几何型排列组合问题的求解策略，本文主要内容关键词为：几何论文,策略论文,排列组合论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的立体几何、解析几何、平面几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，为此本文例析四种常用求解策略.
一、分步求解
例1 （2001年全国高考题）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________.
解 分两步进行，先从2n个点中取两点构成直径（即斜边）共有n种取法；
再从余下的（2n－2）个点中取一点作为直角顶点，有（2n－2）种不同取法，
故总共有n·（2n－2）＝2n（n－1）个直角三角形.
例2 （1991年全国高考题）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（
）.
（A）12对
（B）24对
（C）36对
（D）48对
解 因六条侧棱共点，六条底边共面，每条侧棱与其相交的两底边共点，故异面直线只能是侧棱与底边相搭配.首先从6条侧棱中任取一条共C[1][，6]种；再从与该侧棱不相交的4条底边取一条有C[1][，4]种，由乘法原理有C[1][，6]C[1][，4]＝24对，故选（B）.
例3 （1990年上海高考题）平面上有四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个.
解 第一步，从4条平行线中任取两条共C[2][，4]种；第二步，从另外五条平行线中任取两条共C[2][，5]种.均能构成矩形，故共有C[2][，4]·C[2][，5]＝60个矩形.
例4 （1997年上海高考题）从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线共有_____条（结果用数值为表示）
解 因为直线过原点，所以C＝0.从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P[2][，6]＝30.
二、分类求解
例5 （1997年全国高考文科题）四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有（
）.
（A）30种
（B）33种
（C）36种
（D）39种
解 符合条件的取法可分两类：
①4个点（含A）在同一侧面上，有3C[3][，5]＝30种；
②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种，由加法原理知不同取法有33种，故选（B）.
例6 （1998年全国高中联赛题）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？
解 依题意，共线的三点组可分为三类：
①两端点皆为顶点的共线三点组共有
C[2][，8]＝28个；
②两端点皆为面的中心的共线三点组共有（6×1）/2＝3个；
③两端点皆为各棱中点的共线三点组共有
（12×3）/2＝18个，
故共有28＋3＋18＝49个.
例7 （2001年全国高中联赛题）在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块中种不同的植物.现有4种不同的植物供选择，则有_______种栽种方案.
解 考虑A、C、E种同一种植物，此时有
4×3×3×3＝108种方法.
考虑A、C、E种二种植物，此时有
3×4×3×3×2×2＝432种方法.
考虑A、C、E种三种植物，此时有
P[3][，4]×2×2×2＝192种方法.
故总计有108＋432＋192＝732种方法.
三、排除法求解
例8 （1997年全国高考题）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（
）.
（A）150种
（B）147种
（C）144种
（D）141种
解 从10个点中任取4点，有C[4][，10]种取法再排除掉共面的取法.
（1）共面的四点在四面体的某一个面内，有C[4][，6]种取法，4个面共有4C[4][，6]种；
（2）每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面有6种；
（3）6个中点构成3个平行四边形，故不共面的取法共有C[4][，10]－4C[4][，6]－6－3＝141种，故选（D）.
例9 （1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个（用数字来作答）.
解 从7个点中任取3个点，共有C[3][，7]个，排除掉不能构成三角形的情形.3点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有C[3][，7]－3＝32个.
例10（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（
）.
（A）70种
（B）64种
（C）58种
（D）52种
解 正方体8个顶点，从中选取四点共有C[4][，8]种不同取法，减去不能构成四面体的六个表面和六个对角面的四个顶点，即C[4][，8]－12＝58个，故选（C）.
四、转化法求解
例11 （同例1）
解 由于同一圆内的两条不重合直径（即有四个端点），对应着一个矩形，而每一个这样的矩形对应4个题意中的直角三角形，故本题可转化为求矩形个数的4倍.
由题意知，圆周上有2n个等分点，共可组成n条直径，故有C[2][，n]个（对角线交点在圆心）矩形，所以共有4C[2][，n]＝4·n（n－1）/2＝2n（n－1）个题意中的直角三角形.故填2n（n－1）.
例12 空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？
解 考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥.由于这六个点可构成C[3][，6]个三棱锥，故共有3C[3][，6]＝45对异面直线.
例13 一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？
解 考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数，显然可构成C[4][，10]＝210个圆内接四边形，故10个点连成的线最多能在圆中交点210个.