高中数学新教材第九章教学问答（一），本文主要内容关键词为：第九章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
162.为什么说立体几何是平面几何的继续和发展？
答：中学立体几何知识，无论是教学目标和教学要求，或是教学内容及其方法，都是平面几何知识的继续和发展.它们之间既有密切的联系，又有一系列的区别.
（1）在立体几何中，平面几何的一系列内容得到了深化和发展.
例如，关于平行的概念以及直线平行关系的传递性，在平面几何中，都只能局限于在同一个平面内进行考虑；在立体几何中，则可以在认识了不属于同一平面的多条直线之间的平行关系，异面直线，空间直线与平面，平面与平面的平行概念以及空间平行关系的传递性以后，对平行概念的理解更加趋于完善.
同样地，在平面几何中，角的概念只体现为两条直线的“夹角”；在立体几何中，学习了异面直线间的角、直线与平面的角，以及两个平面之间的角以后，角的概念可得到深化，角的内容也获得了极大的丰富和扩展.
在平面几何中，两条直线不相交就平行；在立体几何中；学习了异面直线以后，对两条不同直线的相互关系就有了一个较为完整的认识，只有这样，才能更真实地反映客观实际.
立体几何还为平面三角中关于解三解形等内容提供了更为广阔的实用场所.事实上，有些三角计算问题，往往涉及研究空间图形的度量关系，更离不开基本的空间关系和一定的空间想象能力.
总之，立体几何在一定程度上为综合运用平面几何、平面三角（部分内容）的基础知识和基本技能提供了一些重要的，有广泛现实意义的机会.
（2）在基本的研究方法上，立体几何对于平面几何也有一定的继承和发展关系.
我们都知道，无论平面几何还是立体几何，都需要对图形、模型和实物进行观察和分析，在此基础卜借助逻辑方法进行数学推证.但是，在立体几何中，由于空间图形是在平面内画出的，图形并不能反映几何体的真实结构和各种关系，只是反映了几何体的一定特点，所以对观察和分析就带来了一些特殊要求，即不能分析真实的几何体，而只能分析与几何体有区别的直观图.相应地，在推证过程中，由于不能像平面几何那样在很大程度上从图形的直观中得到启发，而只能在逻辑方法的运用上提高要求，所以，立体几何在培养学生的逻辑思维能力和空间相象能力上，也就比平面几何起着更大的作用.
163.为什么说立体几何在学生的数学学习中起着承前启后的作用？
答：（1）在对于空间想象能力的培养上，立体几何将对平面图形的认识发展到空间图形，这本身就使学生对图形的认识有了一个质的飞跃.
（2）学生有了对于空间图形及其性质的认识，也为将来学习空间解析几何等做了必要的准备.
（3）在思维形式和方法上，把某些平面几何中的结论推广到了空间.
立体几何中的相当一部分结论，是在平面几何知识的基础上经过类比和推广而得到的.
例如，从平面几何中两直线的相互位置关系，类推出空间两直线的相互位置关系，再类推出空间两平面的相互位置关系.
又如，从平行四边形类推出平行六面体，从多边形类推出多面体，从圆类推出球等.
在类推过程中，首先是为了较容易，较直观地推出空间的新结论，但更重要的是让学生掌握类似的规律和方法，形成正确类推的习惯，并发展他们的思维.事实上，善于正确地把平面几何的结论推广到空间，这是培养逻辑思维能力和空间想象能力的重要课题和基本要求.
在训练学生掌握类似的规律，并形成类推的习惯的过程中，一定要让他们充分认识到类推所得出的结论有时相同，有时相类似，有时则有极大的差异.
一般情况下，平面几何的结论可以无条件地推广到空间，例如三角形全等的判定和性质就是这样；而由“平行四边形的对角线互相平分”，推出“平行六面体的对角线互相平分”等，就是类似的结论.但在平面几何中存在任意正n边形（这里n≥3，且n∈N），在立体几何中却不存在任意正n面体，这表现了两者的差异.
在解决立体几何的问题时，常把它归结为平面几何的问题来解决.
例如，异面直线间的距离，归结为平面内点到直线的距离；两个平面的交角，归结为平面内的角来度量.立体几何图形的判定和性质，也要通过平面图形的相关性质来推证；有关立体几何中的计算题，也往往要有计划地归结为平面内的问题来解决.
立体几何在数学中的作用，很重要的一点是要求学生正确地使用立体几何图形.注意立体几何图形只有立体感，往往不能真实准确地表现相应的几何体.在使用立体几何图形时，必须熟练掌握相关的立体几何符号语言，例如“α
（4）在推导球的体积公式和球的表面积公式时，使用了“分割-求近似和-转化为准确和”的方法，实质上就是运用了取极限这一基本数学思想和相应的方法，这有利于学生在高中三年级学习微积分初步知识.
164.学生学习立体几何要注意些什么？
答：几何学是研究空间形式及其数量间的关系的一门学科.古埃及人为了兴建尼罗河的水利工程，进行过测地工作，几何学就是从中孕育出来的.公元前约300年，古希腊数学家欧几里得（Euclid，约前330年～前275年）总结了人们在实践中积累的几何知识，加以系统化，利用定义和公理来研究图形的性质，创立了欧氏几何学.欧氏几何按照所讨论的图形在平面内或在空间而分为“平面几何”或“立体几何”.学生现在中学里学习的立体几何知识，就是以欧氏立体几何体系为基础，并加以精简、改革和更新而整理出来的一些对学生来说必学的内容。学生在学习时，必须记住“多看，多画，多想”这几个字.“多看”，就是多看教科书，多观察、比较各种各样的实体、模型和图形，多做实验；“多画”，就是多练习绘立体图，并善于变换角度画；“多想”，就是把实体化成几何模型，然后想通各部分图形之间的关系，使他们闭上眼睛，几何图形仍能在大脑中重现.此外，学生还必须学会把立体几何问题化成平面几何问题.总之，通过学习立体几何，可进一步培养学生的空间想象能力，并使他们的运算能力和思维能力得到进一步的提高.
165.怎样让学生理解“几何里的平面是无限延展的”？
答：平面是不加定义的基本概念.平面没有厚薄，它向四周无限延展，无“边”无“沿”.就是说，它把整个空间（指人们生活着的空间）分成互不连通的两部分.如果一只蚂蚁在平面的一侧爬行，那么它永远不可能爬到这个平面的另一侧去.
166.怎样让学生阐述“有且只有一个”这一概念的含义和重要性？
答：“有且只有一个”是由“有一个”与“只有一个”复合而成的，其中“有一个”说明对象是存在的，“只有一个”说明对象是惟一的.所以，“有且只有一个”说明对象有“存在性”和“惟一性”.
存在性和惟一性是数学中极其重要且被广泛运用的两个概念，学生已经学过许多这样的例子.例如，一条线段在一个平面内有且只有一条垂直平分线，所以垂直平分线有存在性和惟一性.另外，也有一些对象有存在性而没有惟一性.例如，与给定的三角形ABC相似的三角形是存在的，但不是惟一的.当然，还有一些对象没有存在性，从而也就谈不上有惟一性.例如，方程0x=5的解就属于这种情况.
167.说“异面直线就是分别位于两个不同平面内的两条直线”行不行？为什么
答：不行.拿书本为例，不管你把书打开或合上，只要保持书页平整，则每两张书页的底边总是分别位于两个不同平面内，但它们或者平行（当书合上时），或者相交（当书打开时），因此它们总是共面的.当然不可能成为异面直线.
异面直线就是不在同一平面内的两条直线.上面的问题实际上是把“不在同平面”误会成“在不同平面”.仅仅是两个字的颠倒，就造成了概念上的重大错误！可以此为例告知学生在学习时一定要一丝不苟.
168.线线位置关系和线面位置关系的三种情况是怎样分析出来的？
答：分类思想是重要的科学思想，分情况讨论是常用的科学研究方法.当人们把某个过程中的对象或可能产生的结果（即情况）进行分类时，要注意既不能遗漏也不能重复.
例如研究空间不重合两直线的位置关系，可进行如下的分类（共面就是“同在一个平面内”，不共面就是“不同在任何一个平面内”）：
线线位置关系
169.怎样证明“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过这一点的直线是异面直线？”
答：这个问题的“已知”“求证”如下：
如果正面证明这个命题，即证明AB和α不共面，也就是AB和α不平行且无公共点，那么就要确认这样的事实——AB和α不平行，且无论怎样延长这两条直线，它们都不会相交.显然，确认这样的事实将是十分困难的.事实上，将这两条直线无限延长就是一件无法实现的事情.于是，我们可以考虑使用反证法.先假定此命题的结论的反面成立，这里可以设法推导出A∈α，即与此命题的已知条件矛盾，这一矛盾就说明反证假设是错误的，所以命题的结论成立.
学生应该知道，反证法是极其重要且常用的一种证明方法，必须认真领会它的实质和用法.现在要学会在立体几何的论证中加以运用.
170.怎样使学生在立体几何中利用反证法来加深理解四种命题的关系？
答：利用反证法很容易证明：在四种命题中，原命题与逆否命题同时成立或同时不成立，逆命题与否命题同时成立或同时不成立.
我们以异面直线为例，把四种命题写出如下.
原命题；如果α、b是异面直线，那么α、b不共面.
逆命题：如果直线α、b不共面，那么α、b是异面直线.
否命题：如果直线α、b不是异面直线，那么α、b共面.
逆否命题：如果直线α、b共面，那么α、b不是异面直线.
在这个例子中，原命题和逆命题都成立，因此四个命题同时成立.
171.怎样通过归纳，抽象出“直线和平面所成的角”的概念？
答：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.这就是说，“直线和平面所成的角”有锐角、直角和0°的角（可简称为“零角”）三种情况，即直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
思考题
1.为什么教学大纲把学生学习立体几何改放在学习平面解析几何之后？（分别从数学科学与数学教学两个方面来分析）
2.体会反证法在立体几何起始课和后续课中的重要性和运用情况.怎样通过实际运用使学生加深对这一重要证明方法的认识？