函数概念是怎样被理解的，本文主要内容关键词为：是怎样论文,函数论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
函数概念是中学数学的核心概念之一，也是数学学习中最难以理解的概念之一.长期以来，为了突破这一教学难点，理论研究者与一线教师可以说是煞费苦心，想尽了办法，可是效果总是差强人意.有调查显示[1]：（1）初三学生并不用“一个x对应唯一一个y”来判断某种对应关系是否为函数；（2）高一学生在面对“利用定义判断图象所反映的y和x的关系是否是函数关系”这个问题时，只有21%的学生做出了正确的回答.在另一项调查中发现[2]：高二与高三的学生对函数的定义实质大多模糊不清；对于问题“y=±2x是否是函数”及“方程
=4x的曲线是否为函数的图象”，有过半的学生答错或不置可否.然而，类似的问题却在一节初中函数概念学习的起始课上，由初二的学生给出了精彩的解答.请看下面所展示的课堂学习中学生讲解的片断.
学案设计：
①下面这个表格（如表1）是否表示y是x的函数？为什么？
②右边这个图象（如图1）是否表示y是x的函数？为什么？
③等式y=±
是否表示y是x的函数？为什么？
④上面三个问题，如果不是函数，分别如何改正，才能使得y是x的函数？
学生讲解实录：
（讲解的学生来自于不同的学习小组，“生1”表示的是第1小组的学生，其他类同.）
：第①题中的表格是否表示y是x的函数？我们小组认为这道题中，y不是x的函数，因为每给定一个x的值，相应的就确定了两个y的值，如，x=2时，y的值为2和-2，不符合“结果只能是唯一的”，所以y不是x的函数.
：请同学们看第②题，这个图象是否表示y是x的函数？我们的答案是否定的.将这个圆沿垂直x轴方向切一刀（在黑板上形象地划了“一刀”），这条直线与x轴有一个交点，与圆有两个交点，而这两个交点对应两个y值，所以y不是x的函数，
：请大家看第③题，这道题中，y不是x的函数，因为当x=0时，y=0，此时一个x的值对应唯一一个y值0；但是，当x取任意一个非0正数时，x值都对应了两个互为相反数的y值，所以y不是x的函数.
：我们先来看第①题和第③题是如何修改的.根据函数的定义我们知道，给定一个x的值，只能对应唯一的一个y值，所以在第①题的表格中，只需要去掉表格中的“+”或“-”，那么y就是x的函数了；第③题也可以直接去掉等式中的“+”或“-”，y就是x的函数了.下面我们来看看第②题如何修改.我们擦去上半圆或下半圆，剩下的图象上每个点都只对应着一个y值，那么y就是x的函数了（边说边在黑板上做着修改）.
：我把第①题的表格中所有的y值都改成1（边说边上台用粉笔修改，此时，教室里开始叽叽喳喳地小声议论起来，较多的人说不对，有几个人说对）.定义里说的是给定一个x的值，只能对应唯一的一个y值，这里每个x的值，都只对应唯一的一个y值.
（第一组的另一名学生）：对于第②题，我们组是擦去左半圆或右半圆.
（话刚一说完，全班哗然，包括他身边的同学都在说！）
：我们认为第1组的修改是错的.因为剩下的那个半圆的两个端点所对应的x值是相同的，但是它们所对应的y值却是不同的两个值.我们可以过圆心作x轴和y轴的垂线，将圆平均分成四份，然后任意擦去3份，剩下的图象就表示y是x的函数了.
：第七组的同学的确讲得很好，我们组也有一种不同的修改，在第七组同学的基础上，我们擦去上半圆的右半部分和下半圆的左半部分，再擦去上半圆的最高点，剩下的图象就可以表示y是x的函数了（一边说，一边在黑板上画出图形，同学们一目了然）.
面对好多高中学生都不能解答的问题，这些刚刚接触函数概念的初中学生的讲解，真是特别的精彩！在学习的过程中，既没有可供模仿的例题，也没有进行相关的针对性训练，因此，有理由说，学生的这些精彩表现只能来自于他们对函数概念深刻的理解.那么，函数概念是如何被学生理解的？以下将从学习者的视角，通过对以学案为载体、以学生讲解为主要学习环节的教学案例的分析，揭示初中学生理解函数概念所经历的认知阶段.
二、案例背景
本文所展示的教学案例是李春艳老师在一次“献课”式课堂观摩活动中的学案及其教学片断.本节课的教学内容是北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“6.1函数”（第一课时），采用的教学方法是“导学讲评式教学”[3]（简称DJP教学）.DJP教学是以学案为载体，以“导学、讲解、评价”为主要环节的教学方法，其中的“讲解”是指师生共同参与的“对话性讲解”，是该教学方法的中心环节.
三、理解函数概念的认知过程
概括地讲，在本节课中，学生理解函数概念经历了五个相互联系的认知阶段：个别的看、重复的看、想象的看、一般的看和应用的看，这里的“看”指的是一种直观判断.
1.个别的看
学案设计：
事例1 堆木材中的函数（列表法）.
完成教材第178页的“做一做”：先填表后回答问题.
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如教材中的示意图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填写下表（如表2）：
（2）此题中有两个量在变化，它们是层数n和物体总数y，而且y是随着n的变化而变化的.当n的值给定时，y的值也就随着唯一确定了.比如，当n=4时，y=__________.
（3）其实，用表格中的最后一栏的式子也能算出每一层的物体总数.比如，当n=100时，y=________________________.
对话性讲解片断：
：我们观察到层数为1时有1根木材，层数为2时有3根，层数为3时有6根，那么层数为4时有10根，层数为5时有15根，层数为n时有
根.
师：那么这道题中，有几个量在变化呢？它们又是如何变化的？
：在此题中有两个量在变化，它们是层数n和物体总数y，而且y是随着n的变化而变化的.当n的值给定时，y的值也就唯一确定了.比如，当n=4时，y=10.其实，用表格中最后一栏的式子也能算出每一层的物体总数.比如，当n=100时，y=5050.
【认知分析】格式塔心理学认为，人对事物的认识一般总是从整体开始的.对思维而言，具体的东西在现实中起初是一个整体的表象[4].在学案设计中（事例1），将背景材料、函数定义的整体框架一并呈现出来，使学生从观察操作的开始就树立起一种“一般的看”的态度：把事例1看作只是“一般函数”下的一个具体例子，这种态度为观察操作过程指明了目标和方向.特别是将函数最为本质的内涵“变量间的对应关系”以问题的形式（由n的值计算y的值）镶嵌在函数的定义框架之中，让学生在函数概念的整体背景下展开观察活动，使“个别的看”（对具体事例进行直观感知或经验操作）在一种联系当中具有了一种整体的意义.从学生的讲解中可以看出，他们并不是孤立地由n的值计算y的值，而是在兼顾“有两个变量”与“一个量随着另一个量的变化而变化”这两个函数属性的基础上，去理解“当n的值给定时，y的值也就唯一确定了”这一属性的.
2.重复的看
学案设计：
事例2 刹车中的函数（关系式法）.
在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s米，现知道公式为
，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）.
（1）填写下表（如表3）：
（2）此题中有两个量在变化，它们是_____________和____________，而且_________是随着__________的变化而变化的.当v的值给定时，s的值也就随着唯一确定了.比如，当v=60时，s=_____________.
事例3 游乐场里的函数（图象法）.
★想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？教材图6-1反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系.
（1）填表（如表4）.
（2）在此题中有两个量在变化，它们是________和________，而且___________是随着________的变化而变化的.当___________的值给定时，____________的值也就随着唯一确定了.比如，当t =3时，h=________________.
【认知分析】“概念是在大量事实的积累与辨别中形成的.”[5]只有当概念在具体事例中不断地“侧显”时，才能触动人们天生所具有的那种“概括倾向”而被人们的心智所捕获.事例2（刹车中的函数）与事例3（游乐场里的函数）整体上重复了事例1的结构，只是观察探讨的问题在不断增加，在事例3中，函数的三个基本属性均需关注.函数的完整概念连续地在三个事例中“侧显”，使得这三个事例不再是相互孤立的，而是具有了一种整体性的联系.前面的事例为后面事例的观察提供了方向和线路，成为了一种“范例”，发挥着一种引导的作用.这一点在课堂学习中也是有所体现的，许多学生在操作事例2或事例3时，总是回头去看事例1或事例2.在这种重复的观察操作中，每个事例中函数的三个基本属性都受到了学生的关注，慢慢地形成一种“共同性印象”并逐渐地在学生观察视域中显现出来.在学案设计中突出了“表格”的直观性和操作性，从事例1到事例3都是先转换为表格，然后再思考回答问题.学生通过填表，既可以经历和体验由一个变量确定另一个变量的变化过程，又可以直观地感受到它们之间的对应关系.同时，表格、解析式与图象等函数的三种表示方法，在具体事例中进行自由的转换，使得学生比较自然地忽视了那些由表示法本身所带来的非本质因素，从而更加强化了这种函数“共同性印象”.当然，如果不能形成“共同性印象”，就需要看更多的具体事例.
3.想象的看
学案设计：
★想一想：前面三个事例的共同特征是：
（1）每个事例中都有____________个变量；
（2）变量间的变化关系：____________；
（3）变量的值之间的对应关系：____________；
（4）其他共同特征：________________.
★试一试：想一个类似的事例，形式不限，可以用表格表示，也可以用关系式或者图象表示，所举的实例要符合上述特点.
【认知分析】以“重复的看”中所形成的“共同性印象”为出发点，联想或想象出类似的具体函数事例，使外部的直观操作转变为大脑内部的一种“思想实验”.在这种“思想实验”中可以产生出各种各样的函数事例（包括描述的、表格的、关系的、图象的等），这些事例连同那些直观经验中的事例一起相互印证、相互重叠，使那些在直观经验基础形成的“共同性印象”逐渐蜕变成为一种“共同性特征”.这种“共同性特征”就如爱因斯坦所说：“那些似乎可用来作为思维元素的心理实体，是一些能够‘随意地’使之再现并且结合起来的符号和多少有点清晰的印象.”[6]
“想象的看”在概念形成的过程中发挥着重要而独特的作用.首先，真正的函数概念应该是一个心理实体，是大脑内部的一种观念，而这种心理实体或观念是由外部的直观感知转化而来，“想象的看”便是实现这种转化的中介和桥梁.其次，函数概念所包括的具体事例是无限的，但直观经历到的事例总是有限的，只有在想象中才能感知到无限多的事例.因此，“想象的看”是认知由有限走向无限的通道.再次，在“重复的看”中，函数的三个基本属性是静态的，但在“想象的看”中，函数的这三个属性便会生动起来，因为要由它们来构想出具体的函数事例.因此，“想象的看”是一个创造性的认知过程.
4.一般的看
学案设计：
通过以上事例的观察、概括、想象，我们可以得出函数的概念为：
一般地，在________中，有_________个变量x与y，如果给定一个x的值，相应的就确定了____________，那么我们称____________是____________的函数，其中________是自变量，________是因变量.
例如，在y=2x+3中，存在两个变量是________和________，给定x=3，相应就确定了唯一的y值为____________.所以，y是关于x的函数，x叫________量.你能用定义解释事例1至事例3中的函数吗？
【认知分析】将所有经历的函数事例与想象的函数事例作为一个整体加以考查，舍弃那些在“共同性印象”中不可重叠、可变的多余联系，而把那些可重叠的不变的“共同性特征”从具体事例的背景中分离出来，作为函数的本质特征，形成一个能够概括一切函数事例的“一般函数”.对函数的这种“一般的看”并不是一下子“涌现”出来的，而是在“个别的看”中就已经开始了，最初只是一种“希望在最后得到逻辑上相联系的概念的愿望”[6]，在经历了对有限的直观事例的概括、对无限的自由想象事例的概括以及将本质特征从具体事例的背景中分离出来等认知过程之后才得以形成的.
这一阶段所形成的函数概念是用定义来表征的.考虑到函数定义的复杂性（函数是初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念[7]）与学生的知识水平（因为学生缺乏下定义的基本知识），在学案设计中并没有让学生独立地给出函数的定义，仍然给出了函数定义的框架，让学生通过补充来完成对函数概念的定义，并让学生用定义回过头去解释观察过的与想象产生的具体事例.这样的设计，并没有把认知的焦点放在函数概念的文字表述上，而是放在了对函数本质特征的抽象与认识上.
5.应用的看
学案设计与学生讲解片断见本文“一、问题提出”中的内容.
【认知分析】当学生在“一般的看”的过程中抽象出函数定义后，并不意味着他们就获得了函数的概念，只有当运用函数的定义去解释或解决相关问题时，他们才能感受到所定义的函数的真实存在；只有当函数成为一种内在的观念或心理实体时，才表明他们获得了函数概念.正如维果斯基所指出的：“当一系列被抽象了的特征重新综合时，当用这种方法获得的抽象的综合成为主要的思想形式时（儿童借助这种抽象的综合理解和认识他周围的现实），才会出现概念.[8]”因此，学习者经历定义应用的认知过程是函数概念形成的必要环节.学案所设计的问题，并不是简单地对函数“正例”与“反例”进行辨别，而是要求学生把函数作为一个心理实体去解释函数现象或解决函数概念问题.
从学生的讲解中可以明显地看出他们对函数概念所达到的理解水平：
（1）
模仿性的“擦去左半圆或右半圆”，说明他对函数概念的理解还处在“个别的看”或“重复的看”的理解水平，还不能够将函数概念的本质特征清晰地区分出来；
（2）、与及其所在小组的学生，能够运用函数的本质特点进行正确的判断，特别是生5用直观形象的“一刀”进行解释，说明他们达到了“想象的看”的理解水平；
（3）所在的小组能够将两个问题放在一起修改，说明他们的思维已脱离具体情境的影响，把函数的定义作为一种思维的法则来指导自己的操作活动，已经能够进行“一般的看”一个函数现象了；
（4）、与等能够对“圆”进行不同方式的修改，能够“在符号语言与图形语言间进行灵活的转换”[9]，说明他们已经能够运用函数的定义构造出个性化的函数事例，函数已成为他们思维操作中的一种心理实体.特别是提出的“将所有的函数值都取为1”的做法，已超越了初中“变量函数”概念的范围，把视角伸向了高中“对应函数”概念的范围.
“个别的看”、“重复的看”、“想象的看”、“一般的看”与“应用的看”构成了函数概念形成的认知连续体，每一个阶段都是不可或缺的，也是不能逾越的；前一个阶段是后一个阶段的基础，而后一个阶段是对前一个阶段的超越.因此，在函数概念的学习中，不能急切躁进，应该停留在函数事例面前，在“一般的看”的态度的引领下，通过观察、概括、想象、抽象及应用等认知过程，反复地感知函数概念的本质，从而使学生对函数概念的理解一步步走向深入.