克里普克极小固定点真理论，本文主要内容关键词为：极小论文,克里论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1007-905X(2016)04-0041-06 一、克里普克的目的及所遇到的问题 首先我们要清楚克里普克的目的是什么。克里普克当然是要解决悖论，但是解决悖论只是他的真理论的一个“顺便”解决的问题。最终他是要给出一个真理论。那么克里普克的真理论所要实现的目的是什么呢？或者说他要把握什么样的“真”呢？克里普克自己说“我们希望能够捕获下面这样的直观。假设我们正在向不理解‘真’这个词的人解释‘真’。我们可能会说在我们能断定(或否定)一个句子的情境下我们恰好也有权断定(或否定)这个句子是真的。我们的对话者可以理解把真赋予(6)(‘雪是白的’)是什么意思，但是他可能依旧为把真赋予包含‘真的’这个词自身的句子而大伤脑筋。既然他最初并不理解这些句子，那么同样，在最开始向他解释说称一个句子是‘真的’(或‘假的’)等同于断定(或否定)这个句子自身也是没有解释清楚的”[1]。 可见克里普克的真理论的目的是要使人们清楚明白：在可以断定(或否定)一个句子的情境下也同样可以断定(或否定)这个句子是真的，换句话说就是“
是真的”和“
”可以等值置换。当然这里的等值置换默认的是外延语境下的等值置换。这个目的在一般句子上很容易理解和实现，但是在遇到一些特殊的句子，比如一个自身包含“真”谓词的句子的时候，就会出现一些麻烦。所以克里普克的目的就是在所有句子上都能实现“
是真的”和“
”(在外延语境中)等值置换。 要想实现这个目的首先要了解会遇到哪些麻烦。这些麻烦可以统一用一个名字来概括：说谎者悖论。 说谎者悖论的最初记载源自圣·保罗的《提多书》，该书记载了这样一个故事：公元前6世纪，克里特岛上的先知埃庇米尼得斯(Epimenides)说：“……他们中有人，甚至是他们自己的先知，曾说过：这个岛上的所有人都是说谎者……这个见证是真的。”①对于上述这句话，如果恰好岛上别的人说的话都是假的，并且这个先知只说了这一句话，那么这句话是真的还是假的呢？按照自然的推理，它是真的当且仅当它是假的，矛盾。这个悖论其实是依赖于其假设的事实，如果其假设的事实有误，即不是所有人说的所有其他话都是假的，那么这个悖论就不成立。公元前4世纪米利都的欧布里斯提出了这样的一个版本的说谎者悖论“我正在说的这句话是谎话”，这句话是悖论并不依赖于其假设的事实，而仅凭其自身就是悖论。但是，似乎还有一些问题，因为可能会认为这句话是既不真也不假的。于是有了强化的说谎者“本句话是不真的”。如果这句话是假的，那么它是真的，如果它是真的，那么它是不真的，所以它是真的当且仅当它是不真的，悖论。 上述例子可以用更形式的语言表示如下： 例(1)：例(1)不是真的 这个句子的值是什么？如果它是真的，根据(1)自身它是假的；如果它不是真的，根据(1)它是真的。用严格的现代逻辑可以把这个推理描述如下：
上面这个直接带有自指的说谎者悖论被称为“简单的说谎者”(Simple Liar)，这个例子还有一些变体，它们没有直接的自指，但是有间接的自指，比如下面这个“转圈悖论”[2]： 例(2)：A：B不是真的。 B：A是真的。 使用相似的推理可以得出：如果A是真的，那么B不是真的，因而A不是真的；如果A不是真的，那么“B不是真的”不是真的，所以B是真的，因此A是真的。所以A是真的当且仅当A不是真的。同样的推理也可以得到B是真的当且仅当B不是真的。这同样适用于下面提到的例(6)，如果假设(6)是悖论的话。 再看下面这个例子： 例(3)：(a)黑格尔是只小狗 (b)2+2=4 (c)这里的假话比真话多 如果黑格尔是那个哲学家的话，那么(c)是真的当且仅当(c)是假的。 上面的几个例子的一个典型特点就是都包含自指和否定，这似乎说明说谎者悖论都与这二者有关，但是下面的这个说谎者悖论就没有否定，至少表面上没有否定。 例(4)，库里(H.Curry)悖论：令K是下面的这个句子的缩写：
从上面的例子看，虽然不是所有的说谎者悖论都包含否定，但是它们都包含自指。这让人感觉似乎说谎者悖论必须有自指。但是，并非如此，下面这个悖论的例子表明可以不使用自指也能构造出说谎者悖论。 例(5)，雅布罗(S.Yablo)悖论：设想一个无穷的句子序列
……每一个句子说的都是接下来的句子都是不真的：
假设有
是真的，如果
说的是真的，那么任给k＞n，
是不真的。因此(a)
是不真的，并且(b)任给m＞k+1，
是不真的。根据(b)，
所说的恰是这种情况，而这与(a)相矛盾。所以，任给n，序列中的句子
是不真的。但是这又恰说明任给n，
是真的。因此，对于任何n，
是真的当且仅当
不是真的。很明显，这个例子里并没有自指，但是，依然产生了与“真”有关的悖论。这个悖论被称作“似说谎者悖论”(liar-like paradox)。雅布罗称这个悖论是ω-liar，但是通常都称其为雅布罗悖论，这个悖论表明可以不需要自指而仅需要非良基性就能构造出悖论。 例(6)：偶然的说谎者(contingent liar)考虑琼斯说的下面这句话： (1)尼克松关于水门事件的大多数声明是假的。 但是，假设尼克松关于水门事件的声明除了下面的这句话之外其他的声明恰好一半是真的一半是假的。 (2)琼斯关于水门事件说的所有话都是真的。 假设(1)是琼斯关于水门事件说的唯一一句话，那么(1)和(2)都是悖论句：(1)[或(2)]是真的当且仅当(1)[或(2)]是假的。但是，如果琼斯关于水门事件还说了其他的话，并且其中有些话是假的，那么(1)是真的而(2)是假的，这样的情况下就没有悖论。所以偶然的说谎者悖论意味着一个句子是否悖论句依赖于假设的事实。其实上面提到的最初的说谎者悖论就是一个偶然的说谎者悖论，因为它依赖于克里特岛上所有人说的所有其他话都是假的。 以上是说谎者悖论的一些例子，其中库里悖论和雅布罗悖论并不是克里普克文章中所讨论的悖论，但是克里普克的方法依旧可以处理这些悖论。 二、克里普克极小固定点理论 为了实现他的这个目的，克里普克构造了一个极小固定点真理论。他的这个固定点真理论是基于强克林的三值语义学的，所以首先介绍强克林三值语义学。强克林语义学是关于命题逻辑的，其赋值模式如下表：
其中：析取式为T，如果至少一个析取支为T；析取式为F，如果两个析取支都为F；否则，析取式为U。合取式为T，如果两个合取支都为T；合取式为F，如果至少一个合取支为F；否则，合取式为U。“A→B”被定义为“
”，所以其赋值可以由之推出②。
此外，克里普克还引入了“内在的固定点”，称一个固定点是内在的(intrinsic)当且仅当它不会赋予任何句子这样一个真值，使得这个真值与它在其他固定点上的真值相冲突④。一个句子有内在的真值当且仅当一些内在的固定点给它一个真值。有一些无根的非悖论句子，在其有真值的固定点上有相同的真值，但是缺少内在的真值，比如“本句话是真的或者并非本句话是真的”(P∨┐P)这句话，它在某些P有真值的固定点上都是真的，而且不在任何固定点上是假的。但是，假设有一些固定点使P为真，有一些固定点使P为假，那么P∨┐P在任何内在的固定点上都不能有真值，因为这里的赋值规则是遵循组合原则的，即先有构成元素的真值，再根据规则复合出复合公式的真值，而在内在的固定点上每一个构成元素的真值也必须符合内在的固定点的要求，即其真值不能与其他固定点上的赋值相冲突，所以P必须在所有固定点上有相同的赋值，而这是无法做到的，所以它没有真值，所以由之复合而成的公式P∨┐P也没有真值。 克里普克证明的只是极小固定点模型的存在，因为他把T()最初解释为空集的有序对。还有其他的固定点模型，只要把T()的最初解释变为其他的非空有序对即可。利用佐恩(Zorn)引理，每一个固定点都可以扩充为一个极大固定点，但是没有最大固定点(largest fixed point)，因为任何两个对相同公式有不同真值的固定点都没有相同的外延。但是有最大的内在固定点(largest intrinsic fixed point)，最大的内在固定点是对T()的唯一的最大解释(largest interpretation)，它与日常直观的真观念相一致并且对“真”的赋值都一致。 有了固定点模型之后就可以严格定义一些概念。首先是“有根性”：给定L的一个句子A，A是有根的如果它在极小的固定点中有真值，否则无根。如果A是有根的，A的层次就是那个最小的序数α使得A在
中有真值。 “有根性”的直观表述是：如果一个句子断定了一类(这一类可以只包含一个句子)句子的真值，它的真值可以根据这个类中的句子的真值来断定，如果其中一些句子自身包含“真”的观念，则它们的真值必须通过考察其他句子来断定，如果这个过程终止于不涉及“真”概念的句子就能断定最初那个陈述的真值，就称这个最初的句子是“有根的(grounded)”，否则就是“无根的(ungrounded)”。有时候，一个句子是否有根的并不是句子本身的句法或语义的性质，而是依赖于经验事实，比如，“尼克松关于水门事件的大多数主张都是假的”这句话就依赖于经验事实来断定。另外，如果一个句子x断定一个类C中所有句子真，并且如果C中有一个句子假，那么就允许x是假的且有根的，而不论C中其他句子是否有根。 借助固定点模型定义有根性之后，克里普克还借助它来定义悖论：一个句子是悖论的，如果它在任何固定点上都没有真值。有了悖论的定义之后，又可以得出下面一些关于有根句或无根句的性质：如果一个句子是有根的，那么它在所有固定点上有相同的真值。如果一个句子是无根的，那么：(1)无根且悖论的句子在任何固定点上都没有真值，(2)无根且不是悖论的句子有两种可能：(a)在全部极大固定点上有真值，但是却不一定真值都一样，比如“本句话是真的”这样的句子⑤。(b)在某些而非全部极大固定点上有真值，并且在所有它们有值的固定点上有相同的真值，比如“本句话是真的或者并非本句话是真的”，这句话在由“内在的固定点”扩充成的极大固定点上就没有真值，原因前面已经提到。而且，有固定点使其为真，但没有固定点使其为假。但是它是无根的，因为它在极小固定点上无真值。所以在其有真值的固定点上它都是真的。 克里普克方案对于说谎者悖论问题的解决方法是承认有悖论性语句，比如承认说谎者语句
的存在，但是因为它在极小固定点上没有真值，所以这个悖论句只能落在真值间隙里，所以没有矛盾，其他说谎者也可以类似处理。 三、对克里普克方案的评价 克里普克方案相对于分层方案来说的最大优点就是真正实现了只有一个真谓词，并且在这里是语义封闭的，即可以自己说自己真或不真，这与日常语言更相符合。这也是克里普克方案较之塔尔斯基方案的最大优势之所在。 但是克里普克方案也是有问题的，首先，像A→A以及A
A以及需要借助这些定理推出的其他定理等都不是普遍有效的。更重要的是，这些公式之所以不再是有效的是因为排中律在这里不再有效，也就是强克林三值语义学中存在真值间隙，它既不是真的也不是假的。这就与日常语言以及常识相去太远。 其次前面提到，在固定点模型下，可以实现
的等值置换，但是无法使得
或者其弱化的单边形式
成为该模型下有效的。 不只是上面提到的这些定理不成立，对角线定理的通常表述在这种情况下也是不成立的。通常的对角线定理表述为：任给带一个自由变项的开公式P()，存在一个句子
，使得
。但是这个定理在克里普克的方案里可能是不能成立的，因为当
没有真值的时候⑥，
也没有真值。 上面提到了真值间隙，其实真值间隙导致的问题不只是使某些通常接受的定理不再是有效式，而且还有一个很重要的问题就是其否定是选择性否定，而不是排除性否定。这与日常直觉相差很大，日常思维中固然有选择性否定，但日常思维中同样也有排除性否定，克里普克的方法只对这种选择性否定有意义，一旦引入排除性否定同样可以构造出新的悖论。所以，在克里普克的方案中，L不包含这样一个谓词N使得
在L中是真的当且仅当
是假的或者是既不真也不假的⑦，否则，可以构造出一个句子χ，使得
，所以从χ是真的可以推出χ是假的或者是既不真也不假的，从χ是假的或者是既不真也不假的可以推出χ是真的，这即使在三值情况下依旧是矛盾。在这种情况下，或者克里普克方案的表达力太弱以至不能表达排除性否定或者它将面临着新的说谎者的复仇。“因此像‘本语句是假的或无根的’这样的强化的说谎者悖论就无法用他的理论来解决”[3]。 另外，很容易看出，其实克里普克的方案也是有“分层”的，只不过他的方案中的分层只是模型的分层，而不是语言的分层。在语言上克里普克方案中只有一个真谓词，而不是很多的真谓词，但是这个真谓词的外延随着模型分层的变化而变化，直到达到极小固定点模型才停止扩充。除了这种模型的内在分层之外，克里普克还承认有语言的分层，但这个分层是在他的方案之外的元语言层次，并且正是在元语言中我们才可以(在排除性的否定的意义上)说“说谎者语句不是真的”，而这句话不能在他的理论中表达。所以克里普克说“上升到元语言的必然性可能是目前理论的弱点之一。塔尔斯基分层的幽灵依旧伴随着我们”[1]。 ①上面只是按照出现的时间来介绍的，事实上，说谎者悖论的发现很大程度上应该归功于欧布里斯，尽管他比埃庇米尼得斯要晚两个世纪，因为把埃庇米尼得斯的那句话理解为悖论是很晚之后的事情了。圣·保罗自己并没有意识到这句话的悖论性。按照Spade，Paul Vincent在1973年发表的“The Origins of the Mediaeval Insolubilia Literature”中记载，甚至在中世纪的关于说谎者悖论的文献中也没有人提到埃庇米尼得斯这句话的悖论性。 ②如果把T、U和F分别用数字表示为1、0.5和0的话，那么强克林的三值逻辑的赋值的特点是：合取式的值等于合取支中的最小值，析取式的值等于取析取支中的最大值，蕴涵式按通常的方式被否定和析取定义；波兹瓦逻辑(弱克林逻辑)关于否定的赋值与强克林的赋值一样，其他情况下的特点是：如果一个公式(合取式或析取式)中有一个支的取值是U(0.5)，那么这个公式的值为U，否则，合取式的取值为合取支中的最小值，析取式的取值为析取支中最大值，蕴涵式按通常的方式被否定和析取定义；卢卡西维奇的三值逻辑与强克林逻辑在否定、合取、析取上的赋值一样，区别在于有关蕴涵的赋值，而且关于蕴涵的其他赋值也都一样，只是在前件为U且后件也为U的时候在卢卡西维奇逻辑中的赋值是T，所以“A→A”在卢卡西维奇逻辑中是有效式，而这个公式在强克林那里并不是有效的，这也是克里普克方案的一个问题之所在。 ③其中下标“1”表示“外延”，“2”表示“反外延”，“α”表示语言的层次。 ④这里需要澄清一下，克里普克在文章中认为他的方案是二值的，即T和F，而不是三值的，所以U是没有真值而不是第三值，只不过这种没有真值的情况和把它当作第三值并按强克林逻辑处理的时候是一样的，所以可以把它当作三值的方案来看，但其实克里普克只承认T和F二值，所以这里的真值是指T或F。 ⑤这个句子在极小固定点上没有真值，因为初始模型把T()解释为空集的二元组(∧，∧)，在这层解释下这个句子既不是真的也不是假的，所以没有真值，又因为这个句子是说它自己的，所以在后面扩充对T()的解释的时候它依旧是没有真值的，直到极小固定点上它依然没有真值。但是在其他非极小固定点上，因为其初始模型不是空集的二元组，所以可以把任意的句子放在T()的外延或反外延中，所以这个时候也可以把“本句话是真的”这个句子放在其外延或反外延中，由此扩充而成的极大固定点中自然有这个句子的真值，但是因为它既可以被放到外延中也可以放到反外延中，所以在不同的极大固定点中其真值不一定相同。 ⑥因为对角线定理的构造用到了量化语句
，如果P()是T()，当T()最初被解释为空集的二元组(∧，∧)的时候，根据这里的语义，整个存在语句就没有真值，而且因为这个句子的代入例是其自身，所以在后面对T()的解释的扩充中也没有真值，当扩充到固定点上的时候也是没有真值的，所以这个量化句是没有真值的，所以由这个句子通过量词消去之后得到的等价式
也是没有真值的。 ⑦因为在克林三值逻辑中谓词“假的”可以被定义为“不是真的”，所以所谓不包含排除性否定其实还可以更精确的表述为不包含谓词“既不真也不假”。
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