美国初中数学教材中的“平均数、中位数和众数”，本文主要内容关键词为：中位数论文,平均数论文,美国论文,初中数学论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自从TIMSS对近50个国家几百本数学教材进行比较分析后，数学教材在数学教学中的作用逐步引起了国际数学教育界的关注[1]。在国际成就比较中，重要的是考虑到学生在课程经历上的差异以及这种差异是如何影响到他们的数学学习[2]。对不同国家数学教材的研究，对推动我国数学课程改革，促进学生的数学学习有着非常重要的意义。在我国，统计与概率内容全方位进入中学数学教材的时间还比较短，在教学实践中还需要不断充实完善，同时发达国家的成功经验值得我们认真研究和借鉴。平均数、中位数和众数是统计学中的基本概念，虽然它们的计算较为简单，但对其统计意义的理解却并非容易。我们选取美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材，对平均数、中位数和众数的内容进行考察，充分挖掘其特色和优势，以期对我们的教材建设和教学改革有所启示。
一、美国教材中的平均数、中位数和众数
美国教材中平均数、中位数和众数的内容安排在六年级的第2章和八年级的第9章。其中六年级第2章分两小节，第一节“求平均数”，第二节“中位数和众数”；八年级第9章只有一节，即第一节“求平均数、中位数和众数”，之后有一个活动实验：比较平均数和中位数。这里的平均数是指算术平均数。我国的教材如人教版、北师大版、华师大版把该部分的内容放在在八年级，而且除了算术平均数之外，更多的是学习加权平均数。
本文从以下五个方面对美国教材中平均数、中位数和众数的内容进行考察：(1)导言；(2)平均数、中位数和众数的计算；(3)平均数、中位数和众数的分析；(4)平均数、中位数和众数的选择；(5)活动实验。
1.导言
每节的导言分为两部分，一是学什么？六年级要求学生求出和分析一组数据的平均数、中位数和众数；八年级要求学生选择恰当的统计量表示数据的集中趋势。二是为什么学？告诉学生气象学家、科学家和统计学家经常需要用平均数、中位数和众数来描述数据，并配以各种活动场合的精美图片。
这部分的“学什么”和“为什么学”，有利于学生明确学习的目标和学习的意义，同时也反映出教材螺旋式上升的编排体系。我国的学习目标是在课程标准中规定的，教材往往通过具体情景提出问题，引入所要学习的内容。
2.平均数、中位数和众数的计算
平均数的计算主要有两种方法：一是借助模型计算，即通过画图或使用实物来模拟情景，调整小组中各个数据的值使所有的数据相等，这实际上就是我们平时所说的“移多补少”的模式；另一种根据定义直接计算，即把各数据的值加起来除以数据的个数。值得注意的是，六年级教材62页的例题2，把平均数求出来后，还检验合理性：平均数位于最小值和最大值之间。中位数和众数也是根据定义计算，与我国教材不同的是，众数的识别还包含非数字的类型，如：sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad。
3.平均数、中位数和众数的分析
平均数、中位数和众数的计算都较为简单，但要注意分析极端值对它们的影响，例如六年级62页例题3：你的科学课程的测验成绩是：81，77，92，89，81，87，75，42，81分，分别求出有、无极端值时的平均成绩，分析极端值对平均成绩有什么影响？
统计也能产生误导，特别是在含有极端值的一组数据中，平均数就不一定能够反映“平均水平”，这是对平均数概念理解的一个不可缺少的方面。六年级教材94页给出例题3：一个职业篮球队中5名选手的年薪分别为：7200000，1200000，1000000，800000，800000美元，平均年薪是2200000美元，解释为什么平均数不是描述选手年薪的最好统计量？
从以上我们可以看出，美国教材非常强调极端值对平均数的影响。相比之下，我国教材对此重视不够，如人教版教材在平均数、中位数和众数的内容结束之后有一个简单的“归纳”：极端值是指一组数据中与其余数据差异很大的数据，并指出，平均数受极端值的影响较大，而中位数和众数不易受极端值的影响。我们发现，在此之前，教材中没有一个例题提到极端值，既然如此，哪来的“归纳”？学生又如何体会极端值对平均数、中位数和众数的影响？梁绍君的调查表明，学生对平均数易受极端值影响的理解不够深入，以为平均数就是中等水平[3]。这也许可以从我们的教材中找到一部分根源吧。
4.平均数、中位数和众数的选择
对于同一组数据，平均数、中位数和众数的值可能差异较大，如何选择一个合适的统计量来描述该组数据？这里主要包括两个方面：
一是根据具体问题，选择一个最好的统计量来描述数据集中趋势的特征，如六年级教材67页的例题3：
花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，求出平均数、中位数和众数，哪一个最能描述花费在因特网上时间的典型性？
二是根据问题需要，选择一个最合适的统计量来描述数据，如八年级教材414页的例题4：
一个气象学家记录了本地飞机场上周每天下午5点的温度（°F）：45，78，75，80，78，61，58。平均数、中位数和众数中哪一个统计量使天气看起来最暖和？
再如八年级教材415页习题16：
一个公司给出了雇员的工资：20000，22000，34000，42000，43000，50000，80000美元，哪一个集中趋势的统计量使你最想申请到该公司工作？
以上两种情况是有区别的，第一种强调如何使用平均数、中位数和众数来反映一组数据的集中趋势，具有“客观性”；第二种强调根据问题需要，平均数、中位数和众数如何“为我所用”，具有“主观性”。在教学和学习中，“学以致用”是理解统计与概率的重要步骤，这在华东师大版教材中有很好的体现，例如，在学习了“平均数、中位数和众数”之后，接下来就是“平均数、中位数和众数的选用”，这样有利于学生对概念的理解。
5.活动实验：比较平均数和中位数
学生在学习中，常常对平均数和中位数的选择感到困惑。美国教材在八年级平均数、中位数和众数的学习结束之后，安排了下面的一个活动实验。
当你描述一组数据的集中趋势时，需要选择一个统计量来表示。数据的特征能帮助你选择恰当的统计量。具体活动安排如下：
(1)记下每个小组成员的身高，算出平均数和中位数。
(2)假如一个身高是7英尺2英寸的人加入你所在的小组，重新计算该组的平均数和中位数。
(3)平均数和中位数，哪一个受到新数据的影响更大？作出解释。
(4)你所在的小组加入这个人后，平均数和中位数哪一个更能较好地描述这个小组的身高？说明理由。
这个活动说明了，在一组相差不大的数据中，增加一个极端值对平均数的影响比对中位数的影响要大。同为数学活动，但两国教材的侧重点是不一样的。我国人教版教材在该章结束后安排了两个数学活动，通过实例让学生体会用样本平均数估计总体平均数的思想。用样本估计总体是统计的基本思想，我国教材对此比较重视。
二、启示
1.把算术平均数、中位数和众数作为一个整体教学
美国六年级教材分两节学习平均数、中位数和众数的计算，而八年级则把平均数、中位数和众数合为一节，侧重于应用。事实上，平均数、中位数和众数都是用来概括一组数据集中趋势的量数，在不同数据情况下具有不同的代表性特征，因此这三个量数之间联系紧密，理应放在一起进行教学。在我国人教版义务教育阶段教材中，四年级学习平均数，五年级学习中位数和众数，八年级学习加权平均数并进一步学习中位数和众数。虽说八年级的加权平均数是对算术平均数的巩固和深化，但从算术平均到加权平均是一个很大的跨越，学生并未做好这方面的准备，我们的教学还远远没有跟上[3]。此时，要求学生对加权平均数、中位数和众数的使用作出合理选择是不现实的。因此，我国八年级教材可把算术平均数、中位数和众数合为一节，作为一个整体进行教学，这一节既可以是小学阶段算术平均数、中位数和众数学习的复习，又可以是这些集中趋势统计量的选择应用。在此基础上，下一节再学习加权平均数就容易了。
2.淡化定义与计算，注重应用
对于平均数、中位数和众数，重要的不是它们的定义和作为代数公式的运算程序，而是它们所包含的统计意义。教学的重点应当是培养学生对统计量的选择能力，即能够根据具体的问题选择合适的统计量表示数据的集中程度。美国六年级和八年级教材都有平均数、中位数和众数的计算，但更重视分析极端值对平均数的影响，识别统计量可能产生的误导，知道在特定情况下使用哪一个统计量最好。我国教材对此也很重视，如人教版教材指出，平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量来代表数据。但相应的例题较少，而习题中没有要求学生自己对平均数、中位数和众数作出选择使用，这与美国教材形成了强烈反差。
3.利用计算机模拟实验
中小学统计课程的教学应当是一种直观的教学。什么是直观的教学呢？就是更多地依赖于学生的经验，特是他们曾经亲身经历过的经验，从中去感悟、分析、理解、抽象，最后形成概念，学会判断。反复重复这个过程，直觉就建立起来了[4]。在这个教学过程中，利用计算机是有益的，除了计算，更重要的是模拟实验。在一些经验的基础上，我们不一定每一次都去做非常实际的实验，而是可以在计算机上模拟实验。美国八年级教材中平均数与中位数比较的活动实验，其实也可以通过计算机软件实现。例如，利用可以制作点线的软件，学生可以描述出一组数据并在直线上标明平均数和中位数，只要改变其中的一个数据值，以及增加或者去掉一、两个数值，计算机软件就立刻给出新数据组的平均数和中位数。这样有助于帮助学生理解平均数和中位数的不同灵敏性。实际上，美国数学课程标准的官方网站(http://standards。nctm。org/document/eexamples/chap6,/6.6/index。htm)，就提供了这样的网络资源。相对而言，我国教材仅仅介绍使用计算机去计算平均数、中位数和众数，忽视了计算机辅助教学更重要的意义。