系统(20)关于τ 的分岔图

从图1可以看出，随着τ 的增大,系统从稳定状态经过分岔进入不稳定状态，直至进入混沌状态。系统的分岔临界点为τ ₀=1.163，其两侧的系统状态截然不同。当τ =1<τ ₀时的吸引子如图2(a)所示；当τ =1.3>τ ₀时的吸引子如图2(b)所示。

图2 系统(20)的吸引子

当τ =1时系统是稳定的，企业的价格经过长期博弈后会趋于均衡点E (1.256,1.295)。当τ =1.3时系统是不稳定的，企业价格始终处于不稳定的混乱状态，这不利于价格决策和企业获利。因此，企业参照的历史价格不是越久远越好，而必须在距离学前时刻一个合理的范围内，否则系统会失去稳定。

4.2 价格调整速度k ₁对系统稳定性的影响

企业为了追求利润最大化，有时会加快价格的调整速度,但是过快的价格调整速度会对系统带来不利的影响。价格调整速度k ₁对系统稳定性的影响如图3所示。

以下分析都是以系统稳定为前提的，所以取τ =0.5<τ ₀。图3与图1类似，当k ₁超越临界值k ₁₀=1.48时，系统失去稳定,进入混沌状态。当k ₁∈[0,0.05)时系统是不稳定的，所以价格调整速度的合理范围为k ₁∈[0.05,k ₁₀)。

图3 当τ =0.5时，系统(20)关于k ₁的分岔图

图4 当τ =0.5时，θ 对企业利润的影响

4.3 低碳技术转让程度θ 对企业利润的影响

低碳技术的转让必然导致两企业利润的变化，利润变化趋势如图4所示。

高职学校要培养出符合企业发展需要的人才，既可以从应届高中生中选择进行培养，也可以对企业一线职工进行技能提升，高职学校要成为企业的技术后盾。而企业则要准确告诉告知学校他所需要的专业领域技能水平，学校只有在对企业要求进行全面了解之后，才可进行有针对性培养。

从图4可以看出，π₁与θ 负相关，π₂与θ 正相关。虽然企业1获得了转让技术收益，但是企业2由于获得了低碳技术，利润明显增加，而企业1则恰恰相反。这也是企业不轻易转让技术的原因所在。

4.4 价格调整速度k ₁和技术转让程度θ 对利润的影响

参数k ₁和θ 对利润的影响如图5所示。

图5 当τ =0.5时，k ₁和θ 对企业利润的影响

从图5可以直观地看到，θ 从0增加到0.05时，企业1和企业2的利润都直线增大，并在θ =0.05时出现转折，此后企业1的利润开始逐渐下降，而企业2的利润逐步上升。这说明技术转让程度较低时无法影响市场份额，企业1因获得技术转让费而使利润明显增加；企业2由于获得低碳技术降低了生产成本，利润也显著增加。但是技术转让程度较高时会导致两企业利润的变化趋势截然相反。此外，价格调整速度k ₁对利润几乎没有影响。

（19）托尔斯泰开始为《复活》设计的结尾是：让[Pro][[卡秋莎[Cor1]嫁给[Pro+PrEx]聂赫留朵夫[Cor2]]，然后离开俄国，侨居英国……

表5所示试验3组血清中IgG和IgM含量显著高于试验1组（P＜0.05），其他三组血清中IgG和IgM含量差异不显著（P＞0.05）。四组血清中IgA的含量无显著差异（P＞0.05）。总体来看，试验2、3、4组血清中IgG、IgM和IgA含量都高于试验1组。

5结语

针对生产同质产品的双寡头企业，本文在考虑低碳技术转让的背景下，建立了带时滞的动态价格博弈模型，从时滞参数等于零和大于零两个方面，给出了Hopf分岔存在的条件，分析了系统在均衡点处的局部渐近稳定性。通过数值仿真探究了时滞参数和价格调整速度对价格博弈系统稳定性的影响，分析了低碳技术转让程度对双寡头企业利润的影响。研究表明，无论是时滞参数还是价格调整速度都必须在合理的范围内，否则会导致系统失稳。低碳技术的转让会导致寡头企业存在不同的利润变化趋势，技术接受者获益明显。此外，还可以通过设计合理的协调机制，在技术转让的同时实现双赢，这是未来研究的方向。

[参考文献 ]

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[3]刘名武,万谧宇,付红.碳交易和低碳偏好下供应链低碳技术选择研究[J].中国管理科学,2018(1):152-162.

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[7]王琦玮,赵刘威,梅强,等.双寡头Bertrand博弈模型动态分析与混沌控制[J].统计与决策,2017(21):38-41.

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[9]Yue Xiao,Yu Peng,Qian Lu,et al.Chaotic dynamics in nonlinear duopoly Stackelberg game with heterogeneous players[J].Physica A,2018(492):1980-1987.

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[11]Kuznetsov Y A.Elements of applied bifurcation theory[M].New York:Springer,2004.

Stability Analysis of Price Game of Oligopoly Enterprises with Low Carbon Technology Transfer

SI Feng-shan, DAI Dao-ming, SUN Yu-tao

(School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233030,China)

Abstract :Considering the transfer of low-carbon technology, a dynamic duopoly price game model with delays is established. The existence of Hopf bifurcation is analyzed and the conditions of local asymptotic stability are given. The impact of delay parameters, price adjustment speed and low carbon technology transfer degree on system stability is explored. The research shows that the delay parameters and price adjustment speed must be within a reasonable range, otherwise the system will be easily unstable; the higher the degree of transfer of low-carbon technology, the more serious the damage to its own profits.

Key words :low carbon technology transfer; price game; stability

[中图分类号 ]F224

[文献标志码] A

[文章编号] 2095-7602(2019)02-0091-06

[收稿日期 ]2018-09-19

[基金项目 ]安徽财经大学校级科研项目“低碳约束下的多寡头企业供应链定价及运营复杂机理研究”(ACKY1851)；安徽省教育厅高校人文社会科学研究重点项目“双渠道供应链的定价策略博弈分析”(SK2017A0434)；安徽省高校自然科学研究项目“基于EM算法与隐Markov模型复杂系统辨识问题研究”(KJ2017A428)。

[作者简介 ]司凤山，男，讲师，博士，从事供应链管理、微分博弈研究。

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