意见收敛定理与休谟问题，本文主要内容关键词为：定理论文,意见论文,休谟论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N02 文献标识码：A 文章编号：1000－7660（2008）05－0067－08
意见收敛定理（the Convergence Theorem for Opinion）是主观主义概率论的一条重要定理。主观主义把概率解释为个人的置信度，在验前概率的确定上只有一贯性要求，相当于仅仅要求验前概率满足概率公理，这使得验前概率有很大程度的主观性和私人性，并因此而受到许多批评。对于这类批评，主观主义给出的有力回答是：一贯性要求只是静态合理性原则，满足一贯性要求并非合理性的全部，意见收敛定理表明，随着证据的增加，验前概率的主观性和任意性将被验后概率的客观性和确定性所代替。意见收敛定理给出主观概率的动态合理性原则，因而自然地被用来解决著名的休谟问题，即归纳法的合理性问题。
1、意见收敛定理
法国数学家和哲学家德菲耐蒂（B.De Finetti）在他的力作《预见：它的逻辑定律和主观根源》([1]，pp.93－158)给出意见收敛定理的证明。①这个证明是针对他所谓的可交换事件而言的。可以证明，可交换事件相当于通常所说的独立重复试验的结果。我们以略为不同的方式将其证明表述如下。([2]，pp.70－75)
考虑某一独立重复试验的结果A在n次试验中出现r次的概率。这一概率记为Pn（r），根据二项分布公式：
既然此试验是独立重复的，根据概率的特殊合取规则，A在n次试验中出现r次的每一可能结果的概率是
，一共
个这样的可能结果，故公式（1）成立。
应该说，这一定理的附加条件是容易满足的，因为在试验次数很大的时候，人们对相邻的两次试验结果的验前置信度相差不大，而且越来越近。例如，对于三次抛掷硬币的试验中两次结果为正面朝上和四次试验中三次结果为正面朝上，我们所持的验前置信度可能会有较大的差别；但对于一万次试验中六千次结果为正面朝上和一万零一次试验中六千零一次结果为正面朝上，我们所持的验前置信度的差别就会小得多。这一定理告诉我们，无论对于A在n次试验中出现r次这一结果赋予怎样的验前概率，随着试验次数n的增加，下一次试验结果出现A的验后概率越来越接近于证据e中A出现的频率r／n。由于这是独立重复试验，下一次试验出现A的概率也就是每一次试验出现A的概率即P（A）。
这个定理也是一个大数定理，但不同于伯努利大数定理，文献中有时把它称为“大数定理的逆定理”，笔者更愿意称之为“菲耐蒂大数定理”或“贝叶斯大数定理”。伯努利大数定理是先假定P（A）＝p，然后得出结论：当n→∞，r／n→p。有人以为伯努利大数定理已经为统计归纳推理即从观察频率r／n推出概率p提供了辩护，但这是一种误解。因为伯努利大数定理只为从概率p推出频率r／n提供辩护，而不是相反。不难看出，可能为归纳推理提供辩护的工具是其逆定理即菲耐蒂大数定理或贝叶斯大数定理。
现在我们作一个比较。客观主义者认为，随机试验的某一可能结果A有一个真正的客观概率P（A）＝p。随着试验次数n的增加，观察频率r／n提供了关于p的越来越好的估计。但在主观主义者菲耐蒂看来，“真正的客观概率p”只不过是一种“形而上学的错觉”，实际上随着试验次数的增加，p越来越接近r／n，只不过是人们关于P（A）之验后概率的不断趋近，而无论他们的验前概率有多么大的差别。这只是一种主观意见的趋近，而不是独立于人的客观概率。所以，以上定理又被称之为“意见收敛定理”。这个名称虽然不是菲耐蒂本人给的，但却表达了他的意思。菲耐蒂把这种趋近称为“出于相当深刻的心理学理由的不同个体之意见的精确或近似的吻合”。
贝叶斯主义对验前概率给以很大的自由度，唯一的限制是一贯性要求。置信度满足一贯性要求的充分必要条件是满足概率演算公理。对于n次独立重复试验，A出现的次数可以是从0至n之间的任何数目。对于所有这些可能结果的验前概率是一贯的，当且仅当，
对于可能结果的验前概率，除了一贯性要求外，我们还可以根据个人爱好增加一些非强制的条件。一种常用的非强制条件是“无差别原则”。无差别原则通常表述为：如果我们没有理由偏向于某一个可能结果，那么给所有可能结果以相等的概率。据此，
将此代入公式（4）得到：
（7）
公式（7）是一个经典的结论，即拉普拉斯的接续规则（the Rule of Succession）。现在我们把它作为意见收敛定理加上无差别原则的一个推论。显然，当n→∞，P（H／e）→r／n。
2、对休谟问题的“解决”
德菲耐蒂在证明意见收敛定理之后，对休谟问题的解决表示乐观。他说：“如果接受了主观主义观点，归纳问题就因此得到一个解答。这解答自然是主观的，但是它本身却完全合乎逻辑。”([1]，P.156)下面举例说明借助于意见收敛定理或接续规则来解决休谟问题的一种考虑。
我们像休谟那样被明天太阳是否升起的问题所烦扰。于是，我们从过去5000年的历史记录中找根据。假定这个记录是精确的，此记录表明，过去的1,826,250天里，太阳每天都升起，于是，r＝n＝1，826，250。根据接续规则即公式（7），明天太阳升起的概率是（1,826,250＋1）／（1,826,250＋2）≈0.9999994。因此，我们几乎完全相信明天太阳还会升起，因而不再被休谟问题所烦扰。
对于这一论证，波普尔曾经给出一个反驳。(转引自[2]，P.72)假定在某一天上午伦敦的居民发现太阳没有升起来，尽管钟表的时针已经指到上午的时刻，窗外仍然是黑的。居民们从收音机里得知，地球已经停止转动，太阳固定在地球另一半的上空，那边没有黑夜。除此之外，一切现象都同往常是一样的。当然，这同我们已知的物理规律是相违背的，全世界的物理学家对此感到大惑不解。在这种情况下，明天太阳升起的概率是多少？现在r＝n－1，n＝1,826,251。根据接续规则，明天太阳升起的概率为（1,826,250＋1）／（1,826,251＋2）＝0.9999989。这个概率虽然比昨天计算的概率略低一点，但仍然接近百分之百的置信度。这个结论显然是荒唐的。它表明接续规则和意见收敛定律是缺乏普遍有效性的，休谟问题并未得到解决。
笔者以为，波普尔的这一反驳虽然很有趣，但却没有说到点子上。首先，接续规则和意见收敛定理都是针对独立重复试验而言的。既然这个例子中的人们已经知道太阳升起的原因是地球自转，那么太阳每天升起就不是一个随机事件，更不是独立重复试验的结果，而是一个必然事件。对于必然事件，只要遇到一个反例就会被推翻，或者人们对这个反例表示怀疑。其次，贝叶斯主义是重视背景知识的，背景知识是人们确定验前概率的重要依据。既然地球自转引起太阳每天升起已经成为人们的背景知识，那么贝叶斯方法不会让人把太阳每天升起看作一个随机事件，自然也不会让人把接续规则用于这个事例并得出以上荒谬结论。当然，当我们说波普尔的这一批评不到点子上，同时意味着借用接续规则或意见收敛定理来计算明天太阳升起的概率，这种做法也是不到点子上的。对贝叶斯方法真正构成严重挑战的质疑来自哈金。
3、哈金对动态假设的质疑
主观主义概率归纳逻辑把贝叶斯定理作为确定验后概率的理论依据；或者说，他们把贝叶斯定理作为人们根据经验事实修正验前概率的模型。我们知道，由贝叶斯定理所确定的是条件概率Pr（h／e）即：
贝叶斯定理表明，条件概率Pr（h／e）可由验前概率完全地确定下来。这并不奇怪，因为在概率公理系统中，条件概率本来就是由验前概率定义的，即系统Pr的定义1：
哈金提出一个问题，即条件概率是否验后概率？仅当对此问题作出肯定的回答，才能进而得出经典私人主义的结论，即把贝叶斯定理作为确定验后概率的模型。哈金指出，经典私人概率论事实上暗含着对这一问题的肯定回答，但他们却从未公开地承认这一点，更没对此作出证明。在他们看来，这似乎是不言而喻的。然而情况并非如此，理由很明显，即条件概率可以通过定义归结为验前概率，而验后概率不能归结为验前概率。([3])
哈金把验后概率叫做“给定事实后的概率”，他强调给定事实后的概率与条件概率之间的原则性区别。按照哈金的建议，我们可把给定事实后的概率记为Pre（h）。Pre（h）＝p表示：给定经验事实e之后h的概率为p；而Pr（h／e）＝p表示，如果e是真的，那么h的概率为p。经典主观主义或私人主义概率论暗中接受的一个等式是：
Pre（h）＝Pr（h／e）
然而，哈金有说服力地表明，Pre（h）在数值上不必等于Pr（h／e）。例如，在e没有成为事实之前，某人对h∧e、
h∧e、h∧e和h∧e的置信度分别为：Pr（h∧e）＝p，Pr（h∧e）＝q，Pr（h∧e）＝r和Pr（h∧e）＝1－p－q－r。由于e逻辑等值于（h∧e）∨（h∧e），并且h∧e与h∧e是逻辑不相容的，故Pr（e）＝Pr（h∧e）＋Pr（h∧e）＝p＋q。将Pr（h∧e）和Pr（e）的值代入Pr（h／e）的定义，得到：
这都是验前概率。检验之后，结果是e为真。此人将给定事实之后的置信度作了如下修改（修改后的置信度记为Pre）：Pre（e）＝1，Pre（e）＝0，
，（其中S为某一正数）。
我们注意到，Pre（h）≠Pr（h／e）。但这并不会导致Pre—置信度的不一贯性，因为Pre—置信度也满足概率演算的公理，因而不会导致大弃赌；这就是说，Pre—置信度和Pr—置度都是合理的。既然如此，我们根据新发现的经验事实修改置信度即确定验后概率，不必按照贝叶斯定理进行，尽管对条件概率Pr（h／e）的确定必须依据贝叶斯定理。
由于公式Pre（h）=Pr（h／e）在经典私人概率论中并不是不可违反的，因此，此公式只能作为假设，哈金称之为“动态假设”（the dynamic assumption）。文献中也常常称之为“更新规则”（the updating rule）或“条件化规则”（the rule of conditionalisation）。只有把动态假设加入经典私人概率理论，贝叶斯定理才能成为确定验后置信度的模型，即：
请注意，此公式依赖于动态假设，所以此公式也只是一个假设而不是一个定理。不妨称之为“贝叶斯动态假设”或“贝叶斯更新规则”。
现在我们回过头来看德菲耐蒂的意见收敛定理，它证明的实际上是条件概率的收敛，而不是哈金所说的给定事实之后的概率的收敛，而后者才是我们正想要的。为了避免混淆，在下面的讨论中我们用“条件概率”和“验后概率”分别表示二者，此时的验后概率才是我们心目中真正想要的，即哈金所说的给定事实后的概率。要想使意见收敛定理对验后概率起作用，必须对哈金所说的动态假设亦即贝叶斯动态假设做出辩护。
然而，经典私人概率理论误把贝叶斯动态假设看作概率演算系统的定理，进而作为根据经验事实修改置信度的合理性原则，亦即“动态合理性原则”。哈金向人们揭示出，验后概率即使不满足贝叶斯动态假设，也可满足静态合理性原则。对于静态合理性原则来说，所谓的“动态合理性原则”完全是一个外加的可有可无的假设。哈金不无幽默地说：“这是真的，一个私人主义者可以放弃向经验学习的贝叶斯模型而不失其一致性。咸盐可以失去它的味道。”
4、关于条件化规则的辩护：最少初始概率原则
哈金所说的动态假设一般称之为“贝叶斯条件化规则”，简称为“条件化规则”。哈金的质疑把条件化规则的辩护问题提上议事日程。为条件化规则辩护的一条自然而然的思路就是将静态大弃赌定理加以推广，从而得到动态大弃赌定理；相应地，从静态合理性原则推广为动态合理性原则。动态大弃赌定理说的是，一个人的置信度一旦违反条件化规则，即Pre（h）≠Pr（h／e），那么，他将不可避免地面临大弃赌。最早考虑动态大弃赌定理的是刘易斯（David Lewis），其基本思想在泰勒（Paul Teller）那里得到更充分的表述。([4]) 不过，关于动态大弃赌的努力现在公认为是失败的。在此，笔者给出一个为条件化规则辩护的方案，即提出一个新的合理性原则：最少初始概率原则。
哈金已经表明，验后概率与条件概率不必等同。但在许多情况下，我们有逻辑上的理由让它们等同。现在我们考虑这样一个推理过程：某人在获得证据之前有条件概率Pr（h／e）＝p，于是，他得出结论：如果e确实为真，那么Pr（h）＝p。② 然后他进行观察或实验，并获得证据e。根据肯定前件规则，他得到：Pr（h）＝p。由于结论中的Pr（h）是他在有证据e之后对h所持的置信度，因而这一Pr（h）正是Pre（h），故Pre（h）＝Pr（h／e）＝P，这就是说，他的验后概率等于条件概率。
当然有这样的可能性：进行以上推理的那个人可能在获得证据e之后，由于某种非逻辑的原因，他对h所持的置信度大大增高或降低，从而使得Pre（h）≠Pr（h／e）。例如，某个总统候选人在正式选举之前，根据自己的才干、资历和其他客观条件，通过概率规则计算出，如果他当选总统（e），国内某个危机被解除（h）的概率是Pr（h／e）＝2／3。在他实际当选总统之后，他的自信心、责任感和紧迫感大大增强，从而使他感到那个危机被解除的概率超过2／3。这就是说，他的验后概率大于条件概率，只要他的验后概率不违反概率公理，他的信念发生这样的改变似乎是合理的。
但是，我们要指出，如果这位总统当选人没有逻辑和证据上的理由否定他在当选之前所作的分析和判断，而仅仅出于某种非逻辑的因素就使他的验后概率不同于他在验前所确定的条件概率，这样做一般来说是不妥当的。因为一个人的信念体系应当具有相对的稳定性，除非有做出改变的逻辑或证据上的理由。实际上，如果一个人仅仅使自己的置信度满足概率公理，那么，他的置信度可以随时地变化，只要他对任何一组互斥穷举命题的置信度之和保持为1。这就是说，对他而言，不仅验后置信度可以不同于验前的条件置信度，而且处于任何不同瞬间的置信度都可以是不同的，即使对于同一件事或同一个命题。这样一来，关于概率的任何推理都将成为不可能的，更不用说从验前条件概率向验后概率的推导。甚至可以说，这样一个人根本不值得信赖，因为他的信念是随时变化的。如果一个人的信念体系是如此的不稳定，以致使他自己以及别人无法对他的信念进行任何逻辑推理或逻辑分析，那么，他的信念体系或置信度还可以看作是合理的吗？当然不能。由此可见，使信念体系或置信度仅仅满足概率公理亦即满足静态合理性原则，并不是保证信念体系具有合理性的充分条件。为此我们有必要在静态合理性原则的基础上增加新的合理性原则。在给出新的合理性原则之前，我们需要引进两个术语即“初始概率”（initial probability）和“后继概率”（consequent probability）。
一个概率是初始概率，当且仅当，其值是非逻辑地确定的。一个概率是后继概率，当且仅当，其值是逻辑地确定的。所谓一个概率值是逻辑地确定的，就是说，其值是由其他概率逻辑地推出的。后继概率包括两类，一是根据概率规则计算出的概率值；另一如前边已经展示的，由条件概率通过肯定前件规则得出的验后概率。
我们知道，总有一些概率值被作为推导其他概率值的依据，而它本身是不能由其他概率逻辑地推出的，这样的概率就是初始概率。虽然初始概率是不可避免的，但是，我们应当尽量减少初始概率的数目。这是因为初始概率的确定是基于非逻辑因素的，如情感或直觉，甚至基于主观随意性。因此，在一个人的信念体系中，所容纳的初始概率愈多，其非理性成分愈多，因而也就愈不合理。据此，我们得到一个确定概率的合理性原则，即最少初始概率原则。
最少初始概率原则：关于相同证据和相同命题的两个信念体系，初始概率较少的那个信念体系较为合理。
请注意，这个原则不是要求人们不要改变信念，而是要求人们不要无根据地改变信念，即不要在证据和对象不变的情况下改变信念，或者说，这样的改变越少越好。有了这个合理性原则，我们就可为条件化规则（哈金所说的动态假设）加以辩护。条件化规则Pre（h）＝Pr（h／e）要求把验后概率与条件概率等同起来，因此，这样得出的验后概率是后继概率而不是初始概率。相反，如果验后概率不等于条件概率，那么，这样的验后概率不是逻辑地得出的，故为初始概率。根据最少初始概率原则，我们应当接受条件化规则Pre（h）＝Pr（h／e）。这样，条件化规则的合理性便得以辩护，因而有资格叫做“动态合理性原则”。
5、归纳法的局部合理性
按照条件化规则改变置信度从而得到后继概率，这种改变是在同一置信函项或置信体系内的改变；而违反条件化规则从而不断地增加或改变初始概率，这是置信函项或置信体系的改变。这后一种改变有的时候是需要的，那就是当原有信念体系从总体上不再适合的时候，而不是仅仅由于增加了新的证据。对于一个人来说，整个信念体系的改变相当于世界观的改变，如果每增加一个证据他就改变一次世界观，实际上等于没有世界观。这样的人是有理性的吗？最少初始概率原则就是要求人们不要让自己的信念体系随同证据的增加而改变，但可以而且应该让自己对于某一事件或命题的置信度随着证据的增加而改变，这种改变就是根据条件化规则亦即贝叶斯规则，用条件概率作为验后概率来不断地替换验前概率。
有人会问，是不是任何时候改变信念体系都是不合理的呢？当然不是，有时是必要的。至于整个信念体系改变的合理性条件是什么，则超出概率归纳逻辑讨论的范围。不过，我们可以从库恩的范式理论得以借鉴。一个信念体系之内的改变相是常规性改变，类似于库恩所说的常规科学。一个信念体系整体上的改变是革命性改变，类似于库恩所说的科学革命亦即范式转换。按照库恩的说法，范式之间是不可通约的，没有内在的标准可以作为根据。但是范式之间还是可以比较的，即从它们的解谜能力上进行比较，解谜能力强的优于解谜能力弱的。类似地，两个信念体系之间没有内在的标准可以依据，只能从外在标准上加以比较，即哪一种信念体系使你生活得更好，哪一种信念体系就为可取。如果你在某一时刻能够确信这一点，那你就用新体系替换旧体系，那样做是合理的。但是，一个信念体系一旦确立，不要轻易地改变它，包括不要一有新证据就改变它。这一要求就是“最少初始概率原则”。可以说，最少初始概率原则是常规性合理性原则。这个原则对于讨论归纳问题是合适的，因为归纳合理性是再平常不过的合理性了。
也许有人会说，你这样的归纳辩护是有局限性的，是不完全的。笔者完全接受这一批评。我承认我的目标仅仅是为归纳推理的局部合理性进行辩护，这是贝叶斯方法论的一个特征。我同另一位贝叶斯主义者豪森（Colin Howson）的区别在于，豪森放弃对归纳原则本身的任何辩护，只把归纳逻辑的合理性局限于演绎合理性的范围。而我则要为归纳原则本身的合理性进行辩护，尽管这种辩护也是局部的，而不是整全的。
关于改变信念体系和改变具体信念之间的区别，其实德菲耐蒂早已指出。他说：“无论观察对于预测未来所施加的影响是什么，它从不蕴涵也从不表示我们纠正了关于概率P（
）的最初评价，尽管它已被经验否证，并被替换为另一个概率P*（），后者符合经验因而可能更接近真实的概率；相反，它仅仅是在如下意义上表明它自己，即：当经验告诉我们前n次试验的结果为A时，我们的判断不再表达为概率P（），而是表达为概率P（／A），即在考虑把结果A作为条件的时候我们的初始意见已经加入对事件E的评价。这个初始意见没有什么被批判或被纠正；事实上不是函项P被改变（被另一个函项P*所代替），而是变目被替换为／A，这恰恰是保留了对我们初始意见的忠实（这个初始意见表现为对函项P的选择）和我们判断的一贯性，即当已知情况发生变化时我们的预测也发生变化。正如一个人在抽彩中从10,000张彩票中抽出一张号码为2374的彩票，他评价中彩的概率是1／10,000，但他随后的概率评价是1／1000、1／100、1／10、0，当他看到最后抽取的筹码号是，比如说，2379。在这每一个事例中他的判断都是完全一贯的，并且在每一次抽取之后他没有理由说前边的概率评价是不正确的（在它被作出的时候）。”([1]，pp.146－147)
德菲耐蒂的这段话可以看作是对条件化规则的一个辩护。他告诉我们，按照贝叶斯定理将验前概率不断地替换为验后概率，这不是对原来概率函项即信念体系的改变，反而是对它的忠实。这样所做的每一次改变都满足一贯性要求，因而是合理的。但是，后来哈金提出的质疑是，即使我们不按照条件化规则来确定或改变验后概率也可以是一贯的。显然，这一质疑突破了德菲耐蒂对条件化规则的辩护。
笔者提出“最少初始概率原则”是对德菲耐蒂辩护的一个补充，即：如果不按照条件化规则来确定或改变验后概率，那将违反最少初始概率原则，因而是不合理的。
现在我们考虑对德菲耐蒂这一论证的另一个批评，它由吉利斯（D.Gillise）提出：
“在所有场合中，验前概率函项P都建基于对所研究情境之本质的一般假设之上。如果这些假设是广泛地正确的，那么，德菲耐蒂按照贝叶斯条件化来改变P的方式将得出合理的结果。然而，如果初始假设在某些方面是严重错误的，那么，不仅验前概率函项是不合适的，而且由它根据证据所得出的所有条件概率也是不合适的。在此情况下为得出合理的概率，我们有必要以一种比德菲耐蒂所允许的更猛烈的方式来改变P，甚至引入一个新的概率函项P*。这一思路可以概括如下：德菲耐蒂所允许的仅仅通过贝叶斯条件化来改变的模式是太保守了。有时，为了取得进步，对P加以远远多于他所允许的改变是必要的。”([2]，pp.74－75)
笔者认为，吉利斯对德菲耐蒂的这一批评是完全正确的。德菲耐蒂只承认一种改变信念的方式即贝叶斯条件化，这等于否认任何信念系统的整体改变，而这种整体性改变无论对于科学家还是普通人是时常发生的，科学进步和个人进步往往是在这种剧烈的信念改变中取得的。吉利斯的这一批评对于德菲耐蒂之所有是有力的，那是因为德菲耐蒂所持的是整全合理性的观点，他不承认以贝叶斯条件化之外的方式来改变信念的合理性。
与德菲耐蒂不同，笔者所持的合理性观点不是整全主义的，而是局部主义，我只为按照贝叶斯条件化改变信念的合理性给以辩护，而不否认其他方式的合理性。吉利斯说得对，以贝叶斯条件化的方式来改变信念是比较保守的，正如我们在前边所说，它属于常规性的改变，而不属于革命性的改变。然而，为这种保守方式的辩护对于归纳合理性来说已经足够了；因为，归纳推理是一种再平常不过的推理，相应地，归纳合理性是一种再平常不过的合理性。正因为连如此平常的合理性都出了问题，休谟问题才显得尤其重要。
总之，局部合理性观念加上最少初始概率原则，使笔者为贝叶斯条件化规则所做的辩护免受德菲耐蒂所受到的批评和指责。如果这一辩护是成立的，那么，德菲耐蒂的意见收敛定理便为基本统计推理提供了辩护。
基本统计推理是：当观察样本充分大时，从某一随机事件A的观察频率r／n，可以推出它的概率P（A）＝r／n。而这恰恰是德菲耐蒂大数定理即意见收敛定理所证明的，即：当n→∞，P（H／e）→r／n。
不过，事情到此尚未完结。我们知道，意见收敛定理是相对于独立重复试验而言的，要想应用意见收敛定理，首先需要确定你所面对的随机事件属于独立重复试验的结果。独立重复试验的一个重要特征是：一个结果在每一次试验中出现的概率是相等的。如何辨认这一特征呢？一个不可避免的依据是无差别原则。然而，无差别原则会导致逻辑矛盾。在这些矛盾被解决之前，意见收敛定理是无从应用的。关于无差别原则及其悖论的讨论可参阅拙文（文后参考文献[7]和[8]）。
注释：
① 德菲耐蒂并没有给这个定理正式命名。就笔者所知，首先称之为“意见收敛定理”的是赫西（M.Hesse，见其著作The Structure of Scientivid Inference,1974,pp.115－118.）有些文献把这个定理称之为“逆大数定理”（the inverse law of large numbers）。
② 从条件概率得出这个条件命题，这是很自然的事情。不过，笔者还是在拙作《归纳逻辑与归纳悖论》（武汉大学出版社，1994年）给出它的严格证明。
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