基于网格映射的非线性损伤累积研究
王国春，周 泽
（广西艾盛创制科技有限公司，广西 柳州 545000）
【摘 要】 目前，非线性损伤的研究主要分为两类：一类为非线性损伤研究，通过在线性损伤累积理论中增加非线性因子来考虑非线性因素的影响；另一类为通过采用裂纹生成和扩展理论，直接求解物体的损伤过程。前者主要基于试验模型，计算求解效率高，但往往因实际受载与试验条件、实物与样件的不同而存在较大误差；后者主要基于物理模型，能真实体现物体的损伤过程，但理论较复杂，难以实现大模型长时间的非线性损伤累积过程。此外，这两种理论均未考虑物体卸载后几何变形、应力对再次加载后的损伤累积的影响。文章提出基于网格映射的非线性损伤累积方法，其通过显式非线性有限元计算出物体加载后的瞬态响应，然后通过网格映射得到物体回弹力等场变量，进而通过隐式非线性有限元求解获得物体稳态场量值，并将这些稳态场量值作为下次受载工况的初始条件。通过同样的循环计算方法，可获得物体的最终非线性损伤累积。该方法考虑了几何非线性等非线性因素的影响，实现非线性损伤的传递，并且可以避免使用经验公式，并且实现了长时间、非线性损伤累积过程的数值仿真。
【关键词】 网格映射；数值模拟；非线性损伤累积
0 前言
非线性损伤研究目前主要有两个方向：其一为非线性损伤累积理论，自从Miner[1]提出线性损伤累积方法以后，研究者将该理论扩展到非线性区域，在损伤累积中考虑疲劳极限、平均应力、载荷顺序等非线性因素对疲劳寿命的影响。Kachanov[2]首先提出“连续因子”（continuumfactor）和“有效应力”（effective stress）来构建非线性损伤累积模型。而Lemaitre和Chaboche[3]则成功实现低周疲劳非线性损伤累积。其二为通过裂纹生成和扩展理论直接获得物体的非线性损伤累积。该理论最早由Paris[4]提出Paris法则，其认为裂纹扩展的速度与应力水平的指数存在对应关系，其后Suresh[5]，Kanninen和Popelar[6]根据不同应力水平循环下的裂纹扩展，修正为裂纹扩展的速度与应力水平的指数存在非线性对应关系。Wheeler[7]、Willenborg[8]、Christensen和Miyano[9]等人均各自提出类似的公式。
非线性损伤累积理论主要基于试验模型，一般使用标准试件来获得其在特定工况下的疲劳曲线，计算物体在实际受载下的损伤，其理论简洁，计算资源消耗少，因而求解效率高，实际中运用广泛。虽然该方法在损伤处理上考虑疲劳极限、平均应力、载荷顺序等非线性因素对于疲劳寿命的影响，但往往因为实际受载与试验条件、实物与样件情况的差异而存在较大误差。对于裂纹扩展理论方向而言，其基于物理模型，能够真实地实现裂纹的生成及扩展过程，即物体的损伤累积过程。但由于理论的复杂性，通常难以实现大模型长时间的裂纹生成和扩展计算，因而在实际运用中不如前者广泛。同时，这两种理论都只考虑裂纹的生成与扩展（主要是塑性应变），而没有考虑循环载荷作用下，物体在卸载后的几何变形将导致部件厚度等条件的变化，以及几何变形对再次加载的影响，从而影响到物体相关局部区域的损伤及其累积。一般来说，这些局部区域正是结构损伤累计最关注的区域，因而是不可忽略。
对于非线性问题，由于过程中高度的非线性，所以一般采用显式非线性有限元仿真。使用显式非线性有限元能较准确地获得物体某瞬态时间点的场量值，但对于非线性损伤积累问题而言，其存在一定局限性。这是因为材料的应变可分为两个部分：其一为弹性应变，其二为塑性应变。在物体的损伤累积过程中，弹性应变存在恢复，而塑性应变将传递到物体下次受载工况中，所以单纯采用有限元的显式算法来预测这种累积效应，只能实现瞬态场量（如瞬态变形几何和应变等）的累积，而不能实现稳态场量（如稳定几何和塑性应变等）的损伤累积，其结果往往不可靠。为了解决瞬态场量不是稳定量这类问题，通常的处理方法是选择物体运动状态转变收敛的情况时，即各能量转换较稳定的状态值，近似认为其处于稳定状态，并将该瞬态时刻作为下次受载工况的起点，从而实现损伤的累积。同时，可以选择只传递塑性应变而不包含弹性应变的方法来避免非真实量的传递。但即使这样，也只能是其瞬态几何累积，而不是物体的稳态变形几何的累积，故存在一定误差。而使用隐式非线性分析理论，能获得物体稳态状态场变量值，但计算资源消耗大，且对于高度非线性问题极难收敛，因此非线性损伤累积在实际中运用较少。
现阶段，已研究出的可以确定的花椒精油主要成分包含了烯烃类化合物、醇类化合物、酮类化合物和酯类化合物等多种物质。
本文通过使用LS-DYNA软件在显式非线性模块进行瞬态计算，获得物体受载条件下的各场量响应，并将这些瞬态场量值（包含应力、应变、厚度），通过PIM[10]（Point Interpolation Method）网格映射，传递到物体的瞬态变形几何，同时运用LS-DYNA软件隐式非线性模块进行回弹分析，从而获得物体在该受载情况下的稳定变形几何和稳态场变量值。然后，通过同样网格映射技术，将稳定场变量值和稳定几何作为第二次瞬态受载工况的初始条件，从而实现其非线性损伤的传递。通过前次相同的方法，可获得物体第二瞬态工况后的稳定场变量值和稳定几何，从而实现其真实损伤传递。依次类推，即可获得物体N 次非线性损伤累积。采用这样的处理方法可避免裂纹扩展理论难以计算大物理模型长时间的损伤累积过程和显式有限元计算无法获得稳态场量值的缺陷来进行物体损伤累积过程。本文通过网格映射实现场量传递，通过变形网格的传递考虑物体受载几何变形对损伤的影响，并综合显隐式的计算优势，从而实现非线性损伤累积过程仿真。
本文以某空调外机两次跌落分析为例，获得空调外机连续两次跌落的损伤累积情况。并与试验相互验证，证明该方法的正确性，并最终解决某空调外机跌落变形过大问题。
1 非线性损伤累积方法
1.1 非线性损伤累积分析流程
在二维中，PT 为1×3的矩阵，Pm -1为3×3的矩阵，因此PTPm -1为1×3的矩阵，同样也可以写成以下形函数的形式：
仿真中部件加载后几何形状的传递通过变形的网格来传递。而每次计算后，部件应力、应变、厚度值等场量传递通过网格映射的方法实现。同样在N 次瞬态分析后，将部件加载后应力、应变、厚度值映射到物体受载瞬态变形网格中，并进行回弹分析，而获得部件稳态变形及稳态场量值。通过网格映射和变形网格传递，将部件N 次受载响应的稳态场量和稳态变形几何，作为第N +1瞬态受载工况的初始条件，从而实现物体的损伤传递和累积。
在网格映射的过程中，因为单元网格所对应的几何形状与几何位置都有所变化，两种情况下的网格不同，所以将已知变量映射到已经变形的网格上需要做以下两种情况的变换：网格的平移和旋转；同几何尺寸的映射。而在网格的平移和旋转中，通过相似边界，总是可以通过矩阵变换求得新网格的信息，而应变和单元厚度信息不需要变化，而在同几何尺寸的映射中，这里主要通过PIM[10]（Point Interpolation Method）插值实现（如图2所示）。
1.2 显式有限元基本理论
在连续介质力学中，物体的运动和变形中都要满足如下的动量方程：
此外，边界ΓD 上满足位移边界条件和在ΓF 上满足载荷边界条件：
初始条件：
上式中，bi 表示体积力分量，ai 表示加速度分量，ρ表示质量密度，n 是在边界ΓF 上的单位法向量，
分别表示初始位移和速度。
基岩钻孔施工采用150型回转式钻机成孔，采用φ73钻头，清水循环钻进。造孔完成后，以压力水冲洗孔内杂质，经验收合格后进入下一工序。灌浆可根据基岩灌浆深度采用分段自上而下灌浆法或采取全孔灌浆法。
图1 损伤累积方法流程
本文以某公司某空调外机跌落分析为例。根据该企业运输法规要求，空调外机棱边与地面呈45°，在高度600 mm处连续两次自由跌落，外机零件不能出现明显变形和破坏且外机所有功能正常（如图3所示）。
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通过标准的离散形式，可以写成如下方程：
其中：
1.3 网格映射的基本理论及实现方法
他们性格迥然，爱好有别，但对市场、生存、竞争天生敏感，绝不含糊。他们能够忍受：高强度工作、长时间压力、不确定风险。
在网格基本信息的传递中，采用PIM插值具有一定的优越性，它避免了寻找网格并且分情况讨论的缺陷，并且PIM插值总是通过该点最近的几个点来插值并且来构造近似函数，所以精度比有限元插值的精度要高。选取的这几个点构成计算点xT =［x ，y ］的局部支撑域，其中共有m 个场节点，则计算点处x 的近似函数可表示如下：
上式中，pi （x ）是由Pascal三角形确定的多项式基函数，m 为单项式个数，ai 是待定系数。对于二维线性基函数分别如下：
注意在局部域中的节点数n 总是等于基函数个数m 。为求出公式（11）中的待定系数ai ，令近似函数u （x ）通过局部支撑域内的n 个节点，即
其中，Us =｛u 1，u 2，u 3，…，un ｝T 表示节点的函数值向量，a ＝｛a 1，a 2，a 3，…，an ｝T 是待求的未知系数向量，而
2 想吃药的话吃益生菌（金双歧或培菲康）和乳果糖，促进大便中的食物残渣充分发酵分解，从而能吸收保持一定的水分，软化大便。
因有n ＝m ，故Pm 是大小为n ×n 或m ×m 的方阵。求解公式（13）以得到a ：
代入（11），从而得到场变量的表示形式：
本文中的物体非线性损伤计算主要包含两个部分：一为部件加载后的部件的瞬态应变、应力和厚度响应；二为部件的稳定几何变形的计算。本方法实现两个部分的损伤累积，其分析流程（以连续2次损伤累积为例，N 次损伤累积可以依次类推）如图1所示。
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在上式中，表示场变量，可以是位移、速度及节点的应力等。通过该式，节点的位移、应力及厚度变化等场量传递都可以通网格映射的方法传递。
采用SPSS 13.0统计学软件分析数据，计数资料[n（%）]采用χ2检验，P＜0.05为差异有统计学意义。
1.4 回弹问题的隐式算法
根据图纸要求，焊后需用热处理的方式消除残余应力，所以制定带有焊后热处理工艺的焊接工艺评定试验。按照ASME BPVC IX—2013焊接及钎接工艺评定标准要求，结合以前抗裂试验、热处理试验结果，对40 mm厚B780CF钢进行手工电弧焊(SMAW)工艺评定试验，试验结果见表5、表6。
其中：
注意，在计算回弹力的时候，只考虑应力的弹性部分
通过求取外力，可以求取部件的稳定几何变形。并且，这个稳定的几何变形作为下次损伤累积仿真的原始几何模型，从而实现稳定几何变形的传递。隐式回弹分析使用LS-DYNA中隐式分析模块。
2 运用实例
通过以上的显式非线性有限元的基本理论，可以求出受载条件下某时刻物体响应值，求解效率高。
由于跌落试验是不连续的冲击，并且第二次跌落在第一次的跌落上进行，所以第二次的零件损伤是在第一次跌落后的基础上累积。此外，考虑第一次跌落后，零件存在较大的回弹，特别是空调底脚局部为变形最大区域，同时是承受跌落冲击主要区域。第一次跌落后零件的几何变形将影响跌落冲击载荷的分布，进而影响损伤分布（如图4所示）。因此，必须考虑底脚在第一次跌落后回弹后的稳定几何变形对于第二次跌落损伤影响。在本案例中，采取上文所介绍的基于网格映射的损失累积方法，考虑其影响。
按虚功原理，取变分函数δvi 和动量方程的乘积，并在当前构形上积分，得到运动方程的变分等式：
在回弹问题分析中，我们主要通过隐式算法进行计算，在分析过程中，我们主要要求取力的边界条件，从而求取稳定的几何变形。通过式（1）可以知道，位移，应力等信息的传递都可以通过几何映射的方法来传递。
2.1 空调外机有限元模型的建立
根据某空调外机几何模型，将空调外机各钣金件划分成尺寸为10 mm网格，并根据几何特征局部细化，求解使用LS-DYNA软件。模型中包含空调外机各重要质量附件如电机、压缩机等外形并赋予实测质量。有限元模型如图5所示，包括175 487个节点、158 161个单元。空调外机有限元模型总质量为29.66 kg，试验实测质量为30.4 kg。
本次分析中钣金材料和泡沫材料均为实测值，本例中由于初速度为零，冲击加速度仅为1G，故不考虑材料应变率影响，其中主要钣金材料拉伸试验获得的材料曲线如图6所示。
2.2 有限元计算
本次计算案例中，通过显式有限元获得物体跌落变形结果。基于计算时间和精度的考虑，其中沙漏能量控制在4.9%。物体的回弹分析（获得物体稳定状态）开始于瞬态跌落中内能和动能转化较稳定时间点，约30 ms处。其中，第一次跌落的主要能量输出如图7所示。
图2 PIM差值示意
图3 跌落试验示意图
图4 跌落试验图示及结果图片
图5 某空调外机有限元模型
图6 钣金材料DX51T、DX52T试验曲线
数值计算中，物体在一次加载工况后的瞬态几何变形，与实际中物体加载后的稳定几何变形存在较大不同。图8为第一次跌落分析后，空调外机底脚的瞬态计算结果和进行回弹处理而获得的稳态计算结果，其应力云图分布、底脚的变形几何均存在较大的差异，前者计算结果明显偏大。直接将瞬态计算结果传递到下次加载工况中将导致过大的误差，因此必须考虑循环载荷作用下，物体在卸载后的几何变形对物体相关局部区域的损伤及其累积的影响（如图9所示）。
回弹约束点的设置对于结果影响较大。对于本文跌落案例中，对于主要关注的部件空调外机底脚，选取其焊点位置为回弹约束点。该处由于为相当较软底脚与相对较硬底盘焊接连接处，约束刚度较大，故为回弹约束点。
3 计算结果与优化
3.1 计算结果与实验
在某空调外机连续两次跌落试验中，外机底脚出现明显变形，实测最大位移偏移约11.2 mm，无法通过企业自身运输法规。底脚的材料为DX52D，厚度为1.2 mm。同时，该企业为降低产品成本，要求将该零件厚度降低为1.0 mm，并通过企业运输法规。在本案例中，通过前文所介绍的基于网格映射的损伤累积方法，计算该空调外机的原始方案，在连续两次跌落后，底脚最大变形量约11.8 mm。不能通过该法规。
1.化学在绿色发展、循环发展、低碳发展及推进生态文明建设中正发挥着积极作用。下列做法不正确的是( )。
根据试验和仿真结果可知：底脚的出现明显变形主要是因为图10所示处，为底脚台阶边缘。针对该处薄弱环节，在底脚两次各增加5 mm长的翻边，同时将底脚的厚度减薄为1.0 mm（如图11所示）。
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计算原方案及优化方案的连续两次跌落的最终变形。同时，为研究需要，设计对比算例。该对比算例在第一次跌落分析稳定后，将其塑性应变、厚度及瞬态变形几何直接作为第二次跌落分析的初始条件。计算结果见表1。
图7 第一次跌落系统的能量曲线
图8 回弹分析约束位置示意图
根据计算结果可知，优化方案底脚处的最终变形为4.3 mm，底脚减薄厚度并满足企业运输法规的要求，企业最终采用该方案。同时根据对比案例可知：在计算损伤累积时，如果只传递物体的瞬态场量和瞬态变形几何，其并未考虑物体的回弹效应，将导致结果误差为28.6%。而使用本文介绍的基于网格映射的损伤累积方法，将物体的稳态场量和稳态变形几何传递到下次加载工况，误差约5.4%。
4 结语
本文提出在不连续载荷下物体的损伤累积的计算方法，在该过程中，损伤的传递必须是在前一次瞬态工况后物体的稳态场量，其包含物体的应力、应变值，厚度变化及稳定变形几何。此外，提出基于网格映射的损伤累积方法，其利用显式有限元在非线性问题上收敛性和计算效率优势下，来求解物体的加载后瞬态响应。并通PIM网格映射方法，将物体受载后瞬态场量映射到其变形网格上，并进行隐式回弹分析，从而获得物体的稳态场量和稳态变形几何，并将稳定状态值作为下次瞬态载荷工况的初始条件，从而实现物体的损伤传递。这样同时利用显隐式有限元优势，较快捷地完成物体的损伤传递及累积。该方法最终在某机型空调外机的连续两次试验中获得验证，成功解决了不连续冲击下的支架损伤的累积，并提出了优化方案，大大缩短了空调开发的周期，具有重要的意义。
图9 第一次跌落计算后空调外机底脚的应力云图及变形
注：（a） 为回弹前底脚应力云图及变形几何，（b）为回弹后底脚应力云图及变形几何。
图10 连续两次跌落试验后照片与仿真计算结果
图11 优化方案：增加5 mm翻边
表1 连续两次跌落试验计算结果
参考文献
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【中图分类号】 TP301.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1674-0688（2019）07-0038-05
【基金项目】 “汽车纤维增强塑料覆盖件设计制造关键技术研究与产品开发”（合同编号：2017AA10104）。
【作者简介】 王国春，男，河北承德人，任职于广西艾盛创制科技有限公司，从事汽车整车开发等研究工作；周泽，男，湖南湘潭人，任职于广西艾盛创制科技有限公司，从事有限元分析相关理论研究工作。
［责任编辑：钟声贤］
标签：网格映射论文; 数值模拟论文; 非线性损伤累积论文; 广西艾盛创制科技有限公司论文;