让几何探究活动更好地促进学生认知发展&初中几何探究活动教学策略初探_数学论文

让几何探究活动更好地促进学生的认知发展——初中几何探究活动的教学策略初探,本文主要内容关键词为:几何论文,认知论文,促进学生论文,初中论文,教学策略论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。

空间与几何是初中阶段学习的主要数学知识领域之一.空间与几何学习的核心价值是发展学生的空间观念、图形直观和数学思维.空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;根据语言描述画出图形等.几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.数学思维包括数学抽象概括和数学推理(包括类比推理、归纳推理和演绎推理).几何探究是指对图形的结构、特征和关系进行观察(感知)、表示(表征)、猜想(抽象概括)、验证(实验测量验证和演绎证明)等认知活动,获得知识、数学思想方法和数学活动经验的过程,探究活动中的心理过程具有问题解决心理过程的属性,是包含计划、决策、抽象、概括、推理等高级心理的认知活动,在发展学生的空间观念、几何直观和数学思维中起着重要的作用.

几何探究教学活动效率的高低,其评价依据不是一节课中讲授题目数量和解法种类的多少,而是看学生对探究对象的认识水平,在探究活动中参与认知加工的深刻程度,对数学思想方法的理解水平以及数学思维的发展水平.

一、引导学生进行探究方案的规划

任何有效率的活动都是建立在行动规划的基础上,行动规划确定了正确的行动方向和原则,提高了行为的合理性,从而提高行动的效率.在几何探究中,探究方案规划主要包括探究什么(明确研究对象,提出研究问题)和怎样探究(确定探究的大致方向、探究步骤和探究方法).

例如,在探究平行四边形的性质时,探究的对象是研究平行四边形的边、角和对角线的性质(边是平行四边形的构成要素、对角线是平行四边形的相关要素——它是把四边形问题转化为三角形问题的中介);探究的方向是边(线段)、角的位置关系和数量关系(大小);探究的步骤是“下定义—研性质—探判定”;探究的方法是“观察(看图、测量、实验)、猜想、验证(证明)”.这样的规划具有一般性,适用于所有的几何探究活动.

几何探究规划是一种对自身认知操作的调控,属于元认知范畴,难以靠经验自发形成,也不能靠教师的告知形成,而是要经历模仿体验(内隐体验阶段)、反思总结(明朗化阶段)和自觉运用阶段.探究规划活动需要知识和探究活动经验的支撑.组织良好的知识和清晰表述的探究活动经验为形成新的探究规划提供了启发线索.

例如,在学习平行四边形前,学生已经学习了相交线、平行线、全等三角形、等腰三角形等知识,在这些知识的探究过程中,积累了几何探究的直接经验.因此,在平行四边形学习阶段,让学生先给出探究规划,再进行具体探究,以行动规划指导探究活动,这不仅是可能的,也是必要的.

又如,在图形的旋转性质探究中,探究规划包括:

(1)探究的对象——旋转前后图形;

(2)探究的方向——旋转前后的图形的关系,对应点与旋转中心的关系;

(3)探究的步骤——下定义、做实验、进行验证;

(4)探究的方法——实验、观察、归纳.

这样,就需要引导学生自然合理地提出问题,设计图形旋转实验,通过观察和测量发现旋转前后图形的不变性、旋转半径和旋转角的性质,而不是停留在根据教材给出的探究实验进行模仿.如在设计旋转实验时,可以通过观察时针的旋转、汽车刮雨器的运动和三角形的旋转,按照由简单到复杂的顺序,分别研究点、线段和三角形旋转的性质,再归纳出平面图形旋转的一般性质(如图1).

二、重视数学思想方法的体验、提炼和运用

初中几何着重研究怎样从实物中抽象出几何图形、研究图形变化下的不变性和变化规律,用图形描述和分析问题.图形变化、数形结合、特殊化与一般化、分类讨论、化归等构成了几何探究的基本思想方法.让学生在具体的探究活动中体验、在反思总结中提炼、在专项训练中自觉运用这些思想方法,这不仅有助于提高探究的效率,而且能丰富数学思想方法,为发展几何探究能力提供有效的认知活动平台.

例如,在平行四边形性质的探究中,通过把平行四边形分拆成两对平行线段,利用平行线的性质就可以得到“平行四边形对角相等”,类似地,通过把平行四边形分拆成一对全等的三角形,可以得到“平行四边形的对边相等”,把平行四边形绕着一条对角线中线旋转180°与原平行四边形重合,可以得到“平行四边形对边相等、对角相等和对角线互相平分”,这种图形分拆和组合、图形变换的思想方法,在今后的几何探究中会经常用到.把平行四边形的角特殊化到90°得到矩形,把边特殊化到一组邻边相等得到菱形……可见,平行四边形的部分元素的特殊化导致了整个图形的特殊化(变成轴对称图形)和其他元素关系的特殊化,这种研究方法在今后的几何探究活动中也经常用到.

案例1 把Rt△EDF的直角顶点D放在等腰Rt△BCA的斜边AB的中点,两条直角边分别与△BCA的两直角边交于点M、N,试探究DM和DN的数量关系(如图2).

在这个探究过程中,先把△EDF的位置特殊化到两直角边与△BCA的两直角边分别平行的情况,这样,四边形DMCN是正方形(如图3(3)),直接得到CM=CN.由此得到启发,在一般情况下,也可以构造以点D为顶点的正方形,通过全等三角形(Rt△DPN≌Rt△DQM)得到证明(如图3(2)).

其实,对于这个问题,还可以把点D移到斜边AB上除点A、B以外的任意一点,得到DM:DN与BD:AD的关系(如图3(1));还可以把两个三角形的位置再加以变化,得到更为一般的问题的结论(把△EDF旋转到与△BCA除点D外都不重叠的位置,把边相交变成边的延长线相交,如图3(4)、图3(5)).

在这个问题的解决和拓广过程中,特殊化和一般化的思想的应用贯穿始终.

数学思想方法是一种数学认知活动的指向性经验,是默会知识.它是在具体的问题解决中体验,在反思总结中明朗化,并在自觉的应用训练中得到巩固和深化的.几何探究中的数学思想方法需要经过具体问题解决中的体验、一类问题解决过程的反思和总结、在思想方法指导下的问题解决三个学习过程,在这三个过程中,前者是后者的基础,后者是前者的发展.

对于数学思想方法的教学,比较有效的策略是在平时教学中,教师根据学习内容,有意识地设计蕴含数学思想方法的几何探究活动,在活动过程中,通过师生、生生的相互交流和教师引导,完成探究任务,在此基础上及时进行反思和总结.在复习教学中,通过问题解决和再次反思总结,深化对数学思想方法的理解;通过专项训练,提高数学思想方法应用的熟练程度,使之内化为学生的观念和自觉行动.

三、在几何探究教学中进行数学思维的整合训练

平面几何学习对于发展思维起到不可或缺的作用,正因如此,才使古老的欧几里得几何中的一些内容在进行教育形态的改造后,保留在初中数学教学内容中.研究成果表明:在具体的情境下,结合具体的知识和任务进行推理证明的学习是最有效的,这种情境应该能够融合大脑基于语义的规则和空间加工方式的训练;推理与语言符号密切相关,让学生经历推理的听、说、读、写活动,能有效促进推理证明的学习.

首先,平面图形直观可视,既能让学生较早地进行图形相关知识的积累,又能让学生进行基于具体的背景知识的演绎推理训练,因而成为练习推理的良好平台;其次,图形是客观事物的直接抽象,是训练学生数学抽象概括能力的好素材;再次,图形的位置及其变化的感知、用图形的结构及其变化描述和理解客观世界中的相对位置关系,符合学生的年龄特征,是训练学生空间定位能力和空间结构把握能力的好素材,因此也是发展空间观念和几何直观的好素材.

几何探究的核心价值(发展空间观念、几何直观和数学思维)的实现,需要以基于具体问题的适当的探究任务来引领学生的几何探究活动,学生的空间观念、几何直观和数学思维是在几何探究活动中得以发展的.

在几何探究中,思维的对象是几何图形及其属性,思维的核心是基于图形的抽象概括,思维的基本形式是推理(类比推理、归纳推理和演绎推理).几何探究中,数学思维是建立在空间和图形感知、图形属性表征的基础上的.从图形的属性(位置、大小、形状、结构)观察出发,引导学生从背景中分离出基本图形,用适当的数学方法(语言、数、式、图、表)表示基本图形的属性,从具体典型的图形属性出发,通过类比归纳,概括出一般图形的属性,并用演绎推理证明概括而成的结论,这是基于认知操作的学习任务设计,实践证明,这种教学方式对于发展学生的数学思维具有良好的效果.

例如,在圆周角定理的探究中,首先,通过回顾圆心角,让学生知道圆心角是由圆和角构成的组合图形,且“角”的位置很特殊.如果把角的顶点从圆心移到圆周,角与圆的位置关系就发生改变了.然后,让学生感知到把顶点从圆心移到圆周,有无数个位置,这样,同一个圆心角可以移出无数个圆周角,从而提出问题:这些圆周角之间有什么关系?这些圆周角与对应的圆心角之间又有什么关系?进而明确探究的目标:研究同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系、同弧所对的圆周角之间的关系(如图4).

在这个目标驱动下,首先进行测量,在此基础上获得猜想:尽管这些角的位置不同,但大小都相同,都等于对应的圆心角的一半.在圆周角定理的学习中,学生感到最难的往往是证明中的分类讨论,想不到证明思路.其实,可以从同弧所对的圆心角的唯一性和圆周角位置的不确定性开始,引导学生进行自然合理的数学思考:无数个圆周角对应着一个圆心角,这些圆周角是圆心角的顶点移动的结果.

(1)对于一般的情况,我们没有证明思路,这时可以先采用特殊化思想,让圆心角的顶点沿着特殊的路径(直径BC)移动,得到一个圆周角(如图5),此时,圆周角与圆心角是“一对一”的,∠C与∠AOB有什么关系?能证明吗?

(这是学生容易解决的).

(2)回到一般情况,如果角的顶点不沿着直径移动,则可以以这条直径为界进行分类,引导学生把这两类情况转化为与直径有关的特殊情况(如图6(1),图6(2));

四、引导学生及时进行几何探究方法和步骤的反思、总结、运用

数学认知水平是在数学认知活动中形成和发展的.几何探究的方法和步骤也是在探究实践和反思中形成和发展的.前者是经历“做”的过程,后者是认识“怎样做”和“为什么可以这样做”的过程;前者是后者的基础,后者是前者的提升.从学生发展的角度看,明白“怎样做”和“为什么这样做”才是最有价值的.而在教学实践中,其地位往往被倒置了.“用大量的题目训练,而缺乏有效的策略方法层次的概括提升”成为复习课中的通病.单从应试的角度看,学业水平考试是对学生数学认知水平的全面评价,试题是创新、不能覆盖的,但数学核心知识和思想方法以及数学认知活动是可以覆盖的,教师要做的是用核心知识、思想方法和认知活动覆盖考试,才能达到事半功倍的效果.

几何探究的方法和步骤的形成和巩固,需要经历在探究中体验、在反思总结中提炼、在自觉应用中巩固和发展三个阶段.第一阶段叫内隐体验阶段,是分散在知识的形成过程中,关键是通过实际活动体验探究的方法和步骤;第二阶段叫明朗化阶段,是在阶段复习活动中进行的,其关键是用简约明确的语言表述探究方法和步骤;第三阶段叫自觉运用阶段,其关键是自觉运用探究方法和步骤解决新问题.这三个阶段具有基础和发展的关系,前一阶段的学习活动是进行后一阶段学习活动的基础,后一阶段的学习活动是前一阶段学习活动的自然拓展.

在重要的探究活动完成后,进行数学核心知识、核心思想方法和解决问题的策略、步骤的概括提升,使之明朗化,是反思总结的核心任务.也就是说,在探究活动完成后,应该有4问:

(1)我做得正确吗?

(2)我是怎样想和怎样做的?

(3)为什么可以这样想和这样做?

(4)还能怎样想和怎样做?哪种做法更好?

下面的问题探究和反思总结的过程,给出课堂中反思总结活动设计的一个参照.

案例2 在△ACB中,AC=BC,∠ACB=90°,D为边AC的中点.

(1)如图7(1),E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系,并加以证明.

(2)如图7(2),若E为线段DC延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,证明你的结论.

探究过程

(1)观察

①读题目,标条件(数据):在图形上标出问题的条件和能简单得到的结果;

②看图形,找特征:发现问题中的最显著的特征(等腰直角三角形,线段相等,45°角);分离出基本图形——等腰直角三角形(如下页图8).

(2)猜想

①测量:通过测量发现FC=FH.

②特殊化:让点E与点C重合,得到下页图9,推断出F是AB中点,显然有FC=FH.

③猜想:通过概括(想象点E在点C、D之间运动,估计出结论不变),猜想FC=FH;

再把图9中点E的位置一般化,回到图8,受构造全等三角形方法的启发:延长DF,交AB于点M.

(3)证明

①证明思路分析.

从图9回到图8的一般化后,延长DF,交AB于中点M(如图10);

要证明FC=FH,想到用全等三角形知识证明,把问题转化为证△CEF≌△FMH.比较明显的条件有∠MFH=∠ECF(它们都是∠CFD的余角),∠FHM=∠CFE,问题转化为寻找边对应相等的条件:FM=CE.这一条件可由DC=DM,DE=DF推理得到.

这些条件的获得需要反复寻找基本图形(如等角的余角结构、直角三角形两锐角互余结构、外角与内角关系结构、相等线段减相等线段结构等).

②书写证明过程.

(由学生完成).

(4)拓广

当点E为线段DC延长线上一点,其余条件不变时,中点和全等结构依然存在,结论仍然成立(此题还可以拓广到“点E在线段DC延长线上时,结论仍然成立”).

反思总结

(1)探究结论可靠吗?

评价证明过程的合理性(是否步步有据,是否有条理,是否简约明了).

(2)是分哪几步做的?

观察—猜想—证明—推广.

①怎样观察?

读题目、画图形、标条件(数据)、想基本图形.

②怎样得到猜想?

测量、特殊化、结果表示(FC=FH).

③怎样证明?

发现中点,找全等三角形,找条件,证全等,

变条件,画图形,找全等,得结论.

④怎样推广?

(3)在证明过程中,是怎么想到证明思路的?

用特殊化和一般化的方法,受图形中的多中点和多等腰三角形特征启发.

(4)还有其他的证明方法吗?

探究方法的迁移应用

案例3 如图11,在正方形ABCD中,点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上,EF、GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.求GH的长.

【注】同例2一样,此题也可以通过平移边进行特殊化从而获得解题思路(如图12).

(对案例3的拓广)已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,AB=m,AD=n,EF、GH交于点O,∠FOH=90°.试探究EF和GH的数量关系.

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