怎样学习数列极限的定义，本文主要内容关键词为：数列论文,定义论文,极限论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数列极限的定义比较抽象，历来都是高中数学中的难点，学习这个定义要遵循由浅入深、由简到繁、由具体到抽象的认识过程。
一.粗略理解数列极限的定义
先考察下面的三个无穷数列：
（1）1/2，2/3，3/4，…，n/（n＋1），…；
（2）2/1，3/2，4/3，…，（n＋1）/n，…；
（3）1，－1/2，1/4，…，（－1/2）[n－1]，…。
同时利用坐标系在横轴上表示项数n，在纵轴上表示a[,n]，并把相应的点描出来，进一步分析各个数列变化趋势的特性，从中加以分析对比。
不难发现上面三个图像内的虚线所反映的是无限数列的变化趋势，并得出如下结论：当项数n无限增大时，（1）中的项a[,n] 是无限递增而趋近于1的；（2）中的项是无限递减而趋近于1的；（3）中的项是围绕横轴作越来越小的上下摆动而趋近于零的。
于是得到了数列极限定义的粗略理解：当项数n无限增大时，项a[,n]无限趋近于某一常数A，A就叫做该数列（a[,n]）的极限。
二.数列极限的定义的初步理解
数列极限定义的粗略理解中“趋近于”含糊不清，不够精确。例如：由此定义，对于数列a，a，a，…，a，…是否有极限就分辨不清楚，为了量化趋近程度，应用│a[,n]－A│的大小来刻画。所以上述定义的粗略理解可以再明确为“当项数n无限增大时，│a[,n]－A │的大小可以任意的小，就把A叫做数列｛a[,n]｝的极限。”
三.数列极限的严密定义（ε－N定义）
数列极限定义的初步理解虽然进了一步，但是其中的“无限增大”和“任意的小”这两个一般性术语还是不够精确。例如，由此定义，无法肯定摆动数列1，－1/2，1/3，…，（－1）[n]1/n， …是否有限？于是为了解决上述问题，还需要用数学术语进一步刻画，所谓“无限增大”就是“它可以比任意指定的自然数N都大”的意思。 所谓“任意的小”就是“│a[,n]－A│比任意小的正数ε还要小，即│a[,n]－A│＜ε。”
若把定义的初步理解中的各个概念联系起来，并把它们概括成数学语言，就得到数列极限的严密定义，即ε－N定义：
对于数列｛a[,n]｝，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a[,N]，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n＞N时，│a[,n]－A│＜ε恒成立），就把常数A叫做数列｛a[,n]｝的极限，记作：lim a[,n]＝A。
n→∞
四.加深对极限定义的理解
ε－N定义的形成，仍是对极限定义极其初步的理解， 其中的内涵还有待于进一步不断明确，逐步深入。
1.常数A是客观存在的，并且是唯一的，如果某个数列不存在这样的数，就谈不上极限问题。
例 证明循环小数0.6能化成分数2/3。
用数列极限的概念，即把S＝0.666…构成数列：｛S[,n]｝：6/10，66/10[2]，666/10[3]，…，66…6/10[n]，…。
然而│S[,n]－2/3│＝2/3·10[n]，
∴lim S[,n]＝2/3，即S＝2/3
n→∞
数列－1，1，－1，1，…，（－1）[n]，…没有极限。
2.就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的任意性，只有这样，当n＞N时，不等式│a[,n]－A│＜ε恒成立，才能表明数列｛a[,n] ｝无限趋近于A，但是，就极限全过程的某一瞬间来说， ε又是具体给定的，如取ε＝0.1，ε＝0.01，ε＝0.001，等等，这样由不等式│a[,n]－A│＜0.1，│a[,n]－A│＜0.01，│a[,n]－A│＜0.001， 等等皆成立，表明数列｛a[,n]｝不断趋近于A的无限过程。ε的绝对任意性是通过无限多个相对固定性表现出来的。ε的绝对任意性与相对固定性之间的辩证关系，深刻反映了精确与近似之间的辩证关系。
3.│a[,n]－A│＜ε〈=〉A－ε＜a[,n]＜A＋ε，即以A为极限的数列｛a[,n]｝中所有n＞N的项a[,N＋1]，a[,N＋2]，…都∈（A－ε，A＋ε）。也就是说，该数列｛a[,n]｝除了有限项外， 其余全部∈任一预先指定的区间（A－ε，A＋ε）。
4.自然数N的取法不仅依赖于所讨论的数列，而且还依赖于所取定的ε＞0。当N取定后，比N大的任意自然数都可作为N。
5.从运算角度来说，求极限是数学中一种重要的运算，极限运算与代数运算不同，代数运算是有限运算，极限运算是无限运算，从极限运算来说，数列｛1/n｝经过极限运算就得0，人们在有限的时间内无法完成无限的过程，例如数列｛1/n｝，从第一项开始逐项数下去，永远也数不完，可谓万世不竭。这说明，不论项数n怎样大，1/n永不为0，只是0的近似值，不同的自然数n，只表明1/n与0近似程度的不同， 保持近似值的相对稳定性，不会产生质的变化。但是，当项数n 达到“无限”时，相应数列｛1/n｝的变化也出现了飞跃，得到了极限0。于是，极限运算是事物运动变化由量变到质变这个辩证规律在数中的反映。
6.只有无穷数列才可能探讨它的极限问题。
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