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ⅩⅤ
170、集合论认为， 真正无限的东西不可能用算术符号体系来表示，它只能描述而不能表示。就像人们可以谈论一种结构，而不必用命题本身来表达它。这种方法如此处理每一个概念，以至于使它的形式消失了。
171、一个函数的持续性的所有证明都必然要涉及到一种数制。 主要在函数运算中表现出来的数字阶梯，是不会在一般性的观察中消失的。——持续性是否可以被描述？一种形式不可能被描述而只能被表示。
172、 “一条曲线的最高点”并不意味着“这条曲线上所有点中的最高点”。同样，一个函数的最大值不是所有值中的最大的值。而是，我可以构造最高点，也就是说，从一个规则中得出它。
173、当仅以前行中的无限可能性为前提时，“（n）…”这一表达才有意义。——布劳威尔（Brouwer）。——狄得金德式划分的解释， 好像它是直观的；或者R有最后一节，L有第一节，或者其它等等。实际上这些情况中任何一种都无法想象。
174、集合论（Mengenlehre）是建立在假设的符号体系、亦即谬论之上的。就好象在逻辑学中有一些我们不可能知道、但又是可知的东西。——当人们（如布劳威尔）说，在（x）·φx＝ψx 这种情况中除了是和否以外还存在着不可判断的情况，这就意味着，“（x ）…”被理解为延展的，而且所有的x可能碰巧具有一个特性。
175、假如我们按照罗素的意思把“ψx＝0 这一方程的根”视作一种描述，那么用句子“x+2＝6 这一方程的根”所表述的意思肯定不同于说等于4这样的句子。
176、 单纯内在的一般性怎么能由于一种个别情况（即某种外在的东西）的出现而被驳斥呢？但是特殊情况对一般命题的驳斥是出自内部——它反对内在的证明。——x[2]＝x·x和x[2]＝2x这两个方程之间的差别并不是其正确度的差别。
ⅩⅥ
177、在平面上的一个点通过一个数对来表示， 在三维空间中的一个点通过一个三数聚合来表示，这已经表明，这里所表示的对象根本不是点，而是点的集合。
178、作为句子句法的几何学涉及的是空间中的物体。 在视觉空间中排列成行的东西，是先验地亦即按其逻辑本性处于这种秩序之中，几何学在这里简单地说就是语法。物理学家在物理空间的几何学中使之相互发生关系的东西就是仪表读数，这种仪表读数按其内在本性都是不变的，不管我们是生活在一个直线空间还是生活在一个球体空间。
179、 我可以通过按照投掷硬币所示结果不断取半的方法无限地接近一条直线上的任何一个点。我是否能够以类似于根据投掷结果（头像或鹰）把0或1写成一个无限的二元小数的方式，把有理数分为两类？通过投掷的规定不可能描述出结果的规则；无限的不确定性并不决定数。
180、是否可能在规则中从规则进行抽象， 并且把延伸看作是被表述的本质的东西？——假设我在不存在有理数的地方切断，那么肯定有一个这个切点的近似值。但是趋近谁？在数的领域内暂时还没有一个我可以趋近的东西。——一条线上的所有点实际上可以通过算术定律来表达。在通过连续等分求近似值时，人们通过有理数来接近每个点。
ⅩⅦ
181、说无理数是整体的，对此有什么标准？ 每一个无理数都沿着一个有理近似值序列前行，永远不会离开这个序列。如果我有除了π以外的所有无理数的总体，现在把π填入，我却不可能给出一个点是真正需要填入π的，π在每个点上都有一个伴随者。这清楚地表明，无理数不是一个无限小数的延伸，而是一个规则。如果π是一个延伸的话，我们就永远不会经过π——我们永远不可能发现一个空缺。
182、
：带有一个例外的规则——必须先有数字规则， 然后在数字规则中表达，比如——一个根。但是数序的这种表达只有在它是一个实数表达时才有意义。假如我们后来再去改变它，那只会把表达搞乱，却不会得出一个新的数字。
183、假如
确实有什么意义的话，那就是与
完全一样， 只不过是另一种表达方式；在另一种系统中的表达。
在处于一个系统中之前并没有固定值。对于
人们不能说，它是这个数序值的极限，就像我们不能说，投掷的规定是投掷结果的极限。
184、人们可以应用规则，这一点也同样适用于投掷数字的规则。把π＇与此相区别的只是在于，我们知道肯定存在着一个规则，按此规则在π中会出现数字7，即使我们还不知道这一规则。 π＇暗示着一个未知的规则。
185、接近一个值，只有一个规则。
186、π这个字母代表一个位于算术空间的规则。 而π＇却并没有应用算术表达方式，因而它没有为规则指出在这一空间中的位置。因为用3代替7并不给法则补充任何内容，而且在这一体系中根本不是算术运算。
187、为了确定一个实数，必须有一个自身完全可理解的规则。 也就是说，不允许在本质上不能判断：它的某个部分是否可以缺少。假如两个规则的延伸完全一致，我无法对这样的两个规则进行比较，那么这样定义的数就是无法比较的。
188、π的展开同时是π的本质及十进位制本质的表达。 算术运算使用十进位制只是作为达到目的的手段。它可以翻译成任何一种其它数制、而又不把任何一种其它数制语言作为其对象。——一种一般运算规则通过它所引起的数的变化的一般性而获得其一般性。π＇把十进位制作为其对象，因此现在仅能在延展的构成中应用十进位制已经不够了。
189、除了费马规则不起作用的数字以外，p以一个规则穷尽全体数的序列。这一定律对实数起决定作用吗？数F 要利用螺线……而且按照一个原则来选择这一螺线的圈数。但是这一原则却不属于螺线。已经有一个规则在那里，但是这与数没有直接关系。数就像是规则的一个不规则的副产品。
ⅩⅧ
190、这里我们一再碰到人们可以称作“试算”的东西。 质数也就是这样在寻找质数的方法中作为一次试算的结果而出现的。我是在定律中而不是在所得出的数之中认识了一种规律。
191、数必须自己本身有比较。它如果不是自己有比较， 而只让有理数有比较，那么我们就不需要它。——原本的展开是与一个有理数的比较从规则中引发出来的。
192、实数可以同无限螺线的假定相比较，相反像F、P 或π＇等结构却只能与一条螺线的有限部分相比较。
193、为了将有理数同相比较，我必须求出它们的平方。 ——于是它们得到了
的形式，在这里是一种算术运算。写进这样一个体系，有理数就可以用相比较了，而且我觉得好像螺线在这里被压缩为一个点了。
194、在以递归代替定义的地方试算仍然是可能的吗？不， 因为通过递归对每一个阶段从算术上都可以理解。
195、证明a大于b， 却不能证明这一差别是在什么地方表现出来的，这是不可能的。1.4——它是2的根吗？不，它是1.96的根。这就是说，我可以立刻把它作为的近似值写下来。
196、如果某实数是有理数a，那么它的规则同a 的比较必会得出这一点。也就是说，这一规则必须具有如下性质，即当它到达相应位置时，可以说也就与有理数相合了。例如，不可能发生这样的事情，即不能确定
是否真的到5止住。
197、如我所知的这样一条可以停顿在一个有理数点上的螺线， 我能把它也称为一个数吗？缺少同有理数相比较的方法。展开到不确定之中，这不是方法，虽然这种展开会导致一个比较的结果。
198、如果F同一个有理数相比较的问题没有意义，因为全部展开仍然没有给我们一个答案；那么，在人们试图碰运气通过延展去判断这件事之前，这个问题也是没有意义的。
199、不仅有必要能够说出一个已知的有理数是否就是实数， 而且也有必要说出这个有理数与实数可能相距多远。这个距离的量级。小数制中的展开没有告诉我量级，因为我未能知道，诸如在一个展开到的小数位之后会有多少个9跟随。——“e不是这个数”不说明任何问题，而必须说，“离这个数至少还有这段距离”。
附：选自F.Waismann 1930年12月30日的谈话速记笔记。
ⅩⅨ
200、我们对于算术中的否定的兴趣看来只在于与一般性的联系。——不可整除性和不等式——我不写“～（5×5＝30）”，而写5×5≠30，因为我并不是要否定什么，而是要确定5×5和30之间的一种关系（也就是某种正面的东西）。相类似的是，当我排除可整除性时，这与确定不可整除性是等同的。
201、 有些东西激烈反对有关被排除的第三种情况的命题在数学中的应用。——寻找质数的规律。人们企图用质数的肯定标准去代替否定标准。——但是这种否定不是逻辑中的否定，而是一种不确定性。——等式的否定与句子的否定是如此相似又是如此不同，就像等式的肯定与句子的肯定一样。
202、 凡是在否定基本上相当于一个选言判断或者相当于为了另一个逻辑顺序而排除某一逻辑顺序一部分的地方——它在那个地方就必须与那个逻辑形式相一致，这样一来就仅仅是表面上的一个否定。
203、然而，那些通过不等式所表达的东西， 与通过等式表达的东西有着本质的区别。这样，人们就根本不可能把得出一个小数数位，并且进行不等式运算的规则同进行等式运算的规则作直接的比较。这里，我们有着完全不同的方法，因此有着不同种类的算术结构。
204、人们能借助于质数定义无理数吗？ 就人们能够预见的质数而言，是可以的，此外是不行的。
ⅩⅩ
205、人们能说较小的斑点比较大的斑点简单吗？——看起来， 就好像人们不能把一个单色斑点看成组合的。——较大的几何结构并不是由较小的几何结构组成的。“纯几何图形”仅仅是逻辑的可能性。
206、说“一个均匀的红色平面的这一部分是红的”是否有意义，这取决于是否有一个绝对的场地。我能够确定视野中一个场地的同一性，否则我就不能区分，一个斑点是否一直留在同一个场地。在视觉空间中有绝对位置，绝对方向，因此也有绝对运动。如果不是这样，那么在这种情况下谈论相同或者不同的地点就是毫无意义的。这表明了我们视野的结构：因为结构的判断标准在于，哪些命题对结构有意义。
207、我可以说“我的视野的上半部分是红的”吗？ ——并不存在居于一种颜色和一个地点之间的“所处”关系。
208、在我看来，视觉空间结构中的距离概念是直接获得的。 在视觉空间中测量。当组成部分的数目不同时（却看到）长度相同。我能肯定我所数的数确实就是我所看到的数吗？
209、假如人们不能说，在a和b中有同样数目的组成部分， 那么我该如何来描写这个视觉图像呢？——“模糊”和“不清楚”是相对的表达。——假如我们确实看到a和b中有24个和25个部分， 我们就不能把a和b看作是相等的。“同样”这个词对于视觉空间来说也是有意义的，而这个意义又证明以上表述是矛盾的。
210、关键在于， 当我们把欧几里得空间的推论方法应用到视觉空间时，必须把某些矛盾解释清楚。其原因就在于，例如，我们只看到这个结构的各个环节，却看不到作为整体的结构：不存在由这些单个视觉部件组成的视觉结构。
211、人们一旦要把精确的测量概念运用到直接体验上， 就马上会遇到直接体验中所特有的模糊性。——“大约”、“大概”等词当然只具有相对的意义，但是这些词是必要的，它们说明了我们的体验的本性。——沙堆问题与欧几里得几何学中的视觉圆相对应的并不是一个圆，而是一个图形集。这里看起来要对不精确性作精确的界定是不可能的。人们要用一堵墙来隔开一个沼泽地，但是墙不是沼泽地的精确界线。
212、视觉空间和欧几里得空间之间的关系。 假如一个圆确实是我们所看到的东西，那么我们肯定能够看见它，而不仅仅是看见某种与它相类似的东西。如果我不能看见一个精确的圆，那么在这个意义上我也不可能看见一个近似的圆。
213、我们需要新概念，我们总是不断采用物理语言中的概念。 例如“精确性”。如果“我看见的不是一条清楚的线”这句话是对的，那么一条清楚的线是可以想象的。如果“我从未看见一个精确的圆”这句话有意义，那么这就意味着，在视觉空间中一个精确的圆是可以想象的。——“一样”这个词在完全不同意义上的使用。——对视野边缘附近的色斑的描述。很清楚，那种不清晰性正是视觉空间的一个内在特性。
214、视觉空间中有哪些区别？人们把物理界的百角形视作圆， 这一事实并不是说有看见百角形的可能性。——谈论一个视觉中的百角形是否有意义？
215、我是否可以说：“我也许会看到一个精确的圆， 但我永远不可能知道这一点？”只有当人们能够确定，在什么样的情况下可以说某个测量比另一个更精确时，才能这么说。说圆只不过是一个理想，现实只能接近它，这是毫无意义的。但可以是这样，我们把一个无限的可能性本身称为圆。就像对待一个无理数那样。——那么测量的不精确性是否与视觉图像的不精确性是同一概念？肯定不是——“看来是”和“表面现象”是模棱两可的：在一种情况下它是测量的结果，在另一种情况下它是另外的表面现象。
216、 “感觉事实”包含着这样的看法：既然说到“出现一棵树”，那么或者是我们把某个就是树的东西看作一棵树，或者把某个不是树的东西看作一棵树。但这种联系是存在的。
217、人们可以尝试给出“视觉空间的正确映象”吗？ 不能把现象的模糊性转译为画的不精确性。视觉空间不是欧几里得的，这一点已经表明了两种不同的线和点的存在。
ⅩⅩⅠ
218、简单的颜色——作为心理现象很简单。 我需要一种纯粹现象学的颜色论，在这种颜色论中只论及真正可以感觉到的东西，而不出现假设的物体——波、细胞等等。我能找到一种颜色格率学吗？说一种颜色从其所含红色的量来说处于另外两种颜色的中间，这有意义吗？
219、在某种意义上，橙色是红与黄的混合色，在这种意义上， 虽然黄色处于红和绿之间的区域内，它却不是红与绿的混合色。——如果我想象青绿与黄绿之间的混合，我就会看到，这种混合根本不可能出现，而是必须先把一个组成部分除掉。
220、“颜色A与颜色B 之间的混合”这一表达的含义一般来说我是知道的。如果有人说，一块色斑的颜色处于紫色与红色之间，那么我是理解的，并且能想象出一种比已有的紫色更红的紫色。但是，“这颜色处于这种紫色与一种橙色之间”呢？混合色处于两种颜色之间在这里无异于红色处于蓝与黄之间。——“红与黄产生橙色”并不论及组成部分的量。说这种橙色与这种紫色含有同样多的红色，这是无意义的。——把颜色系列同一个带有两个相同砝码的体系进行错误的比较。
221、与欧几里得几何学相比较， 这里与视觉空间的几何学的情况完全一样。这里有一种不同于我们的有理数所表达的那种量的形式。——如果“处于其间”这一表述一次用于表述两种单色的混合，另一次用于表述两种混合色共有的单色成分，那么这一表述的使用在两种不同情况下便具有不同的多样性。——人们也可以把所有的色调排列在一条直线上。但是必须通过规律排除某些过渡，最后直线上的图像必然获得像八面体上一样的那种拓扑结构形式。这完全类似于日常用语与一种“逻辑清晰的”表达方式之间的关系。
222、 我们不能在橙色带有红色色泽的同样意义上说红色带有橙色色泽。“x由y和z组成”与“x是y和z共同的组成部分”这两种表达方式是不能彼此交换的。
223、 如果我们看到一种颜色的许多小块色斑与另一种颜色的许多小块色斑混在一起，那么我们就有了不同于颜色圈上的另一种颜色过渡。并不是说，某些颜色就这样产生于其它的颜色，是由实验确证的。因为，这样的一种过渡是否可能（或可以想象），是颜色的一种内在特性。
224、想要把现象看得比它们本身简单的危险性。 ——理解教堂音乐形式意味着，听到某种新的东西；这类似于， 我把以前只看作两个5条线的10条线，突然看作一个独特的整体。
ⅩⅩⅡ
225、句子、假说是同事实相联系的，这种联系多少有点松散。 全部重要之点在于，符号最终总要与直接经验相联系，而不是与一个中间环节（一个自在之物）相联系。一个句子如果被理解为它可能是不可核实真假的，那么这个句子就与事实相脱离并不再作为句子起作用。
226、假说是一种符合一定表述规律的符号。 表述的选择是一个以所谓的归纳（而不是以数学的归纳）为根据的过程。
227、人们放弃假说只会付出越来越高的代价。 通过某种假说进行描述的简单性问题，与概率问题相联系。
228、假说的本质在于，它产生了一种期待，也就是说， 对它的证实永远不会终结。假说与事实之间恰恰具有一种不同于证实关系的另外的形式关系。——认为事件的形式相同。一个假说就是句子构成的一个规则。
229、一个假说之概率的尺度在于， 为了能够推翻这一假说需要多少证据。我说：我假设，明天太阳将会再次升起，因为其反面是不可能的，那么这里我用“可能”或“不可能”的意思，与“我抛掷出头像或鹰都同样可能”中所指的意思是不同的。——期待必须现在就有意义；也就是说，我必须能够把它同当前状态相比较。
230、把借助物体世界的假设对现象作描述， 同现象学描述相比较。——那么，相对论并没有表达某种现象本身的逻辑多样性，而是表达了所视规律的多样性。这种多样性不是符合一个证实，而是符合诸多证实所遵循的一个规则。
231、假说和标准。即使坚持一个标准极其令人不舒服， 但无论哪种可以想象的经验都不能驳倒它。随着人们适应程度的大小，该标准也具有或大或小的概率。谈论这种概率的尺度是无意义的。
232、如果我说：“这可能会出现”， 这个句子既不会由于事件的出现而被证实，也不会由于事件没有出现而被证伪。假如对这个可能还是不可能的问题发生争论的话，那么总是只能从过去中找出论据。——始终好像是，先验地明确了其存在的事实可以通过经验证实。但这是荒谬的。如果经验与估计相一致，这就意味着，经验证明了我的估计——当然不是其中的先验部分，而是基础，这基础是来自经验的：某些自然法则。在掷骰子的例子中这个自然法则表现为，每个面向上的概率对于所有六个面来说都是相同的。这个法则就是我们所检验的东西。
233、 肯定有某些可能的事件与法则（如果它确实应该是一个法则的话）是相违背的；而且假如这类事件出现了，那就必须由另一种法则来加以说明。——在对一种有规律的分配的预言中，存在着对那些我并不确切知道的自然法则的假设。
234、某人天天去掷骰子，整整一周他都只投出1的数——并不是因为骰子坏了。他是不是有理由想一下，这里是不是有一个自然法则使他总是投出1的数？——如果保险公司以概率为依据， 它也不是以概率计算为依据，而是以实际观察到的频繁性为依据。
235、“带有偏离的直线”仅仅是描写的一种形式。 如果我断言：“这是规律”，那么这只是在我已确定我最多允许这个规律有多少个例外而不至于推翻这一规律的情况下才有意义。
236、只有对真正见到的线段说这样的话才有意义， 即说它总体上给人一种直线的印象，而不是对一个假设的线段这样说。掷骰子的实验只能证明这样的期待，即情况将会如此继续下去。
237、 一切“有根据”的期待都期待着迄今所看到的规律会继续有效。但是这个规律必须是本身已经被观察到的，而不能够本身又仅仅是被期待着的。——概率只涉及期待的形式和期待的一种状况。
238、一条光线遇到两条不相等的线。 每一条线的中点似乎都把它分割为概率相同的可能性。那么看来，就有了彼此矛盾的概率。但是关于某一种现象出现概率的假说要通过一种频繁性试验证实；如果证明了，那么它就表现为一种物理学的假说。几何学的结构仅仅表明，线段的相等并不是假设相同概率的理由。我可以任意提出一个法则，例如，各个部分的长度相同决定了概率的相同；但是任何一个别的法则都是同样地被允许的。其它例子也是同样。我们出自经验断定这些可能性有相同的概率。但是逻辑并没有给这些断定以优先权。
L.WITTGENSTEIN,PHILOSOPHISCHE BEMERKUNGEN,INHALT