数学教学设计视角：关注数学思维过程，本文主要内容关键词为：视角论文,数学教学论文,思维论文,过程论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教育部2003年颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》.新课程标准反复强调：数学教学要重视揭示获取知识和运用知识的思维过程，在此过程中，使学生获得对数学的理解，并在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.对数学思维的强调，也是国际范围内数学课程改革的重要特征.美国《学校数学课程标准》里，对数学教育目标的论述中，突出强调了数学思维方法的教育.然而上述理念，在我国数学教育实践中，并未得到很好贯彻.主要表现为：教学中忽视概念的形成过程、忽视问题的发现过程、忽视规律的揭示过程、忽视思维过程中的非逻辑思维的作用.教学中，因为追求“效率”，常出现用教师的思维去替代学生的思维活动.导致的结果是，表面上学生虽能够按照一定模式去解题，但并未真正理解数学概念、定理的本质.其实，教师应给予学生自主处理新问题，独立进行辨别、分析、判断、推理、猜想的机会，要允许学生思维的自然展开和差错的存在.因此，在分析教学结构，设计教学过程时，要充分关注学生数学思维过程，并以此作为课堂教学设计的切入点.本文将围绕上述问题作进一步的分析研究.
一、数学教学过程的分析
教育心理学研究表明，教学从根本上来说，是一个师生双方在认知和情感两方面进行交互作用的过程.教学过程就是不断地寻求教学要求与学生已有认知水平之间，以及教学要求与学生学习意愿之间平衡的过程.学生的数学学习虽不可能去重复数学家发现数学新规律的实践过程，但间接的数学学习体验是获取知识的重要过程.因此，数学教学过程就是引导学生探索未知领域新知识的数学再创造过程，就是数学思维活动的教学.针对学生数学学习的特点，数学教学过程有以下一些特征.
1.数学教学过程是逻辑思维与非逻辑思维的相互作用过程
我们说数学学习需关注两个方面：一是，在继承数学文化知识的同时，发现其问题和不足，从而形成新的思想，引出新的概念，构建新的理论体系.二是，从感性的经验材料中，抽象、概括出一般性的结论.在此过程中，人们就会使用分类、比较、分析、综合、猜想等思维方法，起作用的主要是逻辑思维方法，而非逻辑思维方法间或也会发挥不可忽视的作用.因此，从数学学习或数学教学考虑，严格的逻辑思维方法，需要灵活的非逻辑思维方法来帮助.非逻辑思维方法因不受固定格式和时间、空间的限制，它可以渗入任何思维过程，在关键时刻，能把断裂的逻辑思维方法重新接通.可见，数学的学习过程就是逻辑思维与非逻辑思维相互作用的过程，它们是同一思维过程中的两个相辅相成的方面.因此，在探寻数学概念、数学规律、数学思想的发生、形成、发展过程中，充分揭示数学思维过程，使学生真正理解和掌握所学知识.
2.数学教学过程是学生数学思维活动的过程
学生的认知都需要经历由感性认识到理性认识的飞跃，这其实是教学中不断引导学生进行抽象概括的思维过程.教学设计中，通过创设有效的问题是学生思维活化的前提，思维的活化，使得学生的认知经验系统被激活，教学中的问题意识更加明显、探究意识更为强烈，教学的主体性也就充分发挥出来.通过充分揭示知识的发生、发展和变化来揭示数学思维过程，使学生能从思想方法的高度去理解数学，迅速抓住问题的本质，创造性地应用所学知识去寻求解答方法，不断提高分析问题和解决问题的能力.因此，教师应始终关注数学知识中隐含的数学思维主线，把获取知识的思维过程充分暴露出来，使课堂中不断产生师生之间智慧与思维的交流与碰撞，激发与激活学生数学学习的兴趣与潜能.波利亚在《数学与猜想》中写道：“欧拉最重视数学思维的教学，欧拉认为，如果不能把解决数学问题背后的思维过程暴露给学生，数学教学就是没有意义的”.
3.数学教学过程是三种思维活动的不断演进过程
数学教学过程中的三种思维活动是指：编写者的思维活动（体现在教科书中）、数学教师的思维活动、学生的思维活动.由于数学教科书呈现出的是知识的文本逻辑体系，这其中隐含着知识发生、发展的抽象概括的思维过程.同时，教科书中的数学知识结构体系与学生数学认识水平之间存在较大差异，不利于学生数学学习.因此，教师需要合理设计教学过程，在编写者的思维（教科书）和学生的思维活动之间，在学生已有知识与面临的问题之间架设桥梁，教师需要吃透教科书（明晰编者的思维活动），把握学生对已有知识的思维过程（重视学生作业的分析）.使编写者、教师、学生的思维活动和谐统一和不断演进，能不断引导与调控学生的思维活动，使学生形成良好思维品质和合理的数学认知结构，切实促进有效的数学课堂教学.
二、关注数学思维过程的数学教学设计
1.重视剖析知识的形成与发展过程
数学思想方法蕴涵在数学知识的发生、发展和实践过程中，是数学知识在更高层次上的抽象和概括.因此，在数学教学设计中，要注重数学概念的形成过程、定理法则的提出过程、解题思路的探索过程，充分暴露思维过程，使学生在学习数学活动过程中展开思维、发展能力、提高思维品质、激发学习兴趣.以“复数概念的教学”为例，可设计如下的教学环节（问题为中心）.
环节1：注重概念的引入（数系扩充的必要性和一般规律引入）.
问题1：讨论关于x的方程
的解的个数.（意义：把新概念与完整的知识结构联系在一起，体现学生的认知过程）.
学生得出结论：实数范围内4个解，
，其中，方程在
在实数范围内无解.
环节2：感悟概念的产生（学生体会到概念形成过程是自然的）.
问题2：可否扩充数系使方程有解？（意义：体会学习概念与前人形成概念的相似之处，问题——辨别（比较、分析、综合）——抽象——提出假设——概括的思维过程）.
结论：新数满足平方等于-1，即
，且原有的加、乘运算律成立（通过增加新元素和规定适当的运算）.
环节3：参与概念的建立（理解用符号化语言精练表达复数概念）.
问题3：将虚数单位与实数进行四则运算，会得到怎样的结果？（意义：体会复数运算与实数的运算融合成的一个整体）.
环节4：深化概念的理解（对概念从特殊化、一般化、几何意义等方面去考察）.
问题4：实数m取何值时，复数z=m+1+（m-i）i是实数、虚数、纯虚数？
这样的教学设计，着眼于使学生能够真正把握新概念的本质属性，从数学发生、发展的客观需求出发引入新概念，这其中渗透了数学研究的合情类比推理、归纳演绎思维和非逻辑思维，把观察与实验、分析与综合、猜想与反驳的思维活动贯穿于教学之中.学生经历了利用已有的数学认知结构，使新知识纳入到一个相应的数学结构中，创新衍生出新知识的探索过程，这正是教学设计中关注数学思维过程的自然结果.
2.分析与显化问题中的数学思维过程
解决数学问题是一个不断分析问题，将其转化为已知问题的思维过程.思维进程往往遵循着一般逻辑、数学思想、具体数学方法、技巧和程序来推进.教学设计时，要充分关注学生对数学问题的观察与分析、抽象与概括的思维过程，要剖析与显化如何选取并综合已有的数学知识，进行判断、推理、猜想、概括的思维过程，并及时评价与调控学生的思维过程.上述思维过程，正是数学家发现数学新规律的思维活动，更是培养学生独立获取新知识，进行创造性思维的能力.
环节1：弄清问题，明确思维方向.
学生阅读题目，分析问题与条件之间的关系，并对题设条件做出解释和转换.学生在分析思考过程中，会将条件“函数f（x）在x=1处取得极值”转化为f'（1）=0，即
3a+2b+c=0（1）
将“其图象在x=m处的切线斜率为-3a”转化为f'（m）=-3a，即
再从涉及a、b、c、m的条件组中消去参数c、m，从而得到
.产生困惑：结论与所求证结果不一致（学生有可能提出猜想，例如，是否运用了条件（2））.
环节2：拟订计划，用困惑显示问题（设计如下问题）.
问题1：你的解答过程完善吗？是否每一步推理都有充分的依据？是否有疏漏？（其实在推出
，默认了a＞0）
问题2：你所得结论与求证结论之间有何关系？为了得到求证结论还需要做什么？（预设学生答，可能需要利用②来证
）
问题3：你感觉条件（2）难以处理，难在哪里？（预设学生思维受阻的原因，感觉方程（2）比较难解，而且解出m后，又无处可代，不知道怎样才能消去m，可能会放弃解出m）
环节3：反思拓展.
反思：解方程时应注意什么问题？（学生马上明白，方程
有实数解m需要验证判别式，这样就得到学生想要的关于a、b的判别式）
拓展：“已知函数
，实数a、b满足a＞b＞1，且f（a）=0，f（b）=0，求实数m的实数解”.学生自然想到：方程f（x）=0有两个大于1的实数根.
通过将题目转化为已有的知识体系和方法处理；通过融观察、猜想、证明于一体的解题思维过程的展开；通过问题的拓展；通过思维不断地聚合和发展的过程，学生不断地赋予数学方法以具体新鲜的意义，思维品质得到优化.中学新课程标准强调：函数与方程思想、数与形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、或然与必然思想、化归与转化思想的深入探究，这其实是对数学思维过程目标的具体化.
3.合理设计学生思维上的过渡与衔接
数学教科书在阐述数学基础知识时，呈现的是经过整理加工的严密抽象的结论，隐去了许多曲折的思维过程.因此，数学教学不能直接照搬教科书上的内容，要考虑学生学习过程中的可接受性.在内容的组织与教学设计中，要考虑学生的思维水平，准确把握学生可能遇到的困难和疑惑，合理设计学生思维上的过渡与衔接.通过吃透教材（理解数学家的思维过程），切实把握知识系统的结构，挖掘客观存在的思维规律，充分呈现数学思维过程.
以人教版《普通高中实验教科书·数学·必修4（A版）》任意角三角函数概念的教学为例，教学设计可关注以下几个环节.
环节1：教材分析.（找准学生思维间断的关键）
高中阶段任意角三角函数概念的建立既是知识重点，也是理解的难点.教学中需要突破用直角三角形定义三角函数的思维局限.因此，在任意角三角函数概念教学设计时需要解决几个关键：如何从角度制过渡到弧度制？如何从锐角三角比过渡到任意角的三角比？以避免锐角三角函数知识的负迁移.如何引入单位圆？其实这也是造成学生思维跳跃、不连续的关键.
环节2：合理设计学生思维上的过渡与衔接.
在任意角三角函数概念教学中，弧度制的引入是困扰学生的一个问题.教学设计中，我们可从数学史的研究中得到答案.其实，角度制与弧度制都是建立在等分圆周上，弧度制把圆周分成等份更科学更合理，把圆周分成360等份是历史形成的一种规定.困扰学生的问题之二是，如何从锐角三角比过渡到任意角的三角比？数学史的研究告诉我们，从锐角三角比到研究任意角的三角比是从几何的方法到解析的方法的转变，是研究视角的重大变化.教学设计中，以史为源可恰当处理学生思维上的过渡与衔接.
环节3：围绕“单位圆定义法”进行教学设计.
通过上述两个环节的教学研究，可顺利设计任意角三角函数概念的教学：回忆锐角的三角函数——锐角放在坐标系中——用角终边上点的坐标表示锐角的三角函数——引入单位圆（用单位圆上点的坐标表示锐角的三角函数）——推广（用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数）.
这样的教学设计，思维过渡自然，有利于步步加深对三角函数本质的理解.通过单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，设计中突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用，注重了学生知识探索过程中的数学思维过程分析.
我们说数学从静态角度看是数学符号、数学公式的汇集，而从动态角度去审视，数学是思维活动的过程.学生的数学学习是一个需要经历初步感知、逐渐领会、再到灵活运用的思维发展过程.教学中应注重设计反应不同思维水平发展的问题串，一个好的问题，应是能启发学生进行思考，并不在于它是简单的还是困难的，是具体的还是一般的，教学设计中教师对此再费时费力也不过分.同时，教学设计中不掩盖数学思维活动的任何一个环节，这是学生形成良好思维结构的根本保证.如果教学中长期片面地强调某些思维环节，忽视另外一些环节，就会造成思维结构的一定缺陷.例如，目前学生的创造性思维能力不足，其中之一就是长期掩盖发现问题环节的结果.一个好的数学教师绝不是把数学作为知识来让学生记住，而是在教学中把数学思维过程埋进基本的教学过程中.
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