陕西省咸阳市泾阳县泾干镇中学 713700
摘 要：本文以一道正方形为背景的中考题为例，分析了几种解法，并找到解题的突破口。
关键词：一题多解 正方形
如图1-1，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是______cm2。
分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形，才能运用规则四边形或三角形的面积公式求解。也可考虑间接求解：先求出空白部分的面积，再用正方形的面积减去空白部分面积。题目中重要的是要考虑中点如何运用。
解法一：如图1-2，连接AC、BD交于G,根据正方形性质，G是BD中点，显然，O是△BDC的重心。CG经过O点，∴OG= CG，∴△BOG的面积等于△BCD的面积的 ，即S△BOG= S△BCD= × = ，∴阴影部分的面积=S△ABD+S△BOD= + = 。
点评：正方形常见的辅助线是正方形的对角线。由正方形对角线的性质迅速得到O是三角形BCD的重心，利用三角形重心的性质使解答比较简捷。
解法二：如图1-3，连接OC，
∵F分别是CD的中点，∴△DOF的面积和△COF面积相等。
由FC=EC，BC=DC，得Rt△BCF≌Rt△DCE，∠EBO=∠FDO。
由∠EBO=∠FDO、∠DOF=∠BOE、DF=BE得△DOF≌△BOE, OF=OE。
由OC=OC，CF=CE，OF=OE，得△COF≌△COE；
∴△DOF的面积等于△DCE的面积的 ，即△DOF的面积= × ×1× = 。
∴空白部分的面积等于△DOF的面积的4倍，即为4× = 。
∴阴影部分的面积=1- = 。
点评：解答过程反复运用了全等三角形的有关知识，充分发挥了全等三角形在处理几何问题时的工具性。
解法三：如图1-2，同解法一可知，AC过O点，而AC是正方形ABCD的对称轴，
∴△ADO≌△ABO,△DOF≌△BOE，△COF≌△COE。
∵AB∥FC,∴△ABO∽△CFO,相似比为AB∶FC=2,面积比为4。设△CFO的面积为a，则△ABO的面积为4a,同理△ADO的面积为4a,△CEO的面积为a。
∵E、F分别是BC、CD的中点，∴S△DOF=S△COF=a,S△BOE=a；
∴S△BCF=3a= ,a= ，∴阴影部分的面积=1-4a=1-4× = 。
点评：正方形的对称性、相似三角形性质的灵活运用，使解答比较巧妙。解答中根据所设，应用相似三角形的性质得到了图中有关三角形的面积关系，值得关注。
解法四：如图1-4，作EM∥DC交BF于M。
∴△MEO□△FDO相似比为 ，面积比为 ，设S△MEO=t，则S△DFO=4t。
∵△DFO≌△BEO（由证法二知），S△BEO=4t，S△BEM=3t。
∵△BEM□△BCF,相似比为 ，面积比为 ，∴S△BFC=12t，且12t= ,t= 。
∴图中空白部分面积为16t=16× = ，∴阴影部分的面积=1- = 。
点评：全等三角形和相似三角形性质综合应用，思路更加开阔灵活。
解法五：如图1-5，过O作GH∥DC,PQ∥DC,分别交正方形四边于G、H、P、Q。设HO=x，则OG=1-x。
∵△DFO≌△BEO（由证法二知），∴DO=BO。
又∠EBO=∠FDO，∴Rt△DOQ≌Rt△BOG,∴DQ=BG, ∴HO=PO；∴AHPO、CGOQ为正方形。∴阴影部分的面积等于矩形ADQP的面积。
由△BOG∽△BFC得 = = =2,x= 。
∴矩形ADQP的面积=1× = =阴影部分的面积。
点评：把不规则四边形用割补法转化为矩形是本解法的亮点。
总之，归纳以上五种解法，使用的知识点较多，其中相似三角形、全等三角形的性质为解答提供了主要依托，使解答入口更宽。
论文作者:高泉
论文发表刊物:《中小学教育》2016年2月总第232期
论文发表时间:2016/3/24
标签：角形论文; 面积论文; 正方形论文; 解法论文; 如图论文; 阴影论文; 中点论文; 《中小学教育》2016年2月总第232期论文;