重新认识动能定理，本文主要内容关键词为：动能论文,定理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
在许多物理教科书中，把动能定理叫做功能原理。实际上，这一名称是不恰当的。动能定理是从牛顿第二定律推导出来的，它实质上是一个动力学方程，而不是功能方程。动能定理与功没有直接的联系，如果说有点联系的话，动能定量仅仅是关于一个质点的功能方程，动能定理和能量守恒定律联立起来可以解答一些实际问题，可以得到一些有用的结论。本文通过分析动能定理和牛顿第二定律、能量守恒定律的关系，来重新认识动能定理，并通过一些实例，来说明动能定理的正确运用。
二、动能定理和牛顿第二定律
在这里我们可以看出，动能定理与牛顿第二定律没有本质上的区别，它仅仅是牛顿第二定律的积分形式。
对于一个质点，(2)式左边就是外力对质点做的功，它等于质点动能的增加。这时，动能定理反映的确实是一种功能关系。
对于由多个质点组成的物体，如果此物体在发生机械运动的过程中又伴随着如化学的、热的等其他的运动，如人原地起跳、木块在粗糙桌面上运动等，由于牛顿第二定律对以上情况仍成立，所以(2)式仍成立，但这时(2)式左边不再是功，而仅仅是力和物体的质心在力的方向上的位移的乘积，因而它反映的不是一种功能关系，而仅仅一种动力学关系。
下面我们举例来具体说明动能定理和牛顿第二定律的这一关系。
例1：人原地起跳
人原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地。从开始蹬地到离地是加速过程（可视为匀加速），加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”。设在这一过程中人受到地面的弹力为F，人的重力为G，加速距离为d，则我们将动能定理应用于人的质心，从而得到：
这个式子也可以运用牛顿第二定律得到。因此，它的正确性是不用怀疑的。但我们必须注意，这里Fd不是功。如果它是功，难道地面有能量传给人？况且我们又知道，地面对人的弹力F在人起跳过程中没有移动，地面对人做的功等于零。
例2：人走路
人走路时脚受到地面的静摩擦力而加速运动。设人从静止开始起步。在静摩擦力f的作用下人的质心向前运动了距离d，根据动能定理有：
这个式子也可以运用牛顿第二定律得到。这里fd不是地面对人做的功，地面对人做的功等于零。
例3：小车上的人推墙
人站在小车上，小车放在光滑的地面上。人用手向左推墙壁，人向右加速运动。设推力为F，人运动的距离为d时的速度为v。将动能定理应用于人和小车的质心，得到：
这个式子也可以由牛顿第二定律得到。这里Fd不是墙对人做的功，墙对人做的功为零。
从以上这些例子我们可以看出，动能定理和牛顿第二定律在动力学上是不独立的，它们是同一个定律的两种不同表述。
三、动能定理和能量守恒定律
现在我们从能量的角度来进一步讨论上面几个例子。
例1：人原地起跳
人起跳到高度d时的速度为v，这时人体内一部分化学能△E转化为重力势能和动能。根据能量守恒定律，得到
对照(3)式，我们发现
△E=Fd(7)
(7)式并不意味着人的部分化学能△E等于地面对人做的功（我们已经说过地面对人做的功为零）。力F相应的功等于零，但它相应的冲量却不等于零。根据牛顿第二定律，Ft=△p，所以力F对人的作用不是改变其能量，而是改变其动量。
例2：人走路
人走路时增加的动能来自人体内的部分化学能△E。根据能量守恒定律，我们有
对照(4)式我们发现
△E=fd(9)
同样，f对人的作用也仅仅是改变其动量。
例3：小车上的人推墙
小车和人获得的动能来自人体内的部分化学能△E。根据能量守恒定律，我们有
对照(5)式我们发现
△E=Fd(11)
同样，F对人和小车的作用也仅仅是改变其动量。
例2和例3还告诉我们，作用在物体上的合外力可以使物体的动量发生改变，但不一定对物体做功。这种力叫做零功力（“zero-work”force）[1]。这样，我们对力的作用效果可以归纳为三种：使物体发生形变、使物体的动量发生改变、使物体的能量发生改变；在较理想的状况下，这三种作用效果不一定同时产生。
例4：木块在粗糙桌面上运动
我们知道，木块在粗糙桌面滑动时将产生内能。但在(6)式中，我们看不出内能这一项。
考虑到木块和桌面由于摩擦增加内能，我们又不能把这内能全部归于木块，所以只能以木块和桌面为系统应用能量守恒定律，得到方程：
显然，由动能定理得到的方程(6)对于木块是正确的，由能量守恒定律得到的方程(13)对于木块和桌面这个系统也是正确的，并且它们是两个独立的方程。通过比较这两个方程，我们可以得到：
△E=fd(13)
要强调的是，△E是木块和桌面所增加的内能的总和，即
。(13)式并不意味着木块和桌面这个系统所增加的内能等于桌面对木块做的功。我们可以证明，桌面对木块的滑动摩擦力对木块做的功小于fd，滑动摩擦力的有效位移d＇小于d。为了简化问题，我们假定作用在木块上的推力F等于木块受到的滑动摩擦力f，木块做匀速直线运动。对于木块，应用能量守恒定律，并考虑到F=f，我们得到
从以上这些例子我们可以看出：能量守恒定律不是由牛顿第二定律或动能定理推导而来的，它和牛顿第二定律、动能定理是相互独立的。
因为动能定理和能量守恒定律是相互独立的，所以把它们联立起来可以解答一些较复杂的问题。
四、较复杂的问题
下面我们举例[3]来说明动能定理和能量守恒定律在较复杂问题中的应用。在应用动能定理时，我们要注意，(2)式左边并不是功，一般情况下，仅仅是合外力和物体质心在合外力方向上的位移的乘积。在应用能量守恒定律时，我们要注意，方程中的功必须是力和它的作用点在力的方向上的位移。
例1：如图1，两个质量为m的冰球用细线相连，静止在光滑桌面上。用一垂直于细线的恒力F拉两球的质心。最后，两球发生非弹性碰撞。设碰撞时两球的速度为v。求由于两球发生非弹性碰撞系统所增加的内能。
以两球为系统，我们分别应用动能定理和能量守恒定律，得到
式中d＇是两球组成的系统的质心的位移，d是力F的作用点的位移。△E是由于两球发生非弹性碰撞系统所增加的内能。通过比较(15)、(16)二式，得到△E=F(d-d＇)。
图1
图2
例2：如图2，一团质量为m、长为L的链条静止在光滑地面上。现用一恒力F将其拉开。链条被全部拉开时的速度为v。求由于各链之间发生非弹性碰撞系统所增加的内能。
以链条为系统，我们分别应用动能定理和能量守恒定律，得到
下面是几个较难的高考题，在解这些题时，特别要注意上面提到的几点。
例3：如图3所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上。在其右端放一质量为m的小木块A(m＜M)。现以地面为参照系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度（如图），使A开始向左运动，B开始向右运动。最后A刚好没有滑离B板。求小木块A向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离。
图3
图4
（
）
例4：两块长木板A和B，质量相等，长度都是L=1.0m，紧贴在一起，静置于光滑水平的地面上。另一小物块C，质量与长木板相等，可视作质点，位于木板A的左端，如图4。现给物体C一向右的初速度，速度的大小
。已知物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.10。求木块最终运动的速度。
（
）
例5：如图5，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（视为质点）位于B的右端。A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰。碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行。A与C之间有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。试问：从B、C发生正碰到A刚移动到C的右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？
图5
图6
（答案：7/3）
例6：平板小车C静止在光滑的水平面上（图6）。A、B两个小物体分别以0.6m/s和0.3m/s的初速度从小车的两端同时滑上小车。物体和小车之间的动摩擦因数μ=0.10。三个物体的质量相等。最后A、B恰好相遇而未碰撞。求小车的长度。
（答案：0.21m）
讨论
当一个质点或一个可视为质点的物体的质心发生位移时，我们可应用由牛顿第二定律推导出来的动能定理。当摩擦力或作用在形变物体上的力（或由形变物体施加的力）做功时，作为能量守恒定律意义上的功是一个能量传递的量，它不等于力和质心位移的乘积，因而，动能定理不能作为能量转化的正确表述。功在用于能量守恒的计算中的时候，它必须是所有作用在所研究的系统上的力和这些力所作用的系统的边界所发生的位移的乘积之和。动能定理实际上是一个动力学方程，它是从牛顿第二定律中推导出来的，而不能成为一个真正的、普遍的能量表述。在经典物理中，有三个独立的守恒方程。第一个是连续性方程或质量守恒方程。第二个是动量守恒定律，它是对牛顿力学的高度概括。如果经典物理中普遍的能量守恒定律可以从动力学方程中推导出来，这将会出现同义反复的现象，就不可能存在第三个独立的方程。而事实上这个方程是存在的，它就是能量守恒定律。能量守恒定律不可能是推导出来的。它像其它守恒定律一样，是从有限的观察中归纳出来的，并最终被大家接受，因为我们还没有观察到反例。[1]
在最近的十多年中，人们一直在讨论有关功这个问题。在国外的一些文献中[1][3][4][5][6][7]，我们经常可以看到对两种不同的功的讨论：虚功(Pseudowork)和实功(real work)［或叫质心功(centei-of-mass work)和质点功(particle work)］。他们认为，动能定理中的功是虚功（或质心功），能量守恒定律中的功是实功（或质点功）。实际上，任何一个物理概念，只能有一种界定。功也同样，它只有一个概念，这个概念的实质就是，能量从一个系统到另一个系统的传递量[8]。动能定理中的Fd只有对于一个质点来说才是功，在其他情形下仅仅是力和质心位移的乘积。它在数值上等于物体质心动能的增加。动能定理并不涉及到化学能、内能等其他形式的能。有人曾经想仅仅用动能定理来解决人起跳过程中的能量问题[9]，但在我们看来，他并没有真正解决这个问题，只不过是偷换了一下问题的条件而已：把初速度相同的条件偷换为弹力相同。他的文章中的公式Fd=mg(d+h)完全是对牛顿第二定律（或动能定理）的应用的结果，根本不是什么“功能关系”。Fd并不是像他所说的是地面对人的弹力对人做的功（这个功应等于零），更不是“人体内某些能量的转化”。因此，要解决能量问题，就必须借助于能量守恒定律。弄清这一点，对于我们正确运用动能定理和能量守恒定律是非常必要的。