山东省昌邑市文山中学 261300
不等式问题处理时经常会遇到需要进行放缩，此类问题典型特征是不等式不取等号，其中以与n有关的数列型不等式居多，本文就几种常见类型进行阐述。
一、利用常见不等式放缩
1.不等式 ＞（b>a>0，m>0）其中b<a时类似处理。
例：求证（1+1）（1+ ）（1+ ）…(1+ ）> 2n+1。
解：利用假分数的性质 >（b>a>0，m>0）可得 · · …> · · …= · · …·（2n+1）（ · · …）2>2n+1即（1+1）（1+ ）（1+ ）…（1+）> 2n+1。
2.均值不等式。
例：求证：Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn ＞n·2 (n＞1,n∈N)。
证明：Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn =2n-1=1+2+22+…+2n-1＞n· 1·2·22…2n-1=n·2 ，得证。
3.贝努利不等式（1+x)n＞1+nx（n∈N*，n≥2,x＞-1,x≠0)。
例：求证（1+1）（1+ ）（1+ ）…（1+）＞ 2n+1（同第一个例题）。
利用贝努利不等式（1+x)n＞1+nx（n∈N*，n≥2,x＞-1,x≠0)的一个特例：令n=2，x=得：（1+)2>1+2·，所以1+> ∏(1+）=∏ = 2n+1。
4.柯西（Cauchy）不等式[∑(aibi）]2≤∑ai2∑bi2。
例：已知函数f(x)= lg,0＜a≤1，给定n∈N*，n≥2。
求证：f（2x）＞2f（x）（x≠0）对任意n∈N*，且n≥2恒成立。
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简析：运用柯西（Cauchy）不等式[∑(aibi）]2≤∑ai2∑bi2的证法：f(2x)＞2f(x)lg ＞2lg[1+2x+3x+…+（n-1)x+a·nx]2＜n·[1+22x+32x+…+(n-1)2x+a·n2x]而由Cauchy不等式得（1·1+1·2x+1·3x+…+1·(n-1)x+a·nx ）2＜(12+…+12)·[1+22x+32x+…+(n-1)2x+a2·n2x]（x=0时取等号）≤n·[1+22x+32x+…+(n-1)2x+a·n2x]（∵0＜a≤1），得证！
5.不等式ln（1+x）＜x (x＞0)。
例：已知 a1 =1,an+1 =（1+）an+ 。（1）用数学归纳法证明an≥2 (n≥2 )；（2）若ln（1+x）＜x对x＞0都成立，证明an＜e2。
解析：（2）结合第（1）问结论及所给题设条件ln（1+x）＜x（x＞0）的结构特征，可得放缩思路：an+1≤(1++ )an lnan+1≤ln(1++ ）+lnan≤lnan++ ，于是lnan+1-lnan≤+ ，所以∑(lnai+1-lnai)≤∑ (＋ ）lnan-lna1≤1- +=2- - ＜2，即 lnan-lna1＜2an＜e2。
注：题目所给条件ln（1+x）＜x (x＞0)为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；另本题还可用结论2n＞n(n-1)(n≥2 )来放缩。
二、裂项放缩
例：（1）求∑ 的值。
（2）求证：∑ ＜ 。
解析：（1）因为 ==-,所以∑ =1-=。
（2）因为 ＜ = =2（-），所以∑
＜1+2（ - +…+－）＜1+ = 。
三、利用单调性放缩
例：数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1= （xn+ ）,n∈N。
1.证明：对n≥2总有xn≥ a。
2.证明：对n≥2总有xn ≥xn+1。
解析：构造函数f(x)= （x+ ）,易知f(x)在[ a,+∞)是增函数。
当n=k+1时xk+1 = （xk+ ）在[ a,+∞)递增，故xk+1 ＞f( a)= a。
对2.有xn-xn+1= （xn- ），构造函数f(x)= （x- ）,它在[ a,+∞）上是增函数，故有xn-xn+1= （xn- ）≥f（ a）=0,得证。
四、部分放缩
例：设an=1+ + +…+ ,a≥2。求证：an＜2。
解析：an=1+ + +…+ ≤1+ + +…+ ，又k2=k·k＞k(k-1),k≥2（只将其中一个k变成k-1，进行部分放缩），∴ ＜ =- ，于是an≤1+ + +…+ ＜1+(1- )+( - )+ +(- )=2- ＜2。
五、换元放缩
例：求证1＜ n＜1+ (n∈N*，n≥2)。
简析：令an= n=1+hn，这里hn＞0（n＞1）,则有n=（1+hn）n＞ hn20＜hn＜ （n＞1）,从而有1＜an=1+hn＜1+ 。
放缩法是高中处理不等式问题的常规方法之一，掌握它操作思想是关键。它不拘泥于具体的题型、题目，简言之就是寻找不等式左右两侧之间的某个中间量。
论文作者:王维华 尹丽娥
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年10月总第278期
论文发表时间:2018/9/5
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